［知识要点］

 （一）圆的有关性质

［知识归纳］

  1. 圆的有关概念：

    圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；

    弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；

    圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。

  2. 圆的对称性

    圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；

    圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

    圆具有旋转不变性。

  3. 圆的确定

    不在同一条直线上的三点确定一个圆。

  4. 垂直于弦的直径

    垂径定理  垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；

    推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

           （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

           （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

    垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

    推论2  圆的两条平行弦所夹的弧相等。

  5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

    定理  在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。

    推论  在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

    此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。

    圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

  6. 圆周角

    定理  一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

    推论1  同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；

    推论2  半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

    推论3  如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

    圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

  7. 圆内接四边形的性质

    圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

［例题分析］

  例1. 已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。

图1

    ①若AB＝，ON＝1，求MN的长；

    ②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。

    解：①∵AB＝，半径OM⊥AB，    ∴AN＝BN＝

          ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2    ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1

    ②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°    ∴∠AOM＝60°

∵ON＝OA·cos∠AON＝OM·cos60°＝

∴

    说明：如图1，一般地，若∠AOB＝2n°，OM⊥AB于N，AO＝R，ON＝h，则AB＝2Rsin n°＝2htan n°＝

例2. 已知：如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数。

图2                        图2－1

    分析：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关；弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考。

    解法一：（用垂径定理求）如图2－1，过点C作CE⊥AB于点E，交 于点F。

            ∴

又∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，

∴∠FCA＝25°

∴ 的度数为25°，∴ 的度数为50°。

    解法二：（用圆周角求）如图2－2，延长AC交⊙C于点E，连结ED

            ∵AE是直径，∴∠ADE＝90°

∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，

∴∠E＝∠B＝25°

∴ 的度数为50°。

    图2－2                           图2－3

解法三：（用圆心角求）如图2－3，连结CD

    ∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°

∵CA＝CD，  ∴∠ADC＝∠A＝65°   ∴∠ACD＝50°，∴ 的度数为50°。

例3. 已知：如图3，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离OD等于2cm，求AB的长。

图3

    分析：因为不知道∠A是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论。

    略解：（1）假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形。如图3，由AB＝AC，可知点A是优弧的中点，因为OD⊥BC且AB＝AC，根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A，连结BO

    ∵BO＝6，OD＝2

    ∴

    在Rt△ADB中，AD＝DO＋AO＝6＋2＝8

    ∴

    （2）若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，如图3－1添加辅助线及求出 ，在Rt△ADB中，AD＝AO－DO＝6－2＝4

图3－1

    ∴AB

    综上所述AB＝

    小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。

例4. 已知：如图4，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CD延长线上一点，AF交⊙O于E。求证：AE·EF＝EC·ED

     图4

    分析：求证的等积式AE·EF＝EC·ED中，有两条线段EF、ED在△EDF中，另两条线段AE、EC没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线AC，设法证明△FED∽△CEA即可。

    证明：连结AC

    ∵四边形DEAC内接于圆

    ∴∠FDE＝∠CAE，∠FED＝∠DCA    ∵直径AB⊥CD，∴

∴∠DCA＝∠CEA，     ∴∠FED＝∠CEA      ∴△FED∽△CEA

 ∴ ，       ∴AE·EF＝EC·ED

    小结：四边形内接于圆这一条件，常常不是在已知条件中明确给出的，而是隐含在图形之中，在分析已知条件时，千万不要忽略这一重要条件。

例5. 已知：如图5，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM，垂足为N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E。

   图5                       图5－1

    （1）如果CD⊥AB，求证：EN＝NM；

    （2）如果弦CD交AB于点F，且CD＝AB，求证CE²＝EF·ED；

    （3）如果弦CD绕点C旋转，并且与AB的延长线交于点F，且CD＝AB，那么（2）的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

    证明：（1）连结BM（如图5－1）

    ∵AM是直径，∴∠ABM＝90°    ∵CD⊥AB， ∴BM∥CD

∴∠ECN＝∠MBN，又AM⊥BC， ∴CN＝BN

∴Rt△CEN≌Rt△BMN，          ∴EN＝NM

（2）连结BD，BE，AC（如图5－2）

∵点E是BC垂直平分线AM上一点，∴BE＝EC

∵CD＝AB，   ∴

∴∠ACD＝∠BDC，又AB＝AC，AE＝AE

∴△ABE≌△ACE，∴∠ABE＝∠ACD＝∠BDC

∵∠BED是公共角，∴△BED∽△FEB

∴BE²＝EF·ED，

∴CE²＝EF·ED

  图5－2                         图5－3

（3）结论成立。如图5－3

    证明：仿（2）可证△ABE≌△ACE    ∴BE＝CE，且∠ABE＝∠ACE

    又∵AB＝CD，∴     ∴∠ACB＝∠DBC，∴BD∥AC

    ∴∠BDE＋∠ACE＝180°    而∠FBE＋∠ABE＝180°

    ∴∠BDE＝∠FBE，而∠BED是公共角

    ∴△BED∽△FEB    ∴BE²＝EF·ED， ∴CE²＝EF·ED

（二）直线与圆的关系

  1. 直线与圆的位置关系

  2. 切线的判定

    经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

  3. 切线的性质

    （1）圆的切线垂直于经过切点的半径；

    （2）推论1  经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；

    （3）推论2  经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

此定理及推论可理解为以下三个条件中任知其中两个就可推出第三个：

①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心。

  4. 切线长定理

    从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

  5. 弦切角定理

    （1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；

    （2）推论  如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；

    （3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

  6. 和圆有关的比例线段

    （1）相交弦定理  圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；

    （2）推论  如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；

    （3）切割线定理  从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；

    （4）推论  从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

  7. 三角形的内切圆

    （1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；

    （2）作图：作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切。

［例题分析］

  例6. 已知：如图6，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CG切⊙O于D，DE⊥AB于E。

图6

    求证：∠CDB＝∠EDB。

    分析：由AB是⊙O的直径，联想到直径的三个性质：

图6－1                               图6－2                               图6－3

    （1）直径上的圆周角是直角。若连结AD，则得Rt△ABD；

    （2）垂径定理。如图6－2，若延长DE交⊙O于F，则可得DE＝EF， ；

（3）过直径外端的切线与直径垂直。

如图6－3，若过B点作⊙O的切线BM，则AB⊥BM。

    由CD是⊙O的切线，联想到切线的三个性质：

    （1）过切点的半径垂直于切线。如图6－1，若连结OD，则OD⊥CD；

    （2）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。若连结AD，则∠CDB＝∠A；

    （3）切割线定理。如图6，CD²＝CB·CA。

    由DE⊥AB于E，联想到以下一些性质：

    （1）Rt△DEB中两锐角互余，即∠EDB＋∠EBD＝90°；

    （2）垂径定理。如图6－2，只要延长DE交⊙O于F，则可得到相等的线段，相等的弧；

    （3）构造与射影定理相关的基本图形。即连结AD，则可得到△ADB是直角三角形，DE是斜边上的高，又可得到两对相等的锐角，三个相似的三角形，还可运用射影定理、勾股定理、面积公式等。

    证明：连结AD，如图6，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°。

          ∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠A

          ∵CD是⊙O的切线，∴∠CDB＝∠A，∴∠CDB＝∠EDB

    此例题还有许多证法，比如连结OD，如图6－1，利用切线的定义；又比如延长DE交⊙O于F，连结BF，如图6－2，利用垂径定理；还可以过点B作⊙O的切线交CD于点M，如图6－3，利用切线长定理，等等，这诸多证法，读者不妨试证之。

    小结：此例题证明∠CDB＝∠EDB，即证明BD是∠CDE的平分线，由此证明可以联想到AD也是∠GDE的平分线。

    另外，通过对此例题的分析和证明可知，图6－4中隐含着很多图形的性质，如相等的锐角、相等的线段、相等的弧及相似三角形等等，为此可将图6－4分解成三个基本图形。如图6－5，以利于进一步理解线段之间的比例关系。

图6－4

图6－5

例7. 已知：如图7，点P是半圆O的直径BA延长线上的点，PC切半圆于C点，CD⊥AB于D点，若PA：PC＝1：2，DB＝4，求tan∠PCA及PC的长。

图7

    证明：连结CB

    ∵PC切半圆O于C点，∴∠PCA＝∠B

    ∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB    ∴AC：BC＝PA：PC

    ∴

    ∵AB是半圆O的直径，  ∴∠ACB＝90°

    又∵CD⊥AB    ∴

    ∴AB＝AD＋DB＝5

    ∵

    ∴

例8. 已知：如图8，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D。

图8

    求证：（1）AC是⊙D的切线；

         （2）AB＋EB＝AC

    分析：（1）欲证AC与⊙D相切，只要证圆心D到AC的距离等于⊙D的半径BD。因此要作DF⊥AC于F

    （2）只要证AC＝AF＋FC＝AB＋EB，证明的关键是证BE＝FC，这又转化为证△EBD≌△CFD。

    证明：（1）如图8，过D作DF⊥AC，F为垂足

∵AD是∠BAC的平分线，DB⊥AB，  ∴DB＝DF

∴点D到AC的距离等于圆D的半径

    ∴AC是⊙D的切线

    （2）∵AB⊥BD，⊙D的半径等于BD，

∴AB是⊙D的切线，   ∴AB＝AF

∵在Rt△BED和Rt△FCD中，ED＝CD，BD＝FD

    ∴△BED≌△FCD，    ∴BE＝FC      ∴AB＋BE＝AF＋FC＝AC

    小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。此例题属于后一类

例9. 已知：如图9，AB为⊙O的弦，P为BA延长线上一点，PE与⊙O相切于点E，C为 中点，连CE交AB于点F。

图9                          图9－1

    求证：

    分析：由已知可得PE²＝PA·PB，因此要证PF²＝PA·PB，只要证PE＝PF。即证∠PFE＝∠PEF。

    证明一：如图9，作直径CD，交AB于点G，连结ED，

    ∴∠CED＝90°

    ∵点C为的中点，∴CD⊥AB，∴∠CFG＝∠D

    ∵PE为⊙O切线，E为切点    ∴∠PEF＝∠D，∴∠PEF＝∠CFG

    ∵∠CFG＝∠PFE，∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF    ∵PE²＝PA·PB，∴PF²＝PA·PB

    证明二：如图9－1，连结AC、AE

    ∵点C是的中点，∴ ，∴∠CAB＝∠AEC

∵PE切⊙O于点E， ∴∠PEA＝∠C

∵∠PFE＝∠CAB＋∠C，∠PEF＝∠PEA＋∠AEC

    ∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF    ∵PE²＝PA·PB，∴PF²＝PA·PB

例10. （1）如图10，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F（不与B重合），直线l交⊙O于C、D，交BA延长线于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC、AD

     图10                         图10－1

    求证：①∠BAD＝∠CAG；

          ②AC·AD＝AE·AF

    （2）在问题（1）中，当直线l向上平行移动，与⊙O相切时，其它条件不变。

    ①请你在图10－1中画出变化后的图形，并对照图10标记字母；

②问题（1）中的两个结论是否成立？

如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。

    证明：（1）①连结BD

    ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°    ∴∠AGC＝∠ADB＝90°

    又∵ACDB是⊙O内接四边形    ∴∠ACG＝∠B，∴∠BAD＝∠CAG

    ②连结CF

    ∵∠BAD＝∠CAG，∠EAG＝∠FAB    ∴∠DAE＝∠FAC

    又∵∠ADC＝∠F，∴△ADE∽△AFC   ∴ ，  ∴AC·AD＝AE·AF

    （2）①见图10－1

    ②两个结论都成立，证明如下：

    ①连结BC，

    ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°    ∴∠ACB＝∠AGC＝90°

    ∵GC切⊙O于C，∴∠GCA＝∠ABC    ∴∠BAC＝∠CAG（即∠BAD＝∠CAG）

    ②连结CF

    ∵∠CAG＝∠BAC，∠GCF＝∠GAC，

    ∴∠GCF＝∠CAE，∠ACF＝∠ACG－∠GFC，∠E＝∠ACG－∠CAE

    ∴∠ACF＝∠E，∴△ACF∽△AEC，∴

    ∴AC²＝AE·AF（即AC·AD＝AE·AF）

    说明：本题通过变化图形的位置，考查了学生动手画图的能力，并通过探究式的提问加强了对学生证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。

例11. 如图11，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E。

图11                             图11－1

    （1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求，不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）。

    （2）若∠ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形。

    分析：（1）若连结DO，可证得DE是⊙O的切线。

    若连结DB，由直径AB和点D是AC的中点，可得AB＝BC，∠A＝∠C等。而且DE⊥BC于点E，又由双垂图形，可得 ， 等。

    （2）连结DO、OB。方法同上。

    答：下列结论可供选择，如图11－1

（1）①DE是⊙O的切线  ②AB＝BC  ③∠A＝∠C  ④DE²＝BE·CE

 ⑤CD²＝CE·CB  ⑥∠C＋∠CDE＝90°  ⑦

    （2）①CE＝BE  ②DE＝BE  ③DE＝CE  ④DE∥AB  ⑤CB是⊙O的切线  ⑥ B  ⑦∠A＝∠CDE＝45°  ⑧∠C＝∠CDE＝45°  ⑨CB²＝CD·CA  ⑩   (11)   (12)

    说明：本题是结论开放的探索性问题，答案不唯一。寻找结论的关键是抓住命题的条件及其特点（尤其是利用特殊几何图形的判定和性质），在几何中诸如：相等关系、特殊图形、两图形的关系等。