|
一、整体感受 师：今天这节课，我们研究时正是圆。瞧，(教师出示一个．信封)这信封里就装有一个圆，想看看吗? 生(齐)：想! 师(从中摸出一个圆)：是圆吗? 生：是。 师：现在，老师把它重新放回信封里，有信心把它从信封里摸出来吗? 生：有! 师：那当然，如果信封里只有这一个图形，谁都能摸出来。(生笑。)但问题是，信封里除了这个圆以外，还有其他平面图形。想看看吗? 生：想! 教师先后从信封中取出一些图形(如图1)，让学生一一辨认。 师：现在，要从这一堆平面图形中把圆摸出来，有难度吗? 生(齐)：没有! 师：为什么? 生：很简单呀，圆是弯弯的，而其他图形的边都是直直的。 生：圆没有角，而其他图形都有角。 师：奇怪，为什么这些图形都有角，而圆却没有呢? 生：因为这些图形都是由直线围成的…… 师：不够专业。 生：哦，是由线段围咸的。 师：这就对了!我们把这些由线段围成的平面图形，叫做直线图形。直线图形都有角。圆是直线图形吗? 生：不是，它是由曲线围成的。 师：所以，圆看起来特别一 生：光滑。 生：圆润。 师：感觉真好!那么，该给这类由曲线围成的，光滑、圆润的平面图形，取个怎样的名称呢? 生：曲线图形。 师：没错!那现在，要从这一堆直线图形中把圆这个唯一的曲线图形摸出来，难不难? 生：不难。 生：找最光滑的摸就行了。 师：不过，问题可不像你们想象的那么简单。因为信封里，还有几个图形呢。 (生颇感意外。) 教师出示图2。 师：怎么样，它也是由曲线围成的吧? 生：是呀。 师：看起来也特别光滑? 生：是的。 师：看来，你们一定会把它也当做圆模出来。 生：不会!不会! 师：为什么? 生：因为圆很圆，但它不那么圆。 生：因为它有的地方凹，有的地方凸。 师：噢，这个图形看起来有些凹凸不平。而圆呢? 生：圆不会凹进去，一直向外凸着。 生：圆看起来特别饱满。 师：这个词儿好!不过(教师接着从信封里取出图3)，这儿还有一个图形，它可没有凹凸不平。怎么样，够光滑、够饱满吧? 生：嗯。 师：看来，这一回你们一定会把它当做圆摸出来了。 生：也不会! 师：为什么? 生：因为这个图形看起来扁扁的，不像圆那么鼓。 师(将椭圆旋转90°后)：现在看起来呢? 生：感觉这个图形瘦瘦的。 师：那圆呢? (教师出示圆片，并不停旋转。)感觉怎么样? 生：怎么转，看起来都一样。 生：而且，圆看起来特别匀称。 师：小小的一个游戏，无非是为了让大家认识到，和其他平面图形相比，圆的确—生：很特别。 师：没错，和这些直线图形相比—— 生：圆是一个曲线图形。 师：但是，和这些曲线图形相比，圆看起来又特别—— 生：光滑、饱满、匀称…… 师：难怪2000多年前，伟大的古希腊数学家毕达哥拉斯在研究完大量的平面图形后，发出这样的感慨：在一切平面图形中，圆最美。而且，2000多年过去了，这一观点得到了越来越多的数学家乃至普通大众的认可。那么，圆究竟美在哪儿?更进一步地，究竟是什么内在的原因，使得圆这种平面图形看起来这样光滑、饱满、匀称，以至于成为所有平面图形中最美的一个?就让我们一起带着问题，深入地认识圆；研究圆。 二、寻根究底 师：圆的美，光靠看是不够的，咱还得动手来画。因为，画圆的过程，正是我们体会它的特点、发现它的美的过程。 (教师简单介绍圆规的构造后)课前，老师布置同学们试着用圆规画过圆。现在，请大家试着在白纸上画一个圆。(学生用圆规画圆，教师巡视。) 师：应该说，绝大多数同学画得都很棒。不过，也有失败的作品。瞧，这个圆显然变形了，这个则咧着嘴。大胆地猜一猜，这些同学之所以没能成功地用圆规画出一个圆，可能在哪儿出问题了? 生：可能是画圆时，圆规的脚移动了。 师：不动，怎么画出圆呀? (生笑。) 生：是装有针尖的脚动了! 师：那你得说清楚呀。同学们，你们觉得，针尖所在的脚能随便动吗? 生：不能!一动，画出的圆一定会咧开嘴巴。 师：你试过? 生：是的!我失败过好几次呢。 师：经验之谈呀!当然，也有同学画圆时，圆规两脚都没动，但也画出圆来了，你们猜—— 生：我知道!一定是圆规不转，纸转。 师：奇怪，你怎么知道? 生：我就这么试过。 师：看来，用圆规画圆时，针尖得固定，这是宝贵的经验。还有其他可能吗? 生：也可能是他们画圆时，圆规两脚的夹角的角度变了。 师：角度变了，也就意味着—— 生：圆规两脚之间的距离变了。 师：看来，用圆规画圆时，两脚之间的距离不能变。现在，掌握了这些要求，有没有信心比刚才画得更好? 生：有! (不少学生拿起圆规急着要画。) 师：别着急!数学学习光会动手还不够，咱还得—— 生：动脑。 师：心有灵犀呀!第二次用圆规画圆时，请大家边画边思考：如果方法完全正确，用手中的圆规会不会画出这样一会儿凹、一会儿凸的曲线图形?或者是扁扁的椭圆? (教师依次指图2、图3。) 生：不会! 师：先别忙着下结论，还是带着这些问题，边画边细细体会吧! (学生操作。教师巡视，了解学生的感受与思考。) 师：为什么画不出这样的曲线图形，相信不少同学已经有了答案。不过，为了使大家感受更鲜明，我打算在黑板上也来画一个。(教师画完半个圆后，停下。)想象一下，照这样画下去，会画出一会儿凹、一会儿凸的平面图形吗? 生：不会。 师：会画出扁扁的椭圆吗? 生：也不会。 师：为什么? 生：因为圆规两脚间的距离没有变。 师：哪儿到哪儿的距离没有变? 生：就是从这儿(手指圆上的点)到这儿(手指圆心)的距离没 有变。只要距离不变，就不会画出一会儿凹、一会儿凸的平面图形了。 师：光这样说好像有点抽象。你能不能把这一不变的距离用一条线段表示出来? (学生上台，连接圆上任选一点与圆心，得到一条线段。) 师：可别小看这条线段，在这个圆里，它可是起着至关重要的决定性作用。有谁了解这条线段? 生：这条线段叫做半径，可以用小写字母r表示。 (教师板书，并引导学生在自己的圆内画出一条半径，标上字母r。) 师：有没有补充? 生：半径的一端连着圆心，另一端在圆上。 师：说得好!圆心是圆规画圆时针尖留下的，可以用字母O示。更准确地说，半径的另一端在圆上。 (教师板书，并引导学生在自己的圆上标出圆心及字母O。) 师：关于半径，你们还知道些什么? 生：圆应该不只有一条半径。 生：圆有无数条半径。 生：半径的长度都相等。 师：看来，关于半径，同学们的发现还真不少。但是，没有经过思维考量的数学直觉，算不上真正的数学知识。刚才有人说，圆有无数条半径，同意的请举手。 (全班学生都举起了手)不过，为什么呢? (一只只举起的手慢慢放了下来。) 师：原来，大家都是蒙的!不过还好，至少还有几只手直到现在还举着。要不，先来听听他们的声音，或许你会从中受到启发。 生：刚才我只画了一条，但如果我们继续画下去，永远也画不完，所以应该有无数条。 师：都同意? 生：同意! 师：有人就不同意。这是我自己班上的小陈同学在学完《圆的认识》后回去做的一次小实验(教师呈现在半径5厘米的圆上画得密密麻麻的半径)。瞧，他在这么大的圆里画满了半径，最后一数，才524条。不对呀，不是说无数条吗? 生：我觉得他的圆太小了，要是再大一点，那么画的半径就更多了。 师：哦，你是说大圆的半径有无数条，而小圆的半径则未必?(生一时语塞。) 生：不对，大圆小圆的半径都应该是无数条。我想，主要是这位同学用的铅笔太粗了。如果用细一半的铅笔画，应该可以画一千多条；如果用再细一半的铅笔画，半径就有两千多条。这样不断地细下去，最终可以画出无数条半径。 师：多富有想象力呀!半径可以不断地细下去，直到无穷无尽。这样想来，半径当然应该有—— 生：无数条。 生：我还有补充。因为半径是从圆上任意一点发出的，所以圆有无数条半径。 师：什么叫任意? 生：随便。 师：那么，在一个圆上有多少个这样随便的点? 生：无数个。 生：有一个点，就能连出一条半径。有无数个点，就能连出无数条半径。 师：回过头来看看，同样是无数条半径，经过我们的深入思考，大家感觉怎么样? 生：我觉得更清楚了。 生：原来只是—种感觉，现在真正理解了。 师：数学学习可不能只浮子表面，或停留于直觉，还得学会问为什么。只有这样，数学思考才会不断走向深入。关于半径，还有其他新的发现吗? 生：它们的长度都相等。 师：同意的举手。 (全班学生又一次都举起了手。)了不起!不过—— 生：为什么? (话还没说完，一大半学生就放下了手。听课教师大笑。) 师：有这样的追问意识挺好!不过，光等着别人来回答也不是个办法。这样吧，我稍作提醒：课前，数学老师让咱们都带了直尺，猜猜为什么? 生：可以量。 (学生操作后，发现圆的半径的确都相等。) 生：其实根本不用量。因为画圆时，圆规两脚的距离一直不变，而两脚的距离其实就是半径的长，所以半径的长度当然处处相等。 师：多妙的思路1看来，画一画、量一量是一种办法，而借助圆规画圆的方法进行推理，同样能得出结论。通过刚才的研究，关于半径，我们已有了哪些结论? 生：半径有无数条，它们的长度都相等。 师：其实，关子圆，早在2000多年前，我国古代伟大的思想家墨子也得出过和我们相似的结论。只不过，他的结论是用古文描述的，不知道你们能不能看懂? (课件出示： “圆，一中同长也。”)生：一中，应该是指圆心。 师：没错。圆心，正是圆的中心。那同长—— 生：应该是指半径同样长! 师：这样看来，墨子得出的结论和我们刚才得出的—— 生：完全一样。 师：不过，也有人指出，这里的“同长”除了指半径同样长以 外，还可能指—— 生：直径同样长。 师：没错。 (板书：直径。)连接圆心和圆上某一点的线段叫半径。那么，怎样的线段叫直径呢?(少数学生举手。)我猜，多数同学不是不知道，而是不会用语言来描述，是这样吗? (多数学生连连点头。)那么，你们能用手比画出一条直径吗? (学生比画。) 师：刚才的半径是同学们画的。这回，我自己来试试。 (教师故意将直尺摆放在偏离圆心的位置，提笔欲画。) 生：老师，您的直尺放错位置啦，应该放在圆心上。 师：哦，，原来是这样。 (教师调整好直尺的位置，并从圆上某点开始画，画到圆心时停下。) 生：错! 生：这是一条半径呢，还得继续往下画。 教师继续往下画，眼看就要画到圆上时，不露痕迹地停下了笔。 生：对! 生：不对!是错的。我们上当了。 师：怎么又反悔了? 生：还没到头，还得再往前画一点点。 教师继续往下画。就在学生喊“对”时，教师又悄悄地往前画了一小段。 生：对! 生：不对!出头啦。 师：一会儿对，一会儿错，都给你们弄糊涂了。画直径到底得注意些什么呢? 生：得通过圆心。 生：两头都要在圆上。 生：还不能出头。 师：这就对啦!数学上，我们把通过圆心、两端都在圆上的线段叫做直径。直径通常用字母d表示(板书：d)。请在你的圆上画出一条直径，标上字母d。 (学生操作。) 师：半径的特点已经研究过了，直径又有哪些特点呢?大家可以和半径比较着研究。半径有无数条，那么—— 生：直径也有无数条。 师：半径的长度都相等，那么—— 生：直径的长度也都相等。 师：直径有无数条，我们就不必去探讨了，原因和半径差不多。直径的长度都相等，为什么呢? 生：我们是量的，发现直径的长度都是6厘米。 师：瞧，动手操作又一次帮助我们获得了结论。 生：不用量也行。我们发现，每一条直径里面都有两条半径，半径的长度都相等，那么，直径的长度当然也都相等。 师：在我们看来，这只是一条直径，但在他的眼里，还看出了两条半径，多厉害!尤其是，他的发现还帮助我们获得了一个新的结论，那就是，在同一个圆里，直径和半径是有关系的。谁能用最简洁的语言描述出它们之间的关系? 生：直径是半径的两倍。 师：挺好。还能更简洁吗? 生：半径x2：直径。 师：的确又简洁了些。还能更简洁吗? (无人举手。)想想它们的字母—— 生：我知道了，d=2r。 师：这就是数学语言的魅力!同学们可千万别小看这个结论。(教师课件出示图4)试想一下，如果在一个圆里，圆的半径不是都相等的，而是有的长、有的短，最后连起来的还会是一个光滑、饱满、匀称的圆(指着图4)吗? 生：那样的话，就会凹凸不平了。 师：是什么内在的原因，才使得圆看起来这么光滑、饱满、匀称? 生：是半径的长度都相等。 师：正因为在同一个圆里，半径的长度处处相等，才使得圆看起来如此光滑、饱满、匀称。圆的美，其内在原因也正在于此。 三、沟通联结 师：在同一个平面图形中，具有这样等长线段的不是只有圆。瞧，这是一个正三角形(见图5中的第1个图形)，从它的中心出发，连接3个顶点，这3条线段的长度—— 生：都一样。 师：这样的线段一共有3条。再来看正方形(见图5中的第2个图形)，这样的线段有几条? 生：4条。 师：正五边形(见图5中的第3个图形)呢? 生：5条。 师：正六边形(见图5中的第4个图形)呢? 生：6条。 师：正八边形(见图5中的第 5个图形)呢? 生：8条。 师：圆有多少条? 生：无数条。 师：难怪有人说，圆其实是一个—— 生(底气不足)：正无数边形。 师：多有意思的描述呀[刚才，我们是一个一个来观察的，下面，我们再完整地来看一看(呈现图5)。 …… 师：从正三角形到正四边形、正五边形、正六边形、正八边形，随着正多边形边数的不断增加，你们发现了什么? 生：它们一个比一个更像圆。 师：哪个图形最像? 生：正八边形。 师：不过，毕竟离圆还有一些距离。要怎样，才能更接近圆? 生：边数要再多一些，一定会更接近。 师：真会这样吗?想不想通过实验来验证一下? (教师借助简化后的几何画板依次画出正十六边形、正三十二边形、正一百边形，并引导学生观察边的变化。当画出正一百边形时——) 生：哇，真是太圆了。 师：这才是正一百边形呢。想象一下，如果是正一千边形、正一万边形，甚至正二亿边形……直到无穷无尽，这时—— 生：它就是一个圆了。 师：如果我们把这些正多边形排成一排，正三角形站第1个，正方形站第2个，正五边形站第3个……这样排下去，猜猜看，这个队伍的最远方站着的应该是谁? 生：圆。 师：不对呀，这些都是直线图形，圆是曲线图形，跑来干嘛? (学生一时不知如何回答。)这里涉及更高深的数学知识，到了中学、大学，相信同学们一定会有更深入的了解。 师：这个圆片没有标出圆心。既然圆心都没有标，它的半径是多少呢?能想办法测量出来吗? (学生操作，随后交流。) 生：我们组把一个圆对折，折痕就是它的直径。量出直径的长度后再除以2，就求出了半径的长度。半径是3厘米。 师：可别小看这一方法。正是这一对折、一重合，还让我们在不经意间发现了圆的另一个秘密，那就是，圆其实还是一个—— 生：轴对称图形。 生：而且，；圆还有无数条对称轴。 师：也就是说，和其他轴对称图形相比，圆还具有无穷对称性。还有别的方法吗? 生：我们组把一个圆对折后再对折，一展开，两条折痕的交点就是圆心，找出圆心后，半径就能量出来了。我手中的圆半径是5厘米。 生：其实不用展开，直接量出这条边的长，就是半径的长。我们组的圆半径正好是4厘米。 师：不是说圆的半径都相等吗?同学们手中的圆，半径有的是3厘米，有的是4厘米，还有的是5厘米。这是为什么? 生：说半径相等，指的是在同一个圆里，大家的圆大小不同，半径当然也就不等了。师：那么，同学们手中的圆，哪个最大，哪个最小? 生：半径5厘米的最大，半径3厘米的最小。 师：是不是这样呢?让我们举起来，互相看看，比比。 (生举起手中的圆)。看来，圆的大小和什么有关? 生：和半径有关。 师：半径越长，；圆—— 生：越大。半径越短， 圆越小。， 师：刚才，有同学悄悄地说，这些圆的圆心都没标，应该不是用圆规画出来的。你们觉得呢? 生：是的，如果用圆规画的话，应该会留下一个针眼； 师：那不用圆规，我会是怎样画出这些圆的呢? 生：用一只碗扣在白纸上，然后沿着碗边描一圈画出来的。 师：依葫芦画瓢?有想象力！但很遗憾，不对。 生：可能是用一根绳子的一端拴着铅笔，另一端固定，然后把铅笔绕一圈画出来的。 师：很有创意的想法，简直就是一把简易的圆规。但很遗憾，还是不对！ 生：我知道了，你是先画一条线段，然后换一个方向再画一条同样长的线段，然后再换方向画下去，最后把这些线段的端点连起来，就画咸了一个圆。 师：你太有想象力了!待会儿的学习中；我们将一起来验证你的这一想法。行了，不用再猜了，答案其实就藏在这里。 (教师打开WORD文档，并利用画图工具画出了一个标准的圆。) 生(恍然大悟)：哦，原来是用电脑画的！ 师：可问题又来了。这样画圆，大小很随意，半径怎么可能正好是3厘米、4厘米或5厘米呢?难不成，我是用直尺在屏幕上量的? 生(笑)：不可能! 师：别着急，继续往下看就知道了——(教师双击画图工具里的圆，出现了一个对话框，其中有高度和宽度两个项目。)想一想，对 于圆来说，高度意味着什么? 生：它的直径。 师：现在，要画一个半径3厘米的圆，高度得调整为多少? 生：3厘米。 生：不对，应该是6厘米。 教师将高度调整为6厘米，电脑里竟然出现了一个椭圆。 生：还得调整宽度。 教师将宽度也调整为6厘米，画出一个圆。 师：用同样的方法，能画出半径4厘米、5厘米的圆吗? 生：能，只要依次把高度和宽度都调整为8厘米、10厘米就行了。 师：古人云，“没有规矩，不成方圆”。最初的意思是说，没有圆规是画不出圆的。现在看来，不用圆规，真的就画不出圆了吗? 生：不对，画圆其实还有很多种方法。 师：当然，话还得说回来，在所有这些方法中，用圆规画圆仍然是最常用的一种。 (教师引导学生在用圆规画半径为3厘米、4厘米、5厘米的圆的过程中进一步体验“圆规两脚间的距离等于半径的长”。) 四、审美延展 师：最后，让我们再一次回到平面图形的世界，感受圆与其他图形错综复杂的关系。瞧，这里有一个正三角形，现在，我们沿着它的中心把它稍作旋转(出示图6)。旋转以后的三角形与原来的三角形有没有完全重合? 生：没有。 师：不行，我还得再旋转一次。 生：还是没有。 师：再来看圆。想象一下，如果我们沿着圆心把圆也旋转一下，情况又会怎样? 生：不管怎么转，都会重合。 师：是不是这样呢?来，拿出刚才的圆，用铅笔尖抵住圆心，并按在桌面上，轻轻转一转。 (学生操作。)我们把圆的这一特点叫做旋转不变性。那么，三角形具有旋转不变性吗? 生：没有。 师：不过别遗憾。如果我们按照特定的角度继续把这个三角形旋转下去，情况又会怎样呢?让我们拭目以待。(课件演示，最终呈现图7。) 生(惊讶)：哇，太棒了，居然是一个圆! 生：不对，是一个近似的圆。 师：瞧，直线图形转着转着，又回到了圆，真有意思。不过，刚才我们是绕着平面图形的中心点旋转的。如果绕着其他点旋转，还会出现这样近似的圆吗? 生：应该不会? 生(声音很小)：可能会。 师：会还是不会，还是用事实来说话吧[瞧，这是一个正方形。现在，我们绕着它的一个顶点旋转(课件演示旋转过程，最终呈现图8) 生(不可思议)：居然也行！ 生：好漂亮！ 师：更漂亮的还在后面呢! (课件呈现图9、图10。) 生：哇! 师：别光顾着感叹，能看出这两幅图是由什么图形旋转而成的吗? 生：椭圆。 生：线段。 师：想不想看看线段是怎样旋转成图10这样美妙的图案的? 生：想! 师：观察时，请大家牢牢盯住线段的两个端点，看看线段旋转时，这两个端点是沿着怎样的轨迹移动的。 教师利用课件演示线段旋转的完整过程，学生根据观察到的情形，用手比画线段端点移动的轨迹。 师：其实，所谓圆，就是某个点沿着特殊路线运动后留下的轨迹。到了中学，同学们就会明白。我们还接触了其他平面图形，如长方形、梯形、平行四边形，甚至还有不规则的曲线图。这些图形如果绕着其中的某一点旋转，会不会也出现和圆有关的美妙图案呢?课后动手去试一试吧!相信，一定会有更多的惊喜在等待着大家!
|
