八年级上学期数学提高训练（二）

 

［知识要点］

 

1. 轴对称与轴对称图形相关概念

（1）如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。

（2）如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

（有些轴对称图形的对称轴不止一条）

如：

轴对称图形：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、角、线段等。

2. 轴对称与轴对称图形的区别与联系

1）区别

①轴对称是两个图形之间的对称关系，轴对称图形是一个图形自身的对称特性；

②轴对称的对称点分别在两个图形上，轴对称图形的对称点都在同一个图形上；

③两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点），轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部。

2）联系

①都能沿某直线翻折后互相重合；

②如果把轴对称的两个图形看做一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分就关于这条对称轴成轴对称。

3. 轴对称的性质

（1）成轴对称的两个图形全等；（对应线段相等，对应角相等）

（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

4. 画轴对称图形的一般步骤

（1）定好对称轴。

☆（2）找准图形中的关键点。

（一般，线段的关键点是它的各端点，三角形的关键点是它的各顶点）

（3）作对关键点的对称点，完成轴对称图形。

（原理：成轴对称的两个图形的对应点也成轴对称。）

 

5．简单的轴对称图形

　　常见的轴对称图形主要有：线段 ，其对称轴有两条，一是线段所在的直线，另一条是它的垂直平分线．角，其对称轴为角平分线所在的直线．圆，经过圆心的任何一条直线都是对称轴，圆有无数条对称轴．

　　6．线段的垂直平分线性质

　　一条直线，如果它垂直于线段 ，又平分线段 ，则称这条直线为这条线段的垂直平分线或中垂线．

　　性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等．

　　说明：（1）用符号语言叙述该性质就是：因为点 在线段 的垂直平分线上，所以 ．

 

E

O

D

P

l

A

B

　　     （2）该性质的作用是：说明两条线段相等．

 

　　7．角平分线性质

　　性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．

　　说明：（1）用符号语言表示该性质：如右图，

　　          因为 点在 的平分线上， ，

所以 ．

　　     （2）该性质的作用是：说明两条线段相等．

 

8．等腰三角形的有关概念

    有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

9．等腰三角形的性质

    等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”）

    等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

10．等腰三角形的判定定理

    如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简写成“等角对等边”）

11．等边三角形的有关概念

    在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。

12．等边三角形的性质

    等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

13．等边三角形的判定

等边三角形的判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形；

等边三角形的判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

14．直角三角形的性质

在直角三角形中，如果一个锐角等于60°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

 

 

同步练习：

 

一、选择题

1．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有（     ）

 

 

 

A．1个           B．2个            C．3个            D．4个

2．等腰三角形中的一个角等于100°，则另两个内角的度数分别为（     ）

A．40°，40°                       B．100°，20°

C．50°，50°                       D．40°，40°或100°，20°

3．下列轴对称图形中，对称轴最多的是（      ）

A．等腰直角三角形                   B．有一角为 的等腰三角形

C．正方形                           D．圆

4．下列说法中正确的是(      ）

① 角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等      ②角是轴对称图形

③线段不是轴对称图形    ④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

 

A．①②③④      B．①②③         C．②④           D．②③④

 

5．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示实际时间是（      ）

A．21：10        B． 10：21        C． 10：51        D． 12：01

6．把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（      ）

    ①F  R  P  J  L  G  □         ②H  I  O  □

    ③N  S  □          ④B  C  K  E  □        ⑤V  A  T  Y  W  U  □

    A．Q X Z W D     B．D M Q Z X      C．Z X M D Q      D．Q X Z D M

 

二、填空题

7．数的计算中有一些有趣的对称形式，如：12×231=132×21；仿照

上面的形式填空，并判断等式是否成立：

(1) 12×462=______×____ (     ) ,    (2) 18×891=______×_____ (      )。

8．如右图，ΔABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D。

  (1) 若∠A=38°，则∠DBC=______________。

  (2) 若AC+BC=10cm，则ΔDBC的周长为___________。

9．若等腰三角形的顶角为120°，则腰上的高与底边的夹角为           度。

10．（哈佛大学入学考试试题）请找出下列符号所蕴含的内在规律，然后在横线上设计一个恰当的图形。

 

 

三、作图题

11．用直尺和量角器在下图中的直线AB上找一点M，使ME = MF。

 

 

E

A

B

F

 

 

 

 

 

 

 

 

N

B

C

M

A

 

 

 

12．画下列图形关于直线MN的对称图形.

 

 

 

 

四、解答题

13．如图所示，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数。

 

 

 

 

 

 

 

14．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，BD平分∠B，DE⊥BC，若BC＝10cm，求△DCE的周长．

 

 

 

 

 

 

 

 

15．如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D.

 (1）∠PCD=∠PDC吗？为什么？

 (2）说明OP是CD的垂直平分线。

解：（1）∠PCD＝______：

∵OP是∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB

        ∴PC=     (                                               ）

        ∴∠PCD＝    (                     ）

(2） ∵OP是∠AOB的角平分线

　　　　∴∠1=   

∵PC⊥OA，PD⊥OB

∴∠1+     =90⁰，∠2+    =90⁰

∴∠     =∠     

∵PC=PD

∴PE⊥CD，CE=     (                                   ）

∴OP是CD的垂直平分线

 

16．如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？(作图并说明理由)