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[组图]平行四边形的性质和判定

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平行四边形的性质和判定
本周目标:
  1.掌握平行四边形的概念及性质,会应用性质解决简单的几何问题;
  2.掌握平行四边形的五种判定方法,会应用判定方法解决有关问题;

重点:
  掌握平行四边形的性质及判定方法,发展逻辑思维能力

难点:
  灵活运用平行四边形的性质及判定方法解决几何问题

知识要点:
1.定义:
  有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形ABCD,记作“ABCD”

2.平行四边形的性质:
  (1)平行四边形的两组对边分别平行且相等。
  (2)平行四边形的两组对角分别相等。
  (3)平行四边形的对角线互相平分。
  (4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是其两条对角线的交点。
  (5)平行四边形的面积等于底×高,且两条对角线分平行四边形所成四个小三角形面积相等。
  推论:夹在两条平行线间的平行线段相等。

3.平行线间的距离:
  两平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫两条平行线间的距离。

4.平行四边形的判定:
  (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形
  (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形
  (3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形
  (4)对角线互相平分的四边形是平行四边形
  (5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

例题分析:
  1.已知:如图l,ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F,求证:OE=OF。
      
  证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA=OC,AB∥CD
     ∴ ∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC
     ∴ △OAE≌△OCF ∴ OE=OF

  变形题:已知:如图2,ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O与DA,BC延长线分别相交于点E、F,求证:OE=OF。

  2.已知:ABCD中,E在AC上,AE=2EC,F在AB上,BF=2AF,若△BEF的面积为2,求:ABCD的面积。
  解:∵ △BEF的面积为2且BF=2AF,
    ∴ S△AEF=S△BEF =1
    ∴ S△BAE=3
    ∵ AE=2EC
    ∴ S△BCE =S△BAE =1.5
    ∴ S△ABC =4.5
    ∴ SABCD =2S△ABC =9

  3.如图,E、F分别是ABCD边AD和BC上的点,并且AE=CF,AF和BE相交于G,CE和DF相交于H,求证:EF和GH互相平分。
                  
  证明:ABCD ∴AD∥BC AD=BC
     ∵ AE=CF
     ∴ AFCE
     ∴ AF∥CE
     同理: BE∥DF
     ∴ EGFH
     ∴ EF和GH互相平分。

  4.如图,ABCD的周长为,BC的长为,AE⊥BC ,AF⊥DC的延长线于F,AE=3,
      求(1)∠D的度数;(2)AF的长。
                   
  解:ABCD如图所示,
    ∴ AB=CD , ∠B=∠D
    ∵ABCD的周长为,BC的长为
    ∴
    ∵ AE⊥BC,AF⊥CD AE=3,
    ∴ BE=3,∴ ∠B=∠D=45°,
    ∵ AE·BC=AF·CD
    ∴
    ∴

  5.如图,ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,直线CE交BA的延长线于G,直线DF交AB的延长线于H,CG与DH交于点O,若,求
                   
  解答与提示:连结EF,则ABFE的面积=CDEF的面积=2
        易证
        易证△CDE≌△GAE,△CDF≌△BHF;
        
  总结:平行四边形的面积等于底与高的乘积,且它的两条对角线分原平行四边形为四个等积三角形.证明面积关系问题的常用思路有:利用同底(等底)同高(等高)的两个三角形面积相等;利用同一个平行四边形面积找等量关系,也就是用不同关系式表示同一个平行四边形面积找等量关系.

  6.已知,如图,在ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,M、N分别是BC、AD的中点,
      求证:四边形EMFN是平行四边形。
                  
  证明:如图示,连结MN交BD于O
     ∵ ABCD
     ∴ AD=BC,AD∥BC
     ∴ ∠ADB=∠CBD
     ∵ M、N分别是BC、AD的中点
     ∴ ND=BM
     ∵ ∠MOB=∠NOD
     △MOB≌△NOD
     ∴ OM=ON OB=OD
     ∵ AE⊥BD,CF⊥BD
     ∴ ∠AED=∠CFB=90°
     ∴ △AED≌△CFB
     ∴ DE=BF
     ∴ OE=OF
     ∴ 四边形EMFN是平行四边形

  7.在ABCD中,∠A的平分线分BC成4cm和3cm两部分,求ABCD的周长。
  分析:此题利用平行四边形的定义:去求BC相邻的边AB的长。
     需要注意的是,两部分中,哪一部分是4cm,需讨论。
  解:如图,∵ 四边形ABCD是平行四边形
    ∴ AD∥BC
    ∴ ∠2=∠3
    ∵ AE平分∠BAD
    ∴ ∠1=∠2,∴ ∠1=∠3,
    ∴ BA=BE
    若BE=4cm,则ABCD的周长=2(AB+BC)=22cm
    若BE=3cm,则ABCD的周长=20cm

  8.如图,ABCD中,BE平分∠ABC,交AD于E,DF平分∠ADC,交BC于F,
      求证:BF=DE
                  
  分析:此题证法较多,可以证明△ABE≌△CDF或证明四边形BEDF是平行四边形。
  证明:ABCD中AD∥BC,∠ABC=∠ADC
     ∴ ∠2=∠3
     ∵ BE平分∠ABC,DF平分∠ADC
     ∴
     ∴ ∠1=∠3
     ∴ ∠1=∠2
     ∴ BE∥DF
     又∵ DE∥BF
     ∴ 四边形BEDF是平行四边形
     ∴ BF=DE

  9.如图,ABCD中,2AB=AD,AB=AE=BF,求证:CE⊥DF
  分析:主要运用平行四边形的性质,要证垂直关系,需证角是90°。
                 
  证明:ABCD中,AB∥CD,AD=BC,AD∥BC
     ∴ ∠2=∠E,∠ADC+∠BCD=180°
     ∵ AD=2AB,AB=AE
     ∴ BC=BE
     ∴ ∠3=∠E,
     ∴
     同理
     ∴ ∠COD=90°
     ∴ CE⊥DF

  10.如图:ABCD中,A1,A2,A3,A4和B1,B2,B3,B4分别是AB和CD的五等分点,C1,C2和D1,D2分别是AD和BC的三等分点,若四边形A4C1B1D2的面积为1,求ABCD的面积。
                
  分析:采用割补求面积,利用平行四边形的性质,建立方程
     设ABCD的面积为x,
     由平行四边形的性质,易证:△DC1B1≌△BD2A4,△AA4C1≌△CB1D2
     且
     ∴
     ∴ .

来源:中国哲士网

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