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中国是数学史最长的国家

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中国数学发达的历史至少有四千多年,这是其他任何国家所不能比拟的。世界上其他文明古国的数学史,印度达3500年至4000年左右;希腊的从公元前六世纪到公元四世纪,达一千年;阿拉伯的数学仅限于8至13世纪,有500多年;欧洲国家的在10世纪以后才开始;日本的则迟至17世纪以后。所以我国是世界上数学历史最长的国家。下面分三个时期对我国的数学史作一个简介。
1、形成时期(公元755年以前的约3000多年)
    它又可以分为两个阶段:萌芽阶段和形成阶段,数学从零星知识成为科学体系。
    萌芽阶段(公元前221年秦统一以前)
    从古代传说、古书记载和考古发现中可以推断,我们的祖先从上古的未开化时代开始,经过许多世代,积累了长期的实际经验,数量概念和几何概念才得到了发展。《易经》(约公元前一千)中《系辞传》上说:“上古结绳而治,后世圣人易之以书契”。结绳和书契(刻木或刻竹)是非文字记载的两种主要记数(或记事)方法。
   这个“上古”早到什么时候,众说不一。现在看来,在新石器时代早期已普遍结绳记数,稍后便出现了书契。在西安半坡遗址中,发现多种类型的陶器及大量陶片。研究表明,约6000年前的半坡人已具有了圆、球、圆柱、圆台、同心圆等几何观念。陶片上已有了相当于5、6、7、8、10、20的数字刻划符号。
   二十世纪七十年代,我国在陕西临潼姜寨遗址中发现了大量陶片,上面有更多的数字刻划符号,有一些和半坡陶片上的符号一致,但多出了表示1和30的刻划符号。该遗址与半坡遗址几乎是同时代的。研究表明,大约在6000年前,原始社会的中国人至少已经掌握了30以内的自然数,而且显然是一个10进制系统。可见在我国,数目字的出现比甲骨文要早2600年,比“黄帝时代”也要早1300年左右。
   伴随着原始公社的解体,私有制和货物交换已经产生。《易经·系辞传》说:“包牺氏没,神农氏作。……日中为市,致天下之民,聚天下之货,交易而退,各得其所”为了货物交换的顺利进行,人们逐渐有了统一的记数方法和简单的计算技能。
   人们为了使制成的物品有规则的形状,圆的圆、方的方、平的平、直的直,创造了规、矩、准、绳。《尸子》(约公元前四世纪)说“古者,倕为规、矩、准、绳,使天下访焉”(古代传说,倕是约4500年前黄帝或唐尧时候的能工巧匠)。在汉武帝梁祠的浮雕像中,有伏羲手执矩,女娲手执规的造像。看来,在我国古代规矩的发明和使用较早,但早到什么时候,目前还没有证据可以做出结论。这对于后来的几何学的产生和发展,有很重要的意义。
    由于私有制的发展,阶级的产生,奴隶社会出现了。夏代(约公元前21世纪初~约公元前12世纪初)是私有制确立和巩固的时期,产生了农业和手工业的分工,出现了从事各种手工业(如陶器、青铜器、车辆等等)生产的氏族。手工制造、农田水利、制订历法都需要数学知识和计算技能,人们关于几何形体和数量的认识必然有所提高。
    到了商代(又称殷代,约公元前17世纪~约前11世纪),奴隶主的国家正式确立,开始了比较发达的殷商文化。殷人用10干和12支组成甲子、乙丑等60个日名用来纪日。为了适应农业生产,殷人又有一定的历日制度。出于货物交换的发达,殷代已有用多量的贝壳来交换物品的习惯,这种贝壳就带有一些货币的味道。1899年在河南安阳发掘出来的殷墟龟甲和兽骨上所刻的象形文字(甲骨文)中(公元前14世纪)。自然数的记法已经毫无例外地用着10进位制,最大的数字是3万。
    公元前11世纪末,周人灭殷(商)后,在原有氏族制度的基础上建立一个文明国家—周(约公元前11世纪~公元前256年),奴隶制经济获得进一步的发展。在政治经济上有实力的氏族贵族组织成了强大的政治集团,其中有所谓“士”的阶层是受过礼、乐、射、御、书、数六艺训练的人。“数”作为六艺之一,开始形成一个学科。用算筹来记数和四则运算,很可能在西周(约公元前11世纪~公元前771年)时期已经开始了。
   东周时期开始利用铁器,生产力逐渐提高,生产方式有所改变。从春秋以来,奴隶制的农村公社逐渐瓦解。由于各国畴人的努力,天文、历法工作有了显著成就。战国时期,奴隶制度逐渐破坏,封建制度逐渐建立起来。算筹是我国古代人用的计算工具。“筹”就是一般粗细,一般长短的小竹棍,用算筹进行计算叫做筹算。到春秋战国时期,人们已经能熟练地进行筹算。
   《墨经》(约公元前400年)中的点、线、面、方、圆等几何概念,为理论数学树立了良好开端。战国时齐国人撰写的《考工记》(约公元前300年)记有尺寸的分数比例、角度大小的区分、标准容器的计算等。在古书《荀子》、《管子》中有关于“九九”乘法口诀的记载。《春秋》一书记录看“初税亩”,这说明在此以前已有测量田亩面积和计算的方法。《庄子·天下篇》称“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,说明已有了极限观念。《史记》记载了齐威王与田忌赛马的故事,可作为对策论在中国的最早例证。
   形成阶段
   从公元前221年至公元755年(即从秦始皇二十六年至唐玄宗天宝十四年),以《九章算术》为中心的中国传统数学体系形成,这期间的著名数学家有刘微、祖冲之、祖搄等。主要的数学成就可以概括在“算经十书”中,主要内容有:分数的应用、整数勾股形的计算、正负数运算、开平方约零术、解联立方程组、几何图形的面积、体积的计算以及数学制度的确立等等。
   《周髀》是一部汉代人撰写的古人讨论“盖天说”的书,是我国最古老的天文学著作。“髀”的原意是股或股骨,这里意指长8尺用来测量太阳影子的表。这本书的内容记述了周代的问题,所以叫做《周髀》,它的成书时间大约在公元前100年(或稍晚一些)。其中第一章叙述了西周开国时候,周公同一个名叫商高的数学家的一段问答。商高在答话中提到了“勾三、股四、弦五”(即商高定理)。关于《周髀》有两点值得注意:一是用文字表示的复杂的分数计算;二是关于勾股定理和用勾股定理测量的记载,这些在世界上都是比较早的。
   见于《汉书艺文志》著录的杜忠的《算术》、许商的《算术》两部数学书,早已失传。现在有传本的、最古老的中国数学经典著作之一是《九章算术》,共九卷。一般认为它是东汉初年(1世纪)编纂成的。书中总结了周朝以来的研究成果,收集了246个应用问题和解题方法。
   《九章算术》的出现标志着中国数学体系开始形成。魏末晋初刘徽撰《九章算术注》十卷(3世纪),现在有传本。他还著《海岛算经》(又叫《重差术》),书中运用几何知识测量远处目标的高、远、深、广,刘徽的数学理论具有世界意义。
   《周髀》和《九章算术》是中国数学的第一批奇葩。南北朝时祖冲之(5世纪)曾注《九章》,造缀述数十篇。他与儿子祖搄合撰《缀术》六卷(已佚),在数学方面有辉煌成就。
    西晋以后、隋以前(4世纪初到7世纪初)的算术书,现在有传本的,如《孙子算经》(包括算筹计算法则,计算题举例)、《张邱建算经》(包括等差级数、二次方程、不定方程等问题的解法)、《五曹算经》(叙述田亩面积、军队给养、粟米互换、租税、体积、交易等计算方法)等,都是北方人的著作。它们收集了当时人民生活中所遇到的数学问题,总结了当时的数学成果,虽属浅近易晓,但对数学教育的普及和后来的数学发展,起了很大的作用。
   在《孙子算经》中有一个千古名题,卷下“物不知数”问:“今有物,不知其数。三、三数之剩二;五、五数之剩三;七、七数之剩二。问物几何?”答曰:“二十三”,这是一个一次同余式组问题。书中给出了这一问题的解法(“术曰”):N=70×2+21×3+15×2-105×2=23
   后人为它编了一个口诀:“三人同行七十稀,五树梅花二十一,七子团圆正半月,减百零五便得知”。解的这种构设性使之容易推广到更一股的情形,即孙子的解法实际上可概括为“剩余定理”。
   1852年英国传教士伟烈亚力著文介绍孙子剩余定理,引起了欧洲学者的重视。在西方数学史著作中,一直把孙子的剩余定理称为“中国剩余定理”。
   《张邱建算经》提出了另一个数学史上的名题,通常称为“百鸡问题”。卷下第三十八题“今有鸡翁一值钱五;鸡母一值钱三;鸡雏三值钱一。凡百钱买百鸡,问鸡翁母雏各几何?”这是一个不定方程问题,有三组答案。书中说:“鸡翁每增四、鸡母每减七,鸡雏每益三,即得”。
    虽然不定方程在《九章算术》中已有记载,但是一题数答却始自《张邱建算经》,这一影响一直持续到19世纪。“百鸡问题”曾传入印度,出现在摩珂呲罗(9世纪)和巴斯卡拉(12世纪)的著作中。
    在隋朝,刘焯结合天文学的发展,创立了等间距二次内插法计算日、月的位置。王孝通结合土木工程的发展,建立了三、四次方程,并给出了求其正根的解法。刘焯的《皇极历》(600年)和王孝通的《缉古算术》(又叫《缉古算经》)是数学发展中的两个重大成就。
    唐朝继承了隋朝的科举制度,在唐初的科举制度里,特设“明算”科,举行数学考试。国子监里也设立“算学”,教学生学习数学。李淳风等人选定数学课本时,认为《周髀》是一个最宝贵的数学遗产,将它作为“十部算经”的第一种书,并给它一个《周髀算经》的名称,第二部算经便是《九章算术》。其它八部算经是:《海岛算经》(公元3世纪,刘徽著);《孙子算经》(约公元4~5世纪);《夏候阳算经》(公元5世纪,夏候阳著,用乘除快算方法解日常生活中的应用题);《张邱建算经》(公元5世纪,张邱建著);《缀术》(公元5世纪,祖冲之著);《五曹算经》、《五经算经》(公元6世纪,均为甄鸾著);《缉古算经》(公元7世纪,王孝通著)。李淳风等人奉皇帝令于656年完成校注和编定“算经十书”。后来《缀术》失传,用2世纪徐岳著、6世纪甄鸾注的《数术记遗》代替。
    在这个时期,中国数学在许多方面居于世界最前列。例如《九章算术》“方程”章中用到正数和负数,这是人类文明中最早出现的负量概念,比印度早700多年;关于多元联立一次方程的解法,已经类似于西方19世纪初期的方法了。在圆周率的计算方面,刘徽和祖冲之的工作是很突出的。祖冲之的计算得出3.1415926<π<3.1415927,使我国在这方面领先了1000年。祖搄关于两个几何体的体积相等的“祖搄原理”,比意大利卡瓦列利的相同原理早1200年。《孙子算经》中的“物不知数”的解法更比西方早1300年。

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