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第一学期初三数学半期考试卷
A 卷
填空题(每空3分，共27分)
1.北师大九年级上册数学实验教材的第一章和第三章分别是《证明二》、《证明三》；请你写出一条本学期学过的作为证明基础的公理
_________________________________。
2.方程x2﹢3x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 。
3.方程16x2﹣49＝0的解是 。
4.定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定是 。
5.三角形三边长为6、8、10，则这个三角形的面积是 。
6.依次连接菱形四边的中点能得到的四边形是 。
7.如图，已知四边形ABCD是菱形，则只须补充条件：
___________________(用字母表示)就可以判定四边形ABCD是正方形。
8. 一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m，宽为5m，且地毯中央长方形图案的面积为18m2。如果设花边的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长和宽分别为 ，根据题意，可得方程 。
二、选择题：（每小题4分，共20分）
1.如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D.只有丙
2.已知3是关于x的方程的一个解，则2a的值是( )
A．11 B．12 C．13 D．14
3.设M表示平行四边形，N表示矩形，P表示菱形，Q表示正方形，则下列四个图形中，能表示它们之间关系的是 ( )
4.利用方程解决实际问题的关键是( )
A. 解方程 B. 设未知数 C. 找等量关系 D. 列方程
5.利用反证法证明“三角形至少有1个内角不小于60°”应先假设（ ）
A．三角形有1个内角小于60° B．三角形每个内角都小于60°
C．三角形有1个内角大于60° D．三角形每1个内角都大于60°
三、解下列方程：（每小题7分，共21分）
1. 用配方法 2.
3. 2x(x﹢3)＝5(x﹢3)
四、作图题(8分)
1.如图，在△ABC中，AB=AC，利用尺规作AB边上的垂直平分线MN与∠BAC的角平分线AD，两线交于点P。（保留作图痕迹，不写作法）
2.你发现了PA、PB、PC有何数量关系：
五、解答题(每小题8分，共24分)
1.请将下面证明中每一步的理由填在括号内：
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2.5cm，求矩形对角线的长。
解：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC＝BD，且，
( )
∴ OA＝OD．
∵ ∠AOD＝120°，
∴ ．( )
∵ ∠DAB＝90°( )
∴ BD＝2AB＝2×2.5＝5 ( )
2.用两个含30°角的三角尺，能拼成一个等边三角形(如图)，由此你能想到，再直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？能证明你的结论吗？
已知：
求证：
证明：
3.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯每上涨1元，其销售量就将减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
请你利用方程解决这一问题。
B 卷
六、填空题（每小题4分，本题16分）
1.请写出一个一元二次方程，使得它的一个根是1，常数项为10： 。
2.已知方程的两根分别是a、，则方程
的根是 。
3.如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的
中点，要使中间阴影部分小正方形的面积是5，那么
大正方形的边长应该是 。
4. 如图，正方形木框ABCD，边长为1，四个角用铰链接着，一边BC固定在桌面上，沿AD方向用力推。正方形变成四边形A′BCD′，设A′D′交DC于点E，当E是DC的中点时，两四边形ABCD、A′BCD′重叠部分的面积是__________。
七、选择题(每小题4分，12分)
1.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中二次项系数、一次项系数和常数项之和为零，那么此方程必有一根为( )
A．0 B．1 C．－1 D．±1
2.矩形ABCD中，R为CD上一定点，P为BC上一动点，
E、F分别是AP、RP的中点，当P从B向C移动时，线段
EF的长度（ ）
A．不变 B．逐渐变大 C．逐渐变小 D．无法确定
3.如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＋3＝0的根，则m的值为（ ）
A．－3 B．5 C．5 或－3 D．－5或3
八、解答题（本题10分）
已知：如图1，BD分别是△ABC的外角平分线，过点
A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连结FG，延长
AF、AG，与直线BC相交，易证。
若(1)BD、CE分别是△ABC的内角平分线(如图2)；
(2)BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线(如图3)。则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明。
十、（本题12分）
某班13位同学参加每周一次的卫生大扫除，按学校的卫生要求需要完成总面积为80m2的三个项目的任务，三个项目的面积比例和每人每分钟完成各项目的工作量如下图所示：（1）从上述统计图中可知：每人每分钟擦课桌椅 m2；擦玻璃、擦课桌椅、扫地拖地的面积分别是 m2， m2， m2；（2）如果x人每分钟擦玻璃的面积是ym2，那么y关于x的函数关系式是 ；（3）他们一起完成扫地和拖地的任务后，把这13人分成两组，一组去擦玻璃，一组去擦课桌椅。如果你是卫生委员，该如何分配这两组的人数，才能最快地完成任务。
一、1. 略；2. 1，3，－2；3. ；4. 有两个角相等的三角形是等腰三角形；5. 24；6. 矩形；7. AC＝BD或∠DAB＝90°；8. (8－2x)cm、(5－2x)cm，(8－2x)(5-2x)＝18。
二、1. B；2. C；3. A；4. C；5. B。
三、1. ，；2. ，；3. ，x2＝－3。
四、1. 略；2.PA＝PB＝PC。
五、1. 矩形的对角线相等且互相平分，等边对等角，矩形的四个角都是直角，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半；2. 略；3. 每个台灯的售价应定为50元或80元，进货量相应为500个或200个。
六、1. x2－11x＋10＝0；2. x1＝a或；3. 5；4. 。
七、1. B；2. A；3. A。
八、(1)，(2) ；证明：如图2，分别延长AG、AF，交BC于M、N，可得△ABF≌△NBF，∴AF＝NF，AB＝NB，同理可得CM＝CA，AG＝MG，∴。
九、(1)，16，20，44；(2)；(3)应安排8人擦玻璃，6人擦课桌椅。
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