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第一学期南汇区初三期末考试数学试卷
（满分150分 时间100分钟）
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一
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二
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三
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四
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总分
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17
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18
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19
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20
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21
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22
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一、填空题（本大题共12题，每小题3分，满分共36分）
1. ctg45°=_______ .
2. 分解因式x2－8=__________________________.
3. 方程 的根是__________________________.
4. 如果 ，那么用u表示 _________.
5. 设2y-3x=0（y≠0），则 _____________________.
6. 长方形的长比宽大3cm，当它的面积为10cm2时，则长方形的长和宽分别为
.
7. 设P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，若AB=8cm，则BP=___ __cm.
8. △ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2，则cosB=____________.
9. △ABC中，∠ACB=90°，AC=3.6，BC=4.8，G为△ABC的重心，则点G到AB中点的距离为____________ .
10. 两个相似三角形的相似比为2：3，又它们其中一个周长为12，则另一个三角形的周长为 .
11. 如图,△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，cosA= ，则 =_________.
12. 如图, 在□ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点F，若BE：EC=2:1, 则 .
二、单项选择题（本大题共有4题，每小题4分，满分共16分）
13. 下列方程中有实数根的是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
14. 如图，在⊿ABC中，DE∥BC，AD=3，BD=2，则⊿ADE与四边形DBCE的面积比是
(A)3：2 (B)3：5 (C)9：16 (D)9：4
15. 在Rt⊿ABC中,∠B=90°,AC=20,tgA= ,下列各式中正确的是（ ）
(A) AB=16 (B) sinA=0.6 (C) BC=18 (D) tgC=0.75
16. 如图,在⊿ABC中，∠C=90°,点D是BC上一点，且 ，下列结论中，错误的是
(A) BD=3 (B) AC=8 (C) AD=9 (D) AB=10
三、简答题（本大题共有5题，17、18每题9分， 19、20、21每题各10分，共48分）
17.解方程 18.解方程组
19. 如图在⊿ABC中，已知∠ABC=90°，sin∠ACB= AC=2,CD=2 ,AD=4,
(1)求证：⊿ ∽⊿ACD；（2）求⊿ACD各角的度数.
20. 如图,小正方形的边长为1，⊿ABC的顶点A、B、C均在小正方形的顶点上，
（1）请在图中再画一个△DEF，使D、E、F均在小正方形的顶点上，要求△DEF∽△ABC，其相似比为3：1；
（2）求cos∠DFE的值.
21. 为“保护环境，绿化家园”，某校组织自愿者参加植树活动，在植树节这一天，除事先报名者外，又有30名同学自愿参加，大家一起种了600棵香樟树，这样平均每人栽的树比原计划少了1棵，问这一天该校一共有多少学生参加了植树活动？
四、（本大题有4题， 22、23、24各12分，25大题
14分，满分50分）
22. 如图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F是AB边所在直线上的两点，且∠ECF=135°.
(1) 求证：△ECA∽△CFB；
(2) 若AE=3，设AB=x，BF=y，求 y与x之间的函数关系式，并写出定义域.
23. 如图，一海轮位于灯塔A的南偏东60°方向上的B处，以30海里/小时的速度沿正北方向航行2小时后，到达位于灯塔A的北偏东30°方向的C处，这时，海轮所在的C处距离灯塔A有多远（结果不取近似值）？
24. 如图所示，∠ACB=90°，DF⊥AB于F，sinB= , ,且CE=5，求： (1) 的长； (2) .
25. 如图， 点A的坐标为（0，5），点B在第一象限，⊿AOB为等边三角形，点C在x轴正半轴上.
（1）以AC为边，在第一象限作等边⊿ACE（保留作图痕迹，不写作法和证明）.
（2）设AC与OB的交点为D，CE与AB的延长线交于F，求证：⊿ADB∽⊿AFC.
（3）连结BE，试猜想∠ABE的度数，并证明你的猜想.
（4）若点E的坐标为（s，t），当点C在x正半轴运动时，求s、t的关系式.
06学年第一学期初三数学期末试卷参考答案及评分标准
一、填充题
1. 1 2.（x+2 ）（x-2 ） 3. x=2 4. 5. 或1 6. 5cm、2cm 7. 8. 9. 1 10. 8或18 11. 12. 27
二、选择题：
13. B 14. C 15. D 16. C
三、简答题
17. 解：去分母，两边同乘以 ，约去分母， …………………1′
得 ………………………………………2′
整理得 …………………………………1′
解得 x1=2，x2=－1 ………………………………2′
检验：当x1=2时，
当x1=－1时， ……………1′
因此，x1=2是增根，x2=－1是原方程的根. ……………1′
∴原方程的解为x=－1 ……………………………………1′
18. 解：由① 得 ③ ………………………………………1′
代入② 得
即 ………………………………2′
解得 …………………………………2′
当 时，
当 时， ………………………………………2′
…………………………………………2′
19. （1） ………………………1′
………………………1′
，……………………………………1′
……………………………………1′
∽⊿ACD. ………………………………………2′
（2）∵⊿ABC∽⊿ACD. ……………………………………1′
∠ACD=∠ABC=90°，…………………………………1′
∠CDA=∠BCA=30°，…………………………………1′
∠CAD=∠BAC=60°. …………………………………1′
20. (1)画图准确4 ′，字母标的准确1′，相似比准确2′
(2)cos∠DFE= ………………3′
21. 解：设一共有x人参加植树，则事先报名者为x－30名. ………1′
由题意得 -2 ……………………………4′
整理得x2－30x－18000=0
解得x1=150，x2=－120……………………………………3′
经检验，x1=150，x2=－120都是原方程的根，
但x1=－120不合题意，舍去……………………………1′
答：一共有150名学生参加了植树……… ………………1′
四、22. (1)证明： ∵∠E+∠ECA=45°
∠ECA+∠BCF=135°-90°=45°……………1′
∴∠E=∠BCF …………………………………2′
又 ∠EAC=∠CBF=135°…………………………1′
∴△ECA∽△CFB……………………………………2′
(2) ∵ AB=x，∴AC=BC= ……………………………1′
又∵ △ECA∽△CFB ∴ ………………………2′
∴ ……………………………1′
即
化简得 …………………………2′
23. 解法1： ， 为直角三角形. …2′
过点A作AD⊥BC与D，则 ………………………2′
设 BD=x，则AB=2x，AD= ，BC=60………………………2′
由勾股定理有 ………………………………………3′
解之得 ，所以 AC= （海里）……………2′
答：点C距灯塔A有30 海里 …………………………………1′
解法2：BC=30×2=60 …………………………………2′
又∠BAC=180°－30°－60°=90°…………………………………2′
∠C=30° …………………………………2′
∴AC=BC﹒cosC=60﹒cos30°=60× =30 (海里) …………5′
答：略. …………………………………1′
24. 解：(1) 由题可得
∽ ………………………………………1′
…………………………………………1′
而 ……………………1′
………………………………………1′
……………………………………1′
.…………………………………………1′
(2) 在Rt⊿BFE中，
∵EF=10=4×2.5,BE=12.5=5×2.5,∴BF=3×2.5=7.5……………2′
过点F作FH⊥BC于H，则 ……2′
………………………………………………2′
25. 解：(1) 作图正确 ………………………………… 2′
(2) ∵⊿AOB与⊿ACE为正三角形，∴∠ABD=∠ACF=60° ……1′
又∵ ∠BAD=∠CAF， ………………………………………………1′
∴ ⊿ADB∽⊿AFC. ………………………………………………1′
（3）猜想∠ABE=90° ………………………………………………2′
证明：∵∠BAE=60°-⊿DAB=∠OAC
AO=AB
AC=AE
∴ ⊿AOC≌⊿ABE. …………………………………………2′
∴ ∠ABE=∠AOC=90°. ……………………………………1′
（4）∵ ⊿AOB是边长为5的等边三角形，所以点B的坐标为（ ） …………………………………1′
过点B作x轴的平行线MB交y轴与M，过E作MB的垂线EN，交MB于N，则∠ABM=30°，∠EBN=180°－30°－90°=60°………………………1′
…………………………………1′
化简得： （其中 ）………………1′
（最后表达式不唯一，只要表达式正确给满分）
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