反比例函数的应用
一、实际问题与反比例函数
1．求函数解析式的方法：
　　（1）用待定系数法．
　　（2）根据实际意义列函数解析式．

2．注意学科间综合，但重点放在对数学知识的研究上，对跨学科问题不宜过难．
　　1．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例．已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数解析式是____________．
　　解：（x>0）．

　　2．根据实际问题得出函数的图象：
　　（1）已知三角形的面积一定，则它底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是（ ）．
　　
　　　　　A．　　　　　　　 B． 　　　　　　C． 　　　　　　　D．
　　答案：D

　　（2）一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示．设小矩形的长、宽分别为，剪去部分的面积为，若，则与的函数图象是（ ）．
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　
　　答案：A
　　【注意】以上两题是根据题意直接列出的解析式，然后在作出判断；但同时应注意自变量的取值范围，它关系到函数图象所在的象限（大多为第一象限）．

　　3．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压P （千帕）是气球的体积V（米³）的反比例函数，其图象如图所示 （千帕是一种压强单位）．
　　（1）求出这个函数的解析式；
　　（2）当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？
　　（3）当气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：（1）；
　　　　（2）当V=0.8（立方米）时，=120（千帕）；
　　　　（3）因为当k=96≥0，所以当V≥0时，P随V的增大而减小．
　　　　　　 因此为了安全，气球内的气压不大于144千帕，需要体积不小于立方米．

　　4．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系：

x （元）	3	4	5	6
y （个）	20	15	12	10

　　（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表
　 　　　示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并写出它的解析式；
　　（2）设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式． 若物价局规定此
　 　　　贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售
　 　　　利润？
　　解：（1）反比例函数能表示其变化规律，因为表中每对x、y的值的乘积均为60，是一个定值，
　 　　　　　其解析式为（x为正整数）；
　　　　（2），
　 　　　　　当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润．
　　【注意】当两个变量的乘积是定值时，是反比例函数；当两个变量的比值是定值时，是正比例函数．在求函数最值问题时，可以将解析式进行变形，以便作出判断．

二、反比例函数与其它知识的综合应用
1．找规律
　　5．两个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点P₁，P₂，P₃，…，P₂₀₀₅在反比例函数图象上，它们的横坐标分别是x₁，x₂，x₃，…，x₂₀₀₅，纵坐标分别是1，3，5，…，共2005个连续奇数，过点P₁，P₂，P₃，…，P₂₀₀₅分别作y轴的平行线，与的图象交点依次是Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），Q₃（x₃，y₃），…，Q₂₀₀₅（x₂₀₀₅，y₂₀₀₅），则y₂₀₀₅=____________．
　　　　　　　　　　　　　
　　解：依图可知，的纵坐标为4009，
　　　　则和的横坐标都是，
　　　　所以．

2．用函数的方法解决方程、不等式的有关问题
　　6．如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象，则关于x的方程kx+b=的解为（ ）．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A．x_l=1，x₂=2 　　　　　　B．x_l=1，x₂= -2
　　C．x_l= -2，x₂= -1 　　　　D．x_l=2， x₂= -1
　　答案：B

　　7． 如图，已知A（－4，n），B（2，－4）是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
　　（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
　　（2）求直线与轴的交点的坐标及△的面积；
　　（3）根据图象，求方程的解（直接写出答案）；
　　（4）根据图象，求不等式的解集（直接写出答案）．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：（1）不难求得，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为y= -x-2．
　　　　（2）由（1）可知，C（-2，0），n=2，
　 　　　　　所以．
　　　　（3）方程的解为，．
　　　　（4）不等式的解集为-4＜x＜0或x＞2．
　　【注意】函数与方程、不等式有着密切的联系，用函数图象解决方程、不等式的有关问题，直观简捷．

三、函数与几何图形综合
　　8．如图：等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线（k≠0）与有公共点，则k的取值范围是（ ）．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A． 　　　　B．
　　C．　　　　D．
　　答案：C
　　解析：等腰直角三角形ABC不动，当双曲线（k≠0）沿直线y=x向右上方移动，
　　　　　当移至A（1，1）时，取得最小值：1×1=1；当移至D（2，2）时，
　　　　　取得最大值：2×2=4. 所以的范围为：
　　　　　
　　【注意】我们可以定义：原点到双曲线上的所有点的距离中，最短的距离叫做原点到双曲线的距离．当k为正数时，k越小，原点到双曲线的距离越近．进一步，越小，原点到双曲线的距离越近．

　　9．如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为．
　　（1）求的值；
　　（2）直接写出使正比例函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：（1）∵A点在直线上，且，
　 　　　　　∴．
　 　　　　　又A点在双曲线上，
　 　　　　　；
　　　　（2）当x＜-4或0＜x＜4时，正比例函数的值小于反比例函数的值．
　　【注意】当函数与几何图形综合应用时，要紧紧抓住几何图形的特征，同时利用函数的性质解决问题．

四、运动变化
　　10．如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B 在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P（m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．
　　（1）求B点坐标和k的值；
　　（2）当时，求点P的坐标；
　　（3）写出S关于m的函数关系式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：（1）B点坐标（3，3），k=9；
　　　　（2）当m＞3时，，
　　　　　　 当时，，．
　　　　　　 ∴P（6，）．
　　　　　　 由轴对称性，可得：当0＜m＜3时，P （，6）．
　　　　　　 综上，当时，求点P的坐标为（6，）或（，6）。
　　　　（3）
　　【注意】在研究动态几何问题时，应注意观察在图形的运动过程中可能出现的所有情况，然后将每种情况分别在相对“静止”的状态下进行分析，运用数形结合、分类讨论思想解决问题． 反比例函数与动态几何问题综合时，要充分应用反比例函数的图象和性质，以及几何图形特点，把问题的数量关系转化为图形的性质，或把图形的性质转化为数量关系，从而解决问题．