八年级上学期数学提高训练(二)
[知识要点]
1. 轴对称与轴对称图形相关概念
(1)如果把一个图形沿着某一条直线折叠后,能够与另一个图形重合,那么这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫做对称轴,两个图形中的对应点叫做对称点。
(2)如果把一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。
(有些轴对称图形的对称轴不止一条)
如:
轴对称图形:圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、角、线段等。
2. 轴对称与轴对称图形的区别与联系
1)区别
①轴对称是两个图形之间的对称关系,轴对称图形是一个图形自身的对称特性;
②轴对称的对称点分别在两个图形上,轴对称图形的对称点都在同一个图形上;
③两个图形成轴对称,其对称轴可能在两个图形的外部,也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点),轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部。
2)联系
①都能沿某直线翻折后互相重合;
②如果把轴对称的两个图形看做一个整体,那么它就是一个轴对称图形;如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两部分就关于这条对称轴成轴对称。
3. 轴对称的性质
(1)成轴对称的两个图形全等;(对应线段相等,对应角相等)
(2)如果两个图形成轴对称,那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
4. 画轴对称图形的一般步骤
(1)定好对称轴。
☆(2)找准图形中的关键点。
(一般,线段的关键点是它的各端点,三角形的关键点是它的各顶点)
(3)作对关键点的对称点,完成轴对称图形。
(原理:成轴对称的两个图形的对应点也成轴对称。)
5.简单的轴对称图形
常见的轴对称图形主要有:线段 ,其对称轴有两条,一是线段所在的直线,另一条是它的垂直平分线.角,其对称轴为角平分线所在的直线.圆,经过圆心的任何一条直线都是对称轴,圆有无数条对称轴.
6.线段的垂直平分线性质
一条直线,如果它垂直于线段 ,又平分线段 ,则称这条直线为这条线段的垂直平分线或中垂线.
性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等.
说明:(1)用符号语言叙述该性质就是:因为点 在线段 的垂直平分线上,所以 .
(2)该性质的作用是:说明两条线段相等.
7.角平分线性质
性质:角平分线上的点到角两边的距离相等.
说明:(1)用符号语言表示该性质:如右图,
因为 点在 的平分线上, ,
所以 .
(2)该性质的作用是:说明两条线段相等.
8.等腰三角形的有关概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角。
9.等腰三角形的性质
等腰三角形的性质1:等腰三角形的两个底角相等。(简写成“等边对等角”)
等腰三角形的性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
10.等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。(简写成“等角对等边”)
11.等边三角形的有关概念
在等腰三角形中,有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形,我们把这样的三角形叫做等边三角形。
12.等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°。
13.等边三角形的判定
等边三角形的判定1:三个角都相等的三角形是等边三角形;
等边三角形的判定2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;
14.直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于60°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
同步练习:
一、选择题
1.如图,下列图案是我国几家银行的标志,其中是轴对称图形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.等腰三角形中的一个角等于100°,则另两个内角的度数分别为( )
A.40°,40° B.100°,20°
C.50°,50° D.40°,40°或100°,20°
3.下列轴对称图形中,对称轴最多的是( )
A.等腰直角三角形 B.有一角为 的等腰三角形
C.正方形 D.圆
4.下列说法中正确的是( )
① 角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等 ②角是轴对称图形
③线段不是轴对称图形 ④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
A.①②③④ B.①②③ C.②④ D.②③④
5.小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示实际时间是( )
A.21:10 B. 10:21 C. 10:51 D. 12:01
6.把26个英文字母按规律分成5组,现在还有5个字母D、M、Q、X、Z,请你按原规律补上,其顺序依次为( )
①F R P J L G □ ②H I O □
③N S □ ④B C K E □ ⑤V A T Y W U □
A.Q X Z W D B.D M Q Z X C.Z X M D Q D.Q X Z D M
二、填空题
7.数的计算中有一些有趣的对称形式,如:12×231=132×21;仿照
上面的形式填空,并判断等式是否成立:
(1) 12×462=______×____ ( ) , (2) 18×891=______×_____ ( )。
8.如右图,ΔABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D。
(1) 若∠A=38°,则∠DBC=______________。
(2) 若AC+BC=10cm,则ΔDBC的周长为___________。
9.若等腰三角形的顶角为120°,则腰上的高与底边的夹角为 度。
10.(哈佛大学入学考试试题)请找出下列符号所蕴含的内在规律,然后在横线上设计一个恰当的图形。
三、作图题
11.用直尺和量角器在下图中的直线AB上找一点M,使ME = MF。
12.画下列图形关于直线MN的对称图形.
四、解答题
13.如图所示,点D在AC上,点E在AB上,且AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数。
14.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,BD平分∠B,DE⊥BC,若BC=10cm,求△DCE的周长.
15.如图,已知P点是∠AOB平分线上一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足为C、D.
(1)∠PCD=∠PDC吗?为什么?
(2)说明OP是CD的垂直平分线。
解:(1)∠PCD=______:
∵OP是∠AOB的角平分线,PC⊥OA,PD⊥OB
∴PC= ( )
∴∠PCD= ( )
(2) ∵OP是∠AOB的角平分线
∴∠1=
∵PC⊥OA,PD⊥OB
∴∠1+ =900,∠2+ =900
∴∠ =∠
∵PC=PD
∴PE⊥CD,CE= ( )
∴OP是CD的垂直平分线
16.如图,村庄A、B位于一条小河的两侧,若河岸a、b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近?(作图并说明理由)