反比例函数概念、图象和性质
教学目标：
　　⑴理解反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数
　　　是否为反比例函数.
　　⑵能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表
　　　示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点.
　　⑶能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的
　　　实际问题.

教学内容解析：
(一)反比例函数的概念
1、定义：
　　问题：现有36块同样大小的正方形地砖（设正方形地砖的边长为1），用它们铺设矩形地面，所铺设出矩形的一边b随另一边a的变化而变化，其中变量间的对应关系可用怎样的函数解析式表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：将原问题分成以下两步考虑：
　　①共有多少种设计方案?
　　答：∵1×36=36， 2×18=36，3×12=36，4×9=36，6×6=36
　　　　∴5种
　　②根据这些设计方案，请同学们观察图形和相应的数据，然后完成下面的式子：
　　　

　　答：，；，；，
　　我们发现两个变量之间的比值与它们对应两个变量之间的比值互为倒数，则必然每一组对应变量的乘积相等，即在这个不连续的变化过程中对应的两个变量之间存在反比例关系即ab=36.
　　归纳反比例函数的概念：形如的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.

2、例题：
　　1、指出下列函数中哪一个是反比例函数并指出其k值
　　
　　答：(4)(6)(7)是
　　注意：
　　1. (k≠0)可以写成 (k≠0)的形式，注意自变量x的指数为-1；
　　2. (k≠0)也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反
　　　比例函数的解析式；

　　2、k =__________时，函数是反比例函数.
　　答：　0　
　　解析：由且
　　　　　解得：
　　　　　所以时，函数是反比例函数
　　注意：此类问题要同时考虑两个条件，①比例系数；②自变量的指数.

(二)反比例函数的图象和性质
1. 注意与正比例函数的性质进行对比.

函数解析式	正比例函数 y=kx (k≠0)	反比例函数 (k≠0)
自变量的 取值范围	全体实数	x≠0
图 象	直线，经过原点	双曲线，与坐标轴没有交点
性 质	⑴当k＞0时，图象经过一、三象限； 当k＜0时，图象经过二、四象限. ⑵当k＞0时，y随x的增大而增大； 当k＜0时，y随x的增大而减小. ⑶越大，图象越靠近y轴.	⑴当k＞0时，图象的两支分别位于一、三象限； 当k＜0时，图象的两支分别位于二、四象限. ⑵当k＞0时，在每个象限内y随x的增大而减小； 当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大. ⑶越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直. (4)反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形.对称轴为两条直线； 对称中心为原点（0，0）；

　　注意：
　　（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而
　 　　　论.　　　　　　　　　　　　　　　
　　（2）反比例函数中比例系数k的几何意义.
　 　　　①过双曲线(k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线，
　 　　　　所得矩形的面积为.
　 　　　②过双曲线(k≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，
　 　　　　连接该点和原点，所得三角形的面积为.

　　（3）正比例函数与反比例函数，当时，两图象没有交点；当时，
　 　　　两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.
　　　　　　　　　　　　　　

2. 例题
　　3、已知函数y=k (x-1)和 (k≠0)，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）
　　　　
　　解析：由一次函数的图象可排除A、D，B、C能得出k＞0，那么反比例函数的图象应在二、四象限，所以选B.

　　4、在函数(k＞0)的图象上有三点A₁ (x₁，y₁)，A₂ (x₂，y₂)，A₃ ( x₃，y₃)，
　　　　　　已知x₁ ＜ x₂ ＜ 0 ＜ x₃，则下列各式中正确的是（ ）
　　A. y₁ ＜ y₂ ＜ y₃ 　　　B. y₃ ＜ y₂ ＜ y₁ 　　　C. y₂ ＜ y₁＜ y₃ 　　　D. y₃ ＜ y₁ ＜ y₂
　　解析：①反比例函数增减性问题可利用图象解决，数形结合，直观明了；
　　　　　②反比例函数的增减性注意是每一支双曲线上的增减性.
　　答案：C
　　5、如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得直角三角形并设其面积分别为 则的值为__________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解析：三角形P₅OA₅的面积是定值1，A₄是OA₅的五等分点，所以的面积是.

　　6、两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：
　　①△ODB与△OCA的面积相等；
　　②四边形PAOB的面积不会发生变化，其面积值总为k-1；
　　③PA与PB始终相等；
　　④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
　　其中一定正确的是_________（把你认为正确结论的序号都填上）．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解析：在研究反比例函数中有关面积问题, 注意考虑利用k的几何意义加以解决.
　　　　　关于①;
　　　　　关于② ;
　　　　　关于④当点A是PC的中点时，△OCA的面积是四边形PDOC的面积的，而△ODB与△OCA的面积相
　　　　　等，所以△ODB的面积也是四边形PDOC的面积的，则点B一定是PD的中点.
　　　　　∴正确的是：①②④

　　7、如图，点在反比例函数(x ＞ 0)的图象上，且横坐标为2. 若将点先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的点为.则在第一象限内，经过点的反比例函数图象的解析式是（ ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A．　　　　B.
　　C. 　　　　D.
　　解析：由题意得：,则,所以反比例函数的系数：
　　　　　所以正确选项为：D