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[组图]分式期末复习

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分式期末复习
【知识要点】
一、分式的概念
  1.一般地,如果AB表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式.
  2.分式有意义的条件是分母不为零,分式的值为零的条件是分子为零,分母不为零.

二、分式的基本性质
  1.分式的基本性质:分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于的整式,分式的值不变.用式子
    表示为:(其中ABC是整式,).
  2.分式的变号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变,可简
    记为“三变二,值不变”.
  3.通分:根据分式的基本性质,分子和分母同乘以适当的整式,不改变分式的值.把几个异分母的分
    式化成同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分.通分的关键是确定各分母的最简公分母.
    最简公分母用下面的方法确定:
    (1)最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;
    (2)最简公分母的字母,取各分母所有字母因式的最高次幂的积.
    特别注意:为了确定最简公分母,通常先将各分母分解因式.
  4.约分:根据分式的基本性质,把一个分式的分子和分母的公因式约去,这样的分式变形叫做分式的
    约分.约分的关键是确定分子与分母的公因式.约分的结果应化为最简分式.

三、分式的运算法则
  1.分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.
    用式子表示为:
  2.分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.
    用式子表示为:
  3.分式的乘方法则:分式乘方要把分子、分母分别乘方.
    用式子表示为:
  4.分式的加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减;异分母分式相加减,先通分,
    变为同分母的分式,再加减.
    用式子表示为:
  5.分式的混合运算
    分式的混合运算,关键是弄清楚运算顺序.进行运算时要先算乘方,再算乘除,最后算加减;有括
    号要先算括号里面的;计算结果要化为整式或最简分式.

四、分式方程
  1.分式方程的特征是分母中含有未知数,这是分式方程与整式方程的根本区别.
  2.解分式方程的基本思路是“转化”,即把分式方程化为我们熟悉的整式方程,转化的途径是“去分
    母”,即方程两边都乘以最简公分母.
  3.解分式方程的一般步骤:①去分母,即在分式方程的两边都乘以最简公分母,把分式方程化为整式
    方程;②解这个整式方程;③检验,把整式方程的解代人最简公分母,使最简公分母不等于零的解
    是原分式方程的解,使最简公分母等于零的解不是原分式方程的解.
    注意:因为解分式方程时可能产生增根,所以解分式方程必须检验,检验是解分式方程必要的步骤.
  4.列分式方程解实际问题的基本步骤:①先分析题意,设出未知数;②根据题意找出相等关系,列出
    分式方程;③解分式方程;④检验:既要检验所求得的解是否是原分式方程的解,又要检验所求得
    的解是否符合题意;⑤最后做出答案.

【例题精析】
考点一、分式的有关概念
  相关知识:分式的概念,分式有意义、分式无意义、分式值为零的条件,最简公分母等.
  1.分别指出下列各式有意义,无意义,值为零的条件.
  (1);(2);(3); (4)
  解:(1)若分式有意义,则;若分式无意义,则;若分式
       则,即
    (2)若分式有意义,则,即;若分式无意义,则
       无论x为何值,分式值都不为0.
    (3)若分式有意义,则,即;若分式无意义,
       则;若分式,则,即
    (4)若分式有意义,则,即;若分式无意义,则
       若分式,则,此时无解,
       即无论x为何值,分式值都不为0.

考点二、分式的基本性质
  相关知识:考查分式的符号变换,分式的约分和通分,把分式的各项系数化为整数等.
  2.下列从左到右的变形正确的是( ).
  A.   B.   C.   D.
  解:选A.

  3.等式(1)和(2),从左到右的变形是否都正确?
  分析:原式(左边的分式)默认有意义.对于等式(1),,即;分子、分母同时乘以xx可能为0),所以(1)不一定成立;对于等式(2),,即,分子、分母同时除以x一定成立.

考点三、分式的运算
  相关知识:考查分式的加、减、乘、除运算及分式的混合运算等.
  4.计算:(1);        (2)
         (3);    (4)
         (5)
  解:(1)
    (2)
    (3)
    (4)
      
    (5)

考点四、分式的化简求值
  相关知识:考查主要涉及两种题型:一是在已知条件下进行的分式化简求值,包括一些开放性条件的求值;二是在间接条件下进行的分式化简求值,包括利用乘法公式进行的代数式恒等变形求值.
  5.(1)已知:a=3,,求的值.
      (2)先化简,再选择一个适当的x值代入并求值.
  解:(1)
       当a=3,时,原式
    (2)
  注意:选择x的值时,

  6.(1)已知,求的值.
      (2)已知,求的值.
  解:(1)
      
       (舍).
       当时,原式

考点五、科学记数法
  相关知识:会用科学记数法表示绝对值小于1的数,能将用科学记数法表示的数还原为普通数,以10为底的幂的运算.
  7.一种细胞的直径约为米,那么它的一百万倍相当于( ).
  A.玻璃跳棋棋子的直径      B.数学课本的宽度
  C.初中学生小丽的身高      D.五层楼房的高度
  解:米的一百万倍是(米),大约是初中学生的身高.
    所以,选C.

考点六、解分式方程
  相关知识:主要涉及分式方程的定义,可化为一元一次方程的分式方程的解法等.
  8.解方程:(1); (2)
  解:(1)两边同乘,得
       解得
       检验:当时,
       所以,原方程的解是
    (2)两边同乘,得
       解得
       检验:当时,
       所以是增根,
       所以原方程无解.

  9.解关于的方程:).
  解:两边同乘,得
    
    因为,所以,所以
    检验:当时,
    若,则是增根,原方程无解;
    若,则原方程的解是

【创新题型】
  10.对于正数x,规定f(x)=.例如
  计算:
  …+…+=____________.
  分析:
     所以,所求为2007.

【专题复习】
一、分式的条件求值
  1.已知,则分式的值为____________.(答案:
  思路1:见比设k,设).
  思路2:利用分式的基本性质,的分子、分母同时除以y).

  2.已知,求的值.(答案:3)
  思路1:利用分式的基本性质,两边同乘以,变形为
  思路2:两边同乘最简分母,整理得;待求式通分,得到

  3.若,求代数式的值.(答案:34)
  思路:显然,由,得,即
     所以,
     因此,

二、含字母系数的分式方程
  4.m为何值时,关于x的方程有解?(
  思路:整式方程的解为,而

  5.关于x的方程的解是负数,则a的取值范围是( ).(答案:B)
  A.    B.    C.    D.
  思路:分式方程有负数解的条件为

  6.当m为何值时,关于x的方程无解?(或1或6)
  思路:分式方程无解有两种情况,一是化简后的整式方程无解,二是整式方程有解,
     其解为分式方程的增根.
     原方程去分母,化为,当时,方程无解;当时,解为增根.

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