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轴对称复习
一、知识点回顾
1．主要概念
轴对称与轴对称图形的联系与区别．
轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称．两个图形关于某直线对称，也称为轴对称．这条直线就是它的对称轴．
轴对称图形：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
区别：轴对称图形是说一个具有特殊性质的图形，是对一个图形说的；
轴对称是指两个图形之间的位置关系，是对两个图形说的．
联系：轴对称与轴对称图形都有对称轴，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对
称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称．
2．重要结论
（1）轴对称性质
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的____（垂直平分线）
（2）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个______距离_____(端点，相等）
（3）线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离___________的点，在这条线段的
___________（相等，垂直平分线上）
（4）作轴对称图形：几何图形都可以看作由___________组成，只要分别作出这些___________关于对
称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形（点，点）
（5）用坐标表示轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的的坐标是__________；关于y轴对称的点的的
坐标是___________（（x，－y），（－x，y））
（6）等腰三角形的性质：如果一个三角形有两条___________相等，那么这两条___________所对的角
也相等（简写作“___________”）（边，边，等边对等角）
（7）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个___________相等，那么这两个___________所对的边
也相等（简写成“___________”）．（角，角，等角对等边）
（8）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都___________，并且每一个角都等于___________．
（相等，60度）
（9）等边三角形的判定：三个角都___________的三角形就是等边三角形；有一个角是__________
的___________三角形就是等边三角形．（相等，60度，等腰）
（10）直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的___________边等
于__________的__________．（直角，斜边，一半）
二、方法思想
1．对称思想：利用轴对称可创造平衡、和谐、完美，是探索图形性质及发现图形关系的手段之一，利
用轴对称常可巧妙解决有关问题．
2．转化思想：解决轴对称问题、进行轴对称作图、设计图案等，都可转化为点与点之间的轴对称问
题．另外根据轴对称的性质可将“线段之和最小”的问题转化为两点之间的最短距离问题．
3．分类讨论思想：在涉及等腰三角形的边或角问题时，常常需分情况讨论，且根据三角形三边关系或
三角形内角和为 检验是否成立．
4．构造思想：添加辅助线构造线段垂直平分线性质的基本图形，构造等腰三角形或构造等腰三角形性
质的基本图形可巧妙解决有关问题．
三、考点解析
【轴对称】
1．轴对称图形的识别
 1．（1）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
答案：D
（2）下列图形是轴对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
答案：A
（3）请同学们写出两个具有轴对称性的汉字___________．
参考答案：羊，串
2．对称轴的考察
2．（1）在下列对称图形中，对称轴的条数最少的图形是（ ）．
A．圆 B．等边三角形 C．正方形 D．正六边形
答案：B
（2）易错点———角的对称轴是___________．
答案：角平分线所在直线
3．轴对称和轴对称图形的性质
共同的特征：对折后的两部分是完全重合的，即对应线段相等，对应角相等．
性质：（1）关于某条直线成轴对称的两个图形全等；
（2）对称轴是对应点所连线段的垂直平分线．
3．
（1）如图，△ABC与 关于直线l对称，且∠A=98°，∠C`=28°，则∠B的度数为（ ）．
A．48° B．54° C．74° D．78°
（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则
 （ ）．
A．40° B．30° C．20° D．10°
（3）如图，等边△ABC的边长为1 cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点
A′处，且点在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为___________cm．
  
第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图
答案： （1）B； （2）D； （3）3
4．利用轴对称设计图案
4．在学习“轴对称现象”内容时，王老师让同学们寻找身边的轴对称图形，小明有一副三角尺和一个量角器（如图所示）．
A B C
（1）小明的这三件文具中，可以看做是轴对称图形的是___________（填字母代号）；
（2）请用这三个图形中的两个拼成一个轴对称图案，在答题卡的指定位置画出草图(只须画出一种)；
答案：（1）B、C （2）略。
5．运用轴对称的性质解决几何问题
5．（1）如图所示的矩形纸片，先沿虑线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虑线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（ ）
*（2）用一个正方形纸想剪出如图所示的图形，应先将纸怎样折叠，才能使剪的次数最少？
答案：（1）C
（2）解：如图，折叠三次后剪1刀。
【线段垂直平分线】
线段的垂直平分线的知识是研究几何的基础，许多与之相关的问题，若能巧妙的运用线段垂直平分线的知识，既能省去一次三角形全等的证明，而且还使得求解过程更为简洁．
1．求图形的角度
 1．如图，在 中， ， 是 的垂直平分线，交于点 ，交 于点 ．已知 ，则 的度数为（ ）．
A．30° B．40° C．50° D．60°
答案：B
解析：∵是的垂直平分线，交于点，交于点．
∴AE＝CE
∴
∵，
∴
∴
2．求线段的长度
 2．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 ．
答案：6
解析：∵BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E
∴BE＝CE，BD＝CD
∵DE＋EC＋CD＝24，即DE＋BE＋BD＝24………①
又∵BD＋BE－DE＝12………②
由①-②得：2DE=12
∴DE＝6
3．求图形周长
3．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC ＝ 5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）．
A．13 B．14 C．15 D．16
答案：A
*4．证明直线是线段的垂直平分线
 4．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD．
（1）求证：BE＝AD；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．
证明：（1）∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，
∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，
∴∠1＝∠2
∵∠ABC＝∠DAB＝90°，AB＝BC
∴△BAD≌△CBE
∴AD＝BE
（2）∵E是AB中点，
∴EB＝EA
由（1）AD＝BE得：AE＝AD
∵AD∥BC
∴∠7＝∠ACB＝45°
∵∠6＝45°
∴∠6＝∠7
由等腰三角形的性质，得：EM＝MD，AM⊥DE。
即AC是线段ED的垂直平分线。
（3）△DBC是等腰三角（CD＝BD）
理由如下：
由（2）得：CD＝CE
由（1）得：CE＝BD
∴CD＝BD
∴△DBC是等腰三角形。
5．运用线段垂直平分线的性质解决几何问题
5．（1）如图所示，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
（2）如图，某地有两所大学和两条交叉的公路，点M、N表示大学，OA、OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．
解：（1）如下图，连结AB，作线段AB的垂直平分线CD，则直线CD为所求。
（2）如下图，连结MN，作线段MN的垂直平分线，交 的平分线于点P，则点P即为所求。
【轴对称变换】
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．轴对称变换同旋转变换、平移变换一样，都是图形变换的一种，轴对称变换的实质就是图形的翻折，而翻折问题往往可以看作是图形的全等问题，解这类问题的关键是利用图形的全等，找出对应线段对应角，挖掘题目的隐含条件，再利用结论使问题获解．
注意：经过变换以后，只是位置发生了变化，图形的形状和大小并未改变．
1．作图
1.如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形．
解：分别作出点A、B、C关于直线l的对称点A′、B′、C′，
作△A′B′C′，即为所求。
2．坐标系中的轴对称变换
点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于x轴对称 
点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于y轴对称
点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于原点对称
2．（1）点P（3，-5）关于 轴对称的点的坐标为（ ）
A．（－3，－5） B．（5，3） C．（－3，5） D．（3，5）
（2）如图，在正方形网格纸上有一个△ABC
①作△ABC关于直线MN的对称图形；
②若网格上最小正方形边长为1，求△ABC的面积．
答案：（1）D； （2）①略 ②2.5
【综合运用】
1．（湖北省咸宁市）如图1，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．
实验与探究：
(1) 由图1观察易知A（0，2）关于直线l的对称点 的坐标为（2，0），请在图中分别标明B(5,3) 、
C(-2,5) 关于直线l的对称点、 的位置，并写出他们的坐标:
___________、 ____________；
归纳与发现：
(2) 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平
分线l的对称点 的坐标为___________（不必证明）；
运用与拓广：
(3) 已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求
出Q点坐标．
 
解：（1）如图1—1： ，
（2）(b，a)
（3）由(2)得，D(1,-3) 关于直线l的对称点 的坐标为(-3,1)，
连接E交直线l于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小 ，
设过(-3,1) 、E(-1,-4)的设直线的解析式为 ，则
 ∴
∴ ．
由 得
∴所求Q点的坐标为（ ，）
说明：由点E关于直线l的对称点也可完成求解．
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