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[组图]梯 形

查询数八年下练习的详细结果
梯 形
知识要点:
1.梯形的定义:
  一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
  说明:(1)梯形是一种特殊的四边形;
     (2)证明梯形时除了证明一组对边平行外,特别注意还要证明另一组对边不平行;
        有时证明不平行比较困难,还可以证明平行的这一组对边不相等.

2.梯形常用的辅助线做法:
  (1) 过一顶点作一腰的平行线,分解成一个平行四边形和一个三角形;
                   
  (2) 过一顶点作一条对角线的平行线,构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形;
                  
  (3) 过一腰中点作另一腰的平行线,构造出平行四边形和一对全等的三角形;
  (4) 过一底边的端点作另一底边的垂线, 构造出一个矩形和两个直角三角形;特别对于等腰梯形,两
    个直角三角形全等;
                    
  (5) 延长梯形的两腰使其交于一点, 构成两个形状相同的三角形;
                     
  (6) 连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交,构造一对全等的三角形, 将梯形作等积变换;
                     

3.特殊的梯形
  1)等腰梯形:两腰相等的梯形叫做等腰梯形.
    性质:(1)等腰梯形的同一底边上的两个角相等;等腰梯形的两条对角线相等.
       (2)同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
       (3)等腰梯形是轴对称图形,它的对称轴是经过两底中点的一条直线.
  2)直角梯形:有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.

例题分析
  1.已知:如图,四边形ABCD为矩形,四边形ABDE为等腰梯形,
      求证:
  证明:∵四边形ABCD为矩形,∴
     ∵四边形ABDE为等腰梯形,且为其对角线,
     ∴。在中,
     又,∴

  2.已知,如图,梯形ABCD中,,延长AB到E,使
      求证:
  证法一:由四边形ABCD是等腰梯形,∴
       又,∴
       ∴∠ADC=∠CBE
       在中,
       于是,故
  证法二:如图,连结BD,由可知四边形DCEB为平行四边形,
       所以
       又四边形ABCD为等腰梯形,于是,故
  证法三:如图,作M
       在中,
      
       所以
       又,故
       又由,可得MF=BE
       所以
       所以FAE的中点,CFAE的垂直平分线,所以
  证法四:如图,连结BD
       由知四边形BECD为平行四边形,所以
       又四边形ABCD是等腰梯形,所以
       又由,可知
       所以∠1=∠2
       所以∠1=∠3
       所以AC=CE
  说明:本题采用了几种常用的作辅助线的方法证得结论,目的是说明解与梯形有关的问题经常用这些作辅助线的方法。

  3.如图,把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形.请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形(全部用上,互不重叠且不留空隙),并把你的拼法出来:
  (1)不是正方形的菱形一个;
  (2)不是正方形的矩形一个;
  (3)梯形两个;
  (4)不是矩形、菱形的平行四边形一个;
  (5)不是梯形和平行四边形的凸四边形一个。
  解:        

  4.如图,已知:四边形ABCD是等腰梯形,其中,若.
      求:梯形ABCD的面积.
  解答:过点DCEF.
     则根据等腰梯形的轴对称性可知:.
     ∵
     ∴四边形CDEF是矩形.
     ∴ .
     ∴
     在中,根据勾股定理有,
     
     ∴ .

  5.如图,已知:在梯形ABCD中,ACBD相交于点O.
      求证:.
  证明:
     ∴A、D两点到BC的距离相等.
     即中BC边上的高与中BC边上的高相等.
     ∴ (等底等高).
     ∴
     ∴

  6.已知梯形ABCD中,ADBCAD=5cm.BC=7cm,AB=6cm
      求另一腰CD的取值范围.
  解:如图,过D点作DEAB,交BC于点E
    ∵ADBCDEAB
    ∴四边形ABED是平行四边形,
    ∴DE=AB=6,
    
    在△DEC中,
    ∵
    ∴4(cm)< DC < 8(cm).

  7.如图,已知:在等腰梯形ABCD中,
  (1)若,梯形的高是4,求梯形的周长;
  (2)若,梯形的高是,求梯形的周长
  (3)若,求证:
  解:(1)如图,过点A于点
       则在等腰梯形ABCD中,
       在中,
       所以,等腰梯形ABCD的周长是

    (2)类似(1),
       在中,
       
       所以,等腰梯形ABCD的周长是
    (3)如图,过点D,交BC的延长线于点F
       即得平行四边形ACFD
       则
       在等腰梯形ABCD中,
       而
       在中,
       
       所以∠BDF=90°,即BD⊥DF
       又因为
       所以

  8.如图,在梯形ABCD中,对角线于点P
      求证:
  证明:,可知
     且
     所以,
     
  解答问题:
  (1)上述证明得到的性质可以叙述为:___________________.
  (2)已知:如图,等腰梯形ABCD中,,对角线于点P
     ,利用上述的性质求梯形的面积.
  解析:
  (1)对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.
  (2)先利用例7(3)的方法,求出
     再利用上述性质,求出

  9.已知:梯形ABCD中,AD∥BC,E为DC中点,EF⊥AB于F点,AB=3cm,EF=5cm,
      求梯形ABCD的面积.
  解:如图,过E点作MN∥AB,分别交AD的延长线于M点,交BC于N点
    ∵DE=EC,AD∥BC,
    可以证明△DEM ≌△CNE,
    四边形ABNM是平行四边形.
    ∵EF⊥AB,
    ∴S梯形ABCD=SABNM=AB×EF=3cm×5cm=15cm2

  10.已知:梯形ABCD中, AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD的面积。
  解:如图,作DE∥AC,交BC的延长线于E点。
    ∵AD∥BC
    ∴四边形ACED是平行四边形
    ∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5
    DE=AC=4
    在△DBE中,∵BD=3,DE=4,BE=5
    ∴∠BDE=90°
    作DH⊥BC于H,则
    
    

  11.已知:梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,△ECD的面积为10,
       求梯形ABCD的面积。
  解:如图12,取DC的中点F,连结EF,
    作DH⊥BC于H点。
    ∵AE=EB,DF=FC,AD∥BC,
     EF∥AD∥BC,DH⊥EF
    
    ∴EF×DH=20
    

  12.有一块梯形形状的土地,现要平均分给两个农户种植(即将梯形的面积两等分),试设计两种方案(平分方案在备用图上),并给予合理的解释.
              
               图(1)              图(2)
  分析:思路(一) 连接梯形上、下底的中点.
     思路(二) 在下底上截一边及另一腰为边的三角形,使它们面积为原梯形面积的一半.
     思路(三) 取梯形一条对角线的中点,连接另外两个顶点所得的两个四边形.
  解:设梯形上、下底分别为,高为
    方案一:如图(1),连接梯形的上、下底的中点EF,则
    方案二:如图(2),延长BCF,使,取的中点E,连接AE
        则
    方案三:如图(3),连接AC,取AC的中点E,连接BEED
        则四边形ABED的面积等于梯形ABCD的面积的一半.分析可知,
        因为,所以
        所以
        故有四边形ABED的面积等于梯形ABCD的面积的一半.
  

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