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[组图]暑期练习—三角形、梯形的中位线

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暑期练习—三角形、梯形的中位线
本周重点：
　　三角形、梯形中位线的应用

本周重点难点解析：
一、三角形和梯形的中位线
1. 三角形的中位线
　　连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
　　三角形中位线定理.
　　三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
　　　

2．梯形的中位线
　　连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.
　　梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.
　　　

3．典型例题：
　　1．如图所示．△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．
　　(1)求证：GH∥BC；
　　(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．
　　分析： 若延长AG，设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG，从而G是AM的中点；同样，延长AH交BC于N，H是AN的中点，从而GH就是△AMN的中位线，所以GH∥BC，进而利用△ABC的三边长可求出GH的长度．
　　(1) 证明：
　　　　分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，
　　　　所以 △ABG≌△MBG(ASA)．
　　　　从而，G是AM的中点．同理可证 △ACH≌△NCH(ASA)，
　　　　从而，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG∥MN，即HG∥BC．
　　(2) 解：
　　　　由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以
　　　　AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．
　　　　又BC=18厘米，所以 BN=BC-CN=18-14=4(厘米)， MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．
　　　　从而 MN=18-4-9=5(厘米)，
　　　　
　　说明：
　　(1)在本题证明过程中，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分
　 　　线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，
　 　　则这条平分线也是对边的中线，这个三角形是等腰三角形”．
　　(2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边
　 　　的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线垂直于对边”．同学们不妨自己证明．
　　(3)从本题的证明过程中，我们得到启发：若将条件“∠B，∠C的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或
　 　　∠B)的外角平分线”(如图1所示)，或改为“∠B，∠C的外角平分线”(如图2所示)，其余条件不
　 　　变，那么，结论GH∥BC仍然成立．同学们也不妨试证．
　　　　　　　　　　　　　　

　　2．如图所示．在四边形ABCD中，CD＞AB，E，F分别是AC，BD的中点．
　　　　　　求证：
　　分析： 在多边形的不等关系中，容易引发人们联想三角形中的边的不等关系，为了产生的线段，应考虑在含CD,AB的三角形中构造中位线，为此，取AD中点。
　　证明：取AD中点G，连接EG，FG，在△ACD中，EG是它的中位线(已知E是AC的中点)，
　　　　　所以
　　　　　同理，由F，G分别是BD和AD的中点，从而，FG是△ABD的中位线，
　　　　　所以
　　　　　在△EFG中，EF＞EG-FG． ③
　　　　　由①，②，③　　

　　3．如图所示．梯形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，AD=DC+AB．
　　求证：DE⊥AE．
　　分析：本题等价于证明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°．在E点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下，添梯形的中位线作为辅助线；若能证明，该中位线是直角三角形AED的斜边(即梯形另一腰)的一半，则问题获解．
　　证明：取梯形另一腰AD的中点F，连接EF，则EF是梯形ABCD的中位线，所以
　　　　　
　　　　　因为AD=AB+CD，所以
　　　　　从而 ∠1=∠2，∠3=∠4，
　　　　　所以 ∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的内角和等于180°)．从而∠AED=∠2+∠3=90°，
　　　　　所以 DE⊥AE．

二、关于中点四边形的讨论
1. 中点四边形的定义：
　　如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的各边的中点，则称四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　（1）“一般四边形”的中点四边形：
　　1．已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点；试猜想四边形EFGH的形状。
　　猜想：四边形EFGH是平行四边形。
　　证明一：连结AC
　　　　　　∵在⊿ABC中，E、F分别为AB、BC的中点
　　　　　　∴EF∥AC,EF=AC
　　　　　　同理HG∥AC,HG=AC
　　　　　　∴EF∥HG且EF=HG
　　　　　　∴四边形EFGH是平行四边形。
　　证明二：连结BD
　　总结：通过一条对角线我们就可以确定中点四边形EFGH的形状了。

　　（2）“特殊四边形”的中点四边形：
　　思考：改变四边形ABCD的形状，结果会怎样？
　　利用计算机变换四边形ABCD形状，使四边形分别为平行四边形、菱形、矩形、正方形和等腰梯形，研究中点四边形EFGH形状。
　　　　　　
　　　　
　　发现：中点四边形的形状有一般平行四边形或矩形、菱形和正方形。

2. 思考：决定中点四边形形状的主要因素是什么？
　　结论：决定中点四边形形状的主要因素是四边形对角线的长度和位置。
　　　　　　
　　规律：
　　（1）若四边形对角线互相垂直，则它的中点四边形为矩形；
　　（2）若四边形对角线相等，则它的中点四边形为菱形；
　　（3）若四边形对角线相等且互相垂直，则它的中点四边形为正方形；

　　2．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD,E、F、M、N分别是CD、AB、AD、BC的中点，EF=MN.求证BD⊥ME.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：构造中点四边形。能够证明四边形EMFN是平行四边形。由EF=MN，得到四边形EMFN是矩形。因为EN∥BD,EN⊥ME 所以BD⊥ME.

　　3．已知：如图，分别以BM、CM为边，向⊿BMC形外做等边三角形ABM、CDM，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA中点。
　　(1)猜测四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
　　(2)⊿BMC形状的改变是否对上述结论有影响。
　　分析：可以把图形分解成我们所熟悉的图形。
　　　　　四边形EFGH的形状是由线段AC、BD决定的。
　　　　　连结AC、BD，⊿AMC与⊿BMD关于点M成旋转对称。
　　　　　所以AC=BD,因此四边形EFGH是菱形。
　　　　　如图所示，⊿BMC形状的改变对上述结论没有影响。
　　反思：在例3中，通过向三角形形外做等边三角形构造了中点四边形，你还能构造类似的图形吗？
　　　　　　

　　4．已知：如图，分别以BM、CM为边，向⊿BMC形外做等腰直角三角形ABM、CDM，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA中点。
　　(1)猜测四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
　　(2)⊿BMC形状的改变是否对上述结论有影响。
　　答案：（1）正方形；（2）不影响。

　　5．已知：如图，分别以AB、AC为边向⊿ABC形外作正方形ABDE、正方形ACGF，M、N、P、Q分别是EF、BC、EB、FC的中点。
　　(1) 猜测四边形MPNQ的形状，试证明你猜想的结论。
　　(2) ⊿ABC形状的改变是否对上述结论有影响，请说明理由。
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：把图形分解成我们所熟悉的图形。
　　（1）猜想四边形MPNQ可能是正方形。
　　　　 由右图可知，四边形MPNQ的形状由四边形BCFE的对角线决定.
　　　　 即四边形MPNQ的形状是由CE与BF的数量关系和位置关系决定的。
　　（2）在右图中我们曾讨论过CE与BF的数量关系和位置关系,得到结论：
　　　　 ⊿EAC与⊿FAB关于点A成旋转对称。所以CE=BF且CE⊥BF。
　　　　 因此四边形MPNQ是正方形。
　　结论：如图所示：改变⊿ABC的形状，四边形MPNQ仍然是正方形。因为无论⊿ABC形状如何改变，CE与BF的数量关系和位置关系都不发生变化。
　　　　　

三、重点知识小结：
　　1．如果图形中有两个以上的中点，一般就具有应用三角形中位线定理的条件，如果是四边形就可以通
　 　　过对角线转化为三角形.
　　2．顺次连接任意平面四边形各边中点必定得到平行四边形.
　 　　顺次连接菱形各边中点得到的必定是矩形；
　 　　顺次连接矩形各边中点得到的必定是菱形
　　3. 实际上，“中点四边形”一定是平行四边形，它是不是特殊的平行四边形取决于它的对角线是否垂
　 　　直或者是否相等，与是否互相平分无关.

来源：中国哲士网

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