八年级下学期数学提高训练（二）

［知识要点］

　1.掌握直角三角形的性质。
　　如图，直角ΔABC的性质
　　（1）勾股定理:∠C=90°，则有 c²=a²+b²
　　另外还有:
　　（2）∠C=90°，则有∠A+∠B=90°,
　　（3）∠C=90°，则有c>a, c>b。
　　（4）补充定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30度，则这个角所对的直角边

等于斜边的一半。
　　如图：∠C=90°且∠A=30°，则有BC=1/2 AB (或者AB=2BC)

　　2.掌握勾股定理的逆定理：
　　勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理为直角三角形的判定定理。
　　即在ΔABC中，若a²+b²=c²，则ΔABC为RtΔ。其中c是三角形中最长的边。

　　3.注意事项:
　　(1) 注意勾股定理只适用于直角三角形，一般的非直角三角形就不存在这种关系。
　　(2) 理解勾股定理的一些变式
　　 c²=a²+b², a²=c²-b²，b²=c²-a²,c²=(a+b)²-2ab, 2ab=(a+b+c)(a+b-c)
　　(3) 在理解的基础上熟悉下列勾股数。
　　满足不定方程x²+y²=z²的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
　　熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：
　　(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17)……
　　如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。

同步练习：

一、填空题：

1. 在直角三角形中,若一条直角边长6cm,另一条直角边长是8cm,斜边是_______.

2. 在Rt△ABC,∠C=90°,a:c=12:13, b=20 ,则a=_____ c=_____.

3. 使用13米长的梯子登建筑物,如果梯子的底部离建筑物的底部的距离不能小于5米,问该梯子最多可登上_____米高的建筑物.

4. 有一个直角三角形两边长分别为4和5,则第三边长的平方为________.

5. 在高为3米,斜坡为5米的楼梯表面铺地毯,则地毯的长度需______米,若楼梯宽2米,每平方米地毯需30元,则这地毯花_____元.

5题图 6题图

6. 有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A 点相对的B点处的食物,沿圆柱侧面爬行的最短路程是________(π取3)

7. 一透明的圆柱状玻璃杯,测得其内部底面半径为3cm, 高为8cm, 现将一根长12cm的吸管斜放于杯中, 若不考虑吸管的粗细, 则吸管露出杯口外的长度最短为＿＿＿cm.

8. 如图折叠长方形ABCD的一边AD, 使点D落在BC边上的点F, 其中AB=8cm, BC=10cm,则EF的长为_______.

8题图 9题图

9. 在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别

是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、 =_____________。

二、选择题：

1．如果三条线段首尾顺次连接组成直角三角形,那么这三条线段长的比不可能是( )

A．1:2:3 B．3:4:5 C．8:15:17 D． 5:3:4

2．在△ABC中，AB=AC=10cm, BC=16cm, 则BC边上的高线长为( )

A．１２cm　　　Ｂ．8cm　　　Ｃ．6cm　　　Ｄ．10cm

3．如图,以△ABC的三边为直径向外作三个半圆,若S₁+S₂=S₃,则△ABC的形状是( )

A．直角三角形　　Ｂ．锐角三角形　　Ｃ．钝角三角形　　Ｄ．不能确定

3题图 4题图 9题图

4．一人在A处放马,他的家在B处,　A、B两处相距河岸的距离AC、BD的长分别为500m

和700m．且C、D两地相距500m,　天黑前，此人从A点将马牵到河边饮水,再赶回家,

最少要走( )

A．1000m B．1200m C．500m D．1300m

５．现有两根木棒的长度分别为40cm和50cm,　若要钉成一个直角三角形框架,那么所需的另一根木棒的长为( )

A．30cm B．40cm C．50cm Ｄ．以上都不对

６．在△ABC中,AB=13, AC=20, 高AD=12, 则△ABC的周长是( )

A．49　　　Ｂ．30　　　Ｃ．44或54　　Ｄ．37

7．把直角三角形的两边同时扩大为原来的两倍, 则斜边扩大为原来的( )

A．２倍　　　Ｂ．３倍　　　Ｃ．４倍　　　Ｄ．６倍

８．放学以后小林和小明从学校出发, 分别沿东南方向和西南方向回家, 他们的行走速度都是40m/min, 小林用了15分钟到家, 小明用了20分钟到家,　则他们两家的距离为( )

A．600m　　　Ｂ．800m　　　Ｃ．1000m　　　Ｄ．以上都不对

9. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）

A．CD、EF、GH Ｂ．AB、EF、GH

Ｃ．AB、CD、GH Ｄ．AB、CD、EF

三、简答题：

1．如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，EC＝ BC，

请判断AF与EF的位置关系，并说明理由.

B

2．如图，在△ABC中，AB=AC=6，P为BC上任意一点，

请用学过的知识试求PC·PB+PA²的值。

3. 小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？

4. 在△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DE，DE、DF分别交AC、BC、于E、F，

求证：

5．葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿着短路线—盘旋前进的。难道植物也懂得数学吗？

阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？

（1）如果树的周长为3 cm，绕一圈升高4cm，则它爬行路程是多少厘米？

（2）如果树的周长为8 cm，绕一圈爬行10cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？

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