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[组图]函数的图象和正比例函数

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函数的图象和正比例函数
一、知识回顾
  1.函数有三种表示方法:解析法(关系式和自变量取值范围)、列表法、图象法.
  2.用图象描述函数的必要性:
    (1)有些函数关系很难用式子表示;
    (2)图表示会使函数关系更直观和形象.
  3.用坐标平面内的点表示函数关系的方法叫做图象法
    (1)对于一个函数,如果把自变量x和函数y的每对对应值分别作为点横坐标和纵坐标,在坐标平
      面内描出这些点所组成的图象(或集合)叫做这个函数的图象
    (2)在初中,作一个函数的图象,一般都是结合列表法,通过描点近似地作出的.

二、函数图象
  以“正方形边长与面积的函数关系”为例:
  1.利用解析式表示为,其中
  2.利用在坐标系中图的方法来表示的关系.
  自变量的一个确定的值,都有唯一的值与它对应,确定了一个点
  (1)列表:写出自变量和函数的一些对应值.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25
  (2)描点:以表中的每一组有序实数对作为点的坐标,
     在坐标系中出相应的点.
  (3)连线:按照横坐标从小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来
  3.思考:
  (1)在图中标出部分的图象;
  (2)观察图象,找出函数的最小值;
  (2)如何出完整的的图象.

  1.在同一坐标系中,出下列函数的图象:
  (1);(2)
  解:(1)在函数中,自变量x的取值范围是全体实数.
       列表:
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
       描点、连线:
    (2)在函数,自变量x的取值范围是全体实数.
       列表:
-3 -2 -1 0 1 2 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2
       描点、连线:
       图略.
       实际上,两个函数的图象都是一条直线,它们之间可以通过平移得到.

  2.的图象.
  解:在函数中,自变量x的取值范围是
    列表:
0.5 1 1.5 2 3 4 6
12 6 4 3 2 1.5 1
    描点、连线:
                   
  思考:判断点(12,0.5)、(3,3)和(在函数的图象上吗?
  答案:只有点(12,0.5)在函数的图象上。

三、函数图象的应用
  首先要能根据所给图象分析实际问题的过程,其次要求根据实际过程出所需的函数关系示意图。
  1.分析横轴纵轴含义;
  2.剖析坐标对应关系;
  3.把握图象变化趋势;
  4.掌握图象简单计算;
  5.会函数关系示意图.
  1. 小明从家里出发去菜地浇水,又去玉米地锄,然后回家,其中x表示时间,y表示小明离他家的距离。(小明家、菜地、玉米地在一条直线上)
                  
  问题1:菜地离小明家多远?小明走到菜地用了多少时间?
  问题2:小明给菜地浇水用了多少时间?
  问题3:菜地离玉米地多远?小明从菜地走到玉米地用了多少时间?
  问题4:小明给玉米地锄用了多少时间?
  问题5:玉米地离小明家多远?他从玉米地回家的平均速度是多少?
  分析:在0到15分钟,小明离家的距离y随时间x的推移而逐渐均匀增大,说明小明正在匀速离家往菜地走去;在15到25分钟,y=1.1(km)不变,表示小明原地没动,也就是在菜地浇水,所以菜地离家1.1千米,浇水用了10分钟;从25到37分钟,小明离开菜地向玉米地匀速前进,第37分钟到达玉米地,可得菜地离玉米地0.9千米,从菜地走到玉米地用时12分钟;在第37到55分钟,y=2(km)不变,小明在玉米地锄草,所以锄用时18分钟;到第55分钟开始y随x增大而逐渐减小(即图象下降),说明小明在回家途中,玉米地离家2千米,从第55分钟开始回家,第80分钟y=0即小明到家,回家共用25分钟,可求得回家的平均速度为2/25=0.08千米/分钟。             

  2.右图表示一辆汽车的速度随时间变化的情况:
  ①汽车行驶了多长时间?它的最高时速是多少?
  ②汽车在哪些时间段保持匀速行驶?时速分别是多少?
  ③出发后8分钟到12分钟之间可能发生了什么情况?
  ④比较线段OA与DE,你有何发现?
  ⑤用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况。
  分析:从0到2分钟,速度y随时间x的推移逐渐增大,说明汽车在逐渐提速;在2到6分钟,汽车保持速度y=20km/h不变,即进行匀速运动;之后从第6到第8分钟,汽车逐渐减速到0km/h;在8到12分钟,速度y=0,汽车没有行使;从第12到14分钟,汽车从静止逐渐提速到120km/h;又保持这个时速到第18分钟;自第18分钟开始速度y随时间的推移而逐渐减小,即汽车逐渐减速直到第24分钟减速到0。
  所以汽车共行驶24-(12-8)=20分钟;最高时速为120km/h;在第2到6分钟,以及第14到18分钟,均为匀速行驶,时速分别为20km/h和120km/h;出发后8分钟到12分钟之间,车子静止不动;比较OA和DE段,发现同样是两分钟内的运动过程,OA表示汽车在两分钟内加速到20km/h,而DE段表示汽车在两分钟内提速到120km/h。

  3. 甲、乙两同学在同样的泳道中游泳,甲先自由泳到泳道中点后改为蛙泳,而乙则先蛙泳到泳道中点后改为自由泳.两人同时出发,最后同时到终点.又知二人自由泳均比蛙泳快,若某人离开泳道起点的距离s与时间t的函数关系用图象表示,则甲是图_____,乙是图_____
     
  分析:自由泳比蛙泳速度快,即相同路程下,自由泳用时更短,(或者说相同时间下,自由泳路程更长),可见从图形直观来看,在S-t图中,表示自由泳的线段应该比蛙泳的更陡,甲是先自由泳后蛙泳,故其图象呈现应先陡后缓,同样道理乙的图象将先缓后陡;两人都是在泳道中间改换泳姿,故两人的图象均应在S的取值范围的中间拐弯。综上所述:甲对应图①,乙对应图②。
  反思:再看图①,甲先进行自由泳的图象对应t轴两个格,后蛙泳的图象对应t轴3个格,而两种泳姿都对应S轴的相等长度,即走相同路程的前提下,时间短的速度快,又即在S-t图中图象陡的速度快。

  4. 如图是一种古代计时器——漏壶,在壶内盛一定量的水,水从壶下的小孔均匀漏出,壶壁内有刻度,人们根据水面的位置计算时间,用x表示时间,用y表示壶底到水面的高度,下面的哪个图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系?(暂不考虑水量变化对压力的影响)
       
  分析:由于y表示水的深度,自然y随时间x的推移而减小,故图象应为下降趋势,首先可以排除第一个图;其次,题目限定说不考虑压力变化,认为水从小孔中均匀流出,即单位时间流出水的体积为定值,而容器为圆柱体,横截面积不变,于是单位时间水的高度减小量为定值,即y随x的增大而均匀减小,故为直线段,所以选第二个图。
  反思:若考虑水量变化对压力的影响呢?开始水量较大,压力也就大,水流出速度较快,后来随着水量的减小水流速度也会逐渐减小,所以图象会呈现从左往右先陡后缓最终降到x轴上为止。

四、正比例函数
  1.正比例关系:
  两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两个量相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系
  (1)用字母表示:如果用xy表示两种相关联的量,用k表示它们的比值(一定),正比例关系可以
     用以下关系式表示:
  (2)正比例关系两种相关联的量的变化规律:同时扩大,同时缩小,比值不变.
     例如:汽车每小时行驶的速度一定,所行的路程和所用的时间是否成正比例?

  2.正比例函数
  (1)在上述问题中,xy是变量,而k是常量,x的函数.
     如果时,是常值函数,它不随x的变化而变化.
  (2)正比例函数的定义
     一般地,形如k是常数,)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数

  3.正比例函数的图象的性质
  (1)正比例函数)的图象是一条经过原点和(1,k)点的直线,我们称为直线
  (2)当时,图象经过一、三象限,从左向右上升;
     的增大而增大;
     直线与x轴正方向的夹角(即倾斜角)为锐角.
  (3)当时,图象经过二、四象限,从左向右下降;
     的增大而减小;倾斜角为钝角.
     简要证明:
     设()和()分别是直线上的两点,
     则有;于是,
     当时,若,则,所以,即
     说明的增大而增大.
     同理,当时,的增大而减小.

  1.加热一个物体,使它每分钟上升,物体的温度y(单位:)随加热时间x(单位:分)的变化而变化.
  写出y关于x的函数解析式,并出它的图象.
  解:,其中x为全体实数.
    列表:
0 1 2
0 2 4
    描点,连线:
                

  2. 已知函数(k为常数)为正比例函数,则k=____.此函数图象经过第______象限;y随x的增大而__________;这条直线与x轴正方向夹角比直线y=-x与x轴正方向的夹角__________.
  解:由题意可知:
    所以:k=-2.
    原函数即y=-4x,经过第二、四象限,y随x的增大而减小,
    这条直线与x轴正方向夹角比直线y=-x与x轴正方向的夹角小.

来源:中国哲士网

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