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[组图]分式的概念和性质

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分式的概念和性质
一、分式的概念
1.定义:
  一般地,如果AB表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子就叫做分式.其中,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母. 对于任意一个分式,分母都不能为零.
  1、下列代数式中哪些是分式?
  (1),(2),(3),(4),(5),(6),(7)
  答:分式有(1)(3)(6)(7)。
  其中(2)为单项式,系数为;(4)为一次多项式,即;(5)是一个无理数,单独一个数字属于单项式范畴;(6)不能认为能把分母约掉就不是分式,应根据它的原有形式进行判断.

2.对于分式的概念,要注意以下四点:
  (1)分式表示两个整式相除的商式;
  (2)分式中,AB均为整式,A可含字母,也可不含字母,但B中必须含有字母且不为0;
  (3)判断一个代数式是否是分式,不要把原式约分变形,只根据它的原有形式进行判断.
  (4)分式有无意义的条件:在分式中,
     ①当B≠0时,分式有意义;当分式有意义时,B≠0.
     ②当B=0时,分式无意义;当分式无意义时,B=0.
     ③当B≠0且A = 0时,分式的值为零.

  2、下列分式中的字母满足什么条件时,分式有意义?
  (1);(2);(3);(4)
  解:(1) (2) (3) (4)x为任何实数分式都有意义。

  3、当是什么数时,下列分式的值是0?
  (1)  (2)  (3)  (4)
  (5)    (6)
  解:(1)      (2)      (3)
    (4)      (5)    (6)

二、分式的基本性质
1.分式的基本性质:
  分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.用式子表示为:,其中ABC是整式且≠0.
  注意:因为C是一个含有字母的代数式,其取值是任意实数,所以C就有等于0的可能性.因此运用分式的基本性质时,要考查C的值是否为0.

2.分式的变号法则:
  分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变,即

3.通分:
  利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把几个分式化成相同分母的分式,这样的分式变形叫做通分.
  通分的关键是确定几个分式的公分母——系数取几个分母的系数的最小公倍数,因式的次数取相同因式的最高次数.

4.约分:
  利用分式的基本性质,约去分式的分子和分母的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做约分.
  约分的关键是确定分子与分母的公因式——系数取分子、分母系数的最大公约数,因式的次数取分子、分母中相同因式的最低次数.
  进行约分时,应注意以下几点:
  (1)当分式的分子与分母都是单项式时,可直接约分.
  (2)当分式的分子与分母有多项式时,先进行因式分解,再进行约分.
  (3)当分式的分子或分母的系数有负数时,可利用分式的基本性质,最多只让分式的前面出现符号.
  (4)约分的结果应化为最简分式.

  4.约分:(1);(2);(3)
  分析:①定符号:只把负号留给分式.
     ②定最大公约式:相同字母(或多项式)的最次幂和系数的最公约数.
  (ⅰ)单项式:先写成乘积形式、后约分.
  (ⅱ)多项式:先分解因式、再约分.
  :(1)
    (2)
    (3)
  小结约分的步骤:(1)定号;(2)定式.

  5.通分:(1);(2);(3)
  解:(1)最简公分母是
      
    (2)最简公分母是
      
    (3)最简公分母是
      
      
  小结最简公分母的步骤:
  (1)取所有分母中出现的字母或整式;
  (2)系数取最小公倍数;
  (3)指数取最大的;
  (4)先定号、化整系数,乘积作为公分母.

三、提高题
  6.若实数满足:,则的值为__________.
  分析:本题可有两种解法.解法1:根据分式的基本性质,把待求值式的分子和分母分别除以,再进行适当的变形,使之出现条件式,把条件式整体代入即可得解;解法2:对条件式进行变形,可得,整体代入待求值式即可.
  解法1:由
      ∴=
  解法2:由,∴
      ∴=

  7.已知,求的值.
  解:设=,则
    ∴=

  8.已知,求的值.
  分析:由已知条件取倒数可得,把待求值式取倒数化成的代数式,进而求值.
  解:将已知条件的两边分别取倒数,得
    
     ①+②+③,得=6.
     把待求值式取倒数,得==6,∴

  9.(1)已知,求的值.
      (2)若,求的值.
  分析:(1)中的两项恰有对称性,且互为倒数,由此联想到完全平方公式即,∴=.从而求得;(2)求,只要求出的值,然后求倒数即可.
  解:(1)∵,又∵x≠0,两边同除以x,得,即
       ∴==
    (2)解法一:由,两边平方,得,∴=7.
           又∵,∴
       解法二:由,两边平方,得,∴=7.
           将所求分式的分子、分母都除以,得=
  说明:求代数式的值的问题方法很多,要求同学们在解题中不断地归纳总结,如本题利用了整体代入的思想.

来源:中国哲士网

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