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为什么紧闭了窗子还觉得…
金碗不如木碗好
电影院里的好座位
尼普科夫圆盘
视觉误差
奥运开幕式中的日晷
海市蜃楼的成因
视网膜前面的血细胞引起…
为什么钻冰能取火？
让眼睛能拐弯看物体

 

[组图]函数的图象和正比例函数

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函数的图象和正比例函数
一、知识回顾
　　1．函数有三种表示方法：解析法（关系式和自变量取值范围）、列表法、图象法．
　　2．用图象描述函数的必要性：
　　　 （1）有些函数关系很难用式子表示；
　　　 （2）画图表示会使函数关系更直观和形象．
　　3．用坐标平面内的点表示函数关系的方法叫做图象法．
　　　 （1）对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每对对应值分别作为点横坐标和纵坐标，在坐标平
　　　　　　面内描出这些点所组成的图象（或集合）叫做这个函数的图象．
　　　 （2）在初中，作一个函数的图象，一般都是结合列表法，通过描点近似地作出的．

二、函数图象
　　以“正方形边长与面积的函数关系”为例：
　　1．利用解析式表示为，其中．
　　2．利用在坐标系中画图的方法来表示与的关系．
　　自变量的一个确定的值，都有唯一的值与它对应，确定了一个点．
　　（1）列表：写出自变量和函数的一些对应值．
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …
0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 …
　　（2）描点：以表中的每一组有序实数对作为点的坐标，
　　　 　在坐标系中画出相应的点．
　　（3）连线：按照横坐标从小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来
　　3．思考：
　　（1）在图中标出部分的图象；
　　（2）观察图象，找出函数的最小值；
　　（2）如何画出完整的的图象．

　　1．在同一坐标系中，画出下列函数的图象：
　　（1）；（2）．
　　解：（1）在函数中，自变量x的取值范围是全体实数．
　　　　　　 列表：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
　　　　　　 描点、连线：
　　　　（2）在函数，自变量x的取值范围是全体实数．
　　　　　　 列表：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
　　　　　　 描点、连线：
　　　　　　 图略．
　　　　　　 实际上，两个函数的图象都是一条直线，它们之间可以通过平移得到．

　　2．画出的图象．
　　解：在函数中，自变量x的取值范围是．
　　　　列表：
… 0.5 1 1.5 2 3 4 6 …
… 12 6 4 3 2 1.5 1 …
　　　　描点、连线：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　思考：判断点（12，0.5）、（3，3）和（，在函数的图象上吗？
　　答案:只有点（12，0.5）在函数的图象上。

三、函数图象的应用
　　首先要能根据所给图象分析实际问题的过程，其次要求根据实际过程画出所需的函数关系示意图。
　　1．分析横轴纵轴含义；
　　2．剖析坐标对应关系；
　　3．把握图象变化趋势；
　　4．掌握图象简单计算；
　　5．会画函数关系示意图.
　　1. 小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离。(小明家、菜地、玉米地在一条直线上)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　问题1：菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？
　　问题2：小明给菜地浇水用了多少时间？
　　问题3：菜地离玉米地多远？小明从菜地走到玉米地用了多少时间？
　　问题4：小明给玉米地锄草用了多少时间？
　　问题5：玉米地离小明家多远？他从玉米地回家的平均速度是多少？
　　分析：在0到15分钟，小明离家的距离y随时间x的推移而逐渐均匀增大，说明小明正在匀速离家往菜地走去；在15到25分钟，y=1.1(km)不变，表示小明原地没动，也就是在菜地浇水，所以菜地离家1.1千米，浇水用了10分钟；从25到37分钟，小明离开菜地向玉米地匀速前进，第37分钟到达玉米地，可得菜地离玉米地0.9千米，从菜地走到玉米地用时12分钟；在第37到55分钟，y=2(km)不变，小明在玉米地锄草，所以锄草用时18分钟；到第55分钟开始y随x增大而逐渐减小（即图象下降），说明小明在回家途中，玉米地离家2千米，从第55分钟开始回家，第80分钟y=0即小明到家，回家共用25分钟，可求得回家的平均速度为2/25=0.08千米/分钟。　　　　　　　　　　　　　

　　2．右图表示一辆汽车的速度随时间变化的情况：
　　①汽车行驶了多长时间？它的最高时速是多少？
　　②汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
　　③出发后8分钟到12分钟之间可能发生了什么情况？
　　④比较线段OA与DE，你有何发现？
　　⑤用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况。
　　分析：从0到2分钟，速度y随时间x的推移逐渐增大，说明汽车在逐渐提速；在2到6分钟，汽车保持速度y=20km/h不变，即进行匀速运动；之后从第6到第8分钟，汽车逐渐减速到0km/h；在8到12分钟，速度y=0，汽车没有行使；从第12到14分钟，汽车从静止逐渐提速到120km/h；又保持这个时速到第18分钟；自第18分钟开始速度y随时间的推移而逐渐减小，即汽车逐渐减速直到第24分钟减速到0。
　　所以汽车共行驶24-(12-8)=20分钟；最高时速为120km/h；在第2到6分钟，以及第14到18分钟，均为匀速行驶，时速分别为20km/h和120km/h；出发后8分钟到12分钟之间，车子静止不动；比较OA和DE段，发现同样是两分钟内的运动过程，OA表示汽车在两分钟内加速到20km/h，而DE段表示汽车在两分钟内提速到120km/h。

　　3. 甲、乙两同学在同样的泳道中游泳，甲先自由泳到泳道中点后改为蛙泳，而乙则先蛙泳到泳道中点后改为自由泳.两人同时出发，最后同时到终点.又知二人自由泳均比蛙泳快，若某人离开泳道起点的距离s与时间t的函数关系用图象表示，则甲是图_____，乙是图_____
　　　　　
　　分析：自由泳比蛙泳速度快，即相同路程下，自由泳用时更短，（或者说相同时间下，自由泳路程更长），可见从图形直观来看，在S-t图中，表示自由泳的线段应该比蛙泳的更陡，甲是先自由泳后蛙泳，故其图象呈现应先陡后缓，同样道理乙的图象将先缓后陡；两人都是在泳道中间改换泳姿，故两人的图象均应在S的取值范围的中间拐弯。综上所述：甲对应图①，乙对应图②。
　　反思：再看图①，甲先进行自由泳的图象对应t轴两个格，后蛙泳的图象对应t轴3个格，而两种泳姿都对应S轴的相等长度，即走相同路程的前提下，时间短的速度快，又即在S-t图中图象陡的速度快。

　　4. 如图是一种古代计时器——漏壶，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔均匀漏出，壶壁内画有刻度，人们根据水面的位置计算时间，用x表示时间，用y表示壶底到水面的高度，下面的哪个图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系？（暂不考虑水量变化对压力的影响）
　　　　　　　
　　分析：由于y表示水的深度，自然y随时间x的推移而减小，故图象应为下降趋势，首先可以排除第一个图；其次，题目限定说不考虑压力变化，认为水从小孔中均匀流出，即单位时间流出水的体积为定值，而容器为圆柱体，横截面积不变，于是单位时间水的高度减小量为定值，即y随x的增大而均匀减小，故为直线段，所以选第二个图。
　　反思：若考虑水量变化对压力的影响呢？开始水量较大，压力也就大，水流出速度较快，后来随着水量的减小水流速度也会逐渐减小，所以图象会呈现从左往右先陡后缓最终降到x轴上为止。

四、正比例函数
　　1．正比例关系：
　　两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．
　　（1）用字母表示：如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以
　 　　　用以下关系式表示：．
　　（2）正比例关系两种相关联的量的变化规律：同时扩大，同时缩小，比值不变．
　 　　　例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？

　　2．正比例函数
　　（1）在上述问题中，x、y是变量，而k是常量，是x的函数．
　 　　　如果时，是常值函数，它不随x的变化而变化．
　　（2）正比例函数的定义
　 　　　一般地，形如（k是常数，）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．

　　3．正比例函数的图象的性质
　　（1）正比例函数（）的图象是一条经过原点和(1，k)点的直线，我们称为直线．
　　（2）当时，图象经过一、三象限，从左向右上升；
　 　　　随的增大而增大；
　 　　　直线与x轴正方向的夹角（即倾斜角）为锐角．
　　（3）当时，图象经过二、四象限，从左向右下降；
　 　　　随的增大而减小；倾斜角为钝角．
　 　　　简要证明：
　 　　　设（，）和（，）分别是直线上的两点，
　 　　　则有，；于是，．
　 　　　当时，若，则，所以，即；
　 　　　说明随的增大而增大．
　 　　　同理，当时，随的增大而减小．

　　1．加热一个物体，使它每分钟上升，物体的温度y（单位：）随加热时间x（单位：分）的变化而变化．
　　写出y关于x的函数解析式，并画出它的图象．
　　解：，其中x为全体实数．
　　　　列表：
… 0 1 2 …
… 0 2 4 …
　　　　描点，连线：
　　　　　　　　　　　　　　　　

　　2. 已知函数（k为常数）为正比例函数，则k=____．此函数图象经过第______象限；y随x的增大而__________；这条直线与x轴正方向夹角比直线y=－x与x轴正方向的夹角__________．
　　解：由题意可知：且
　　　　所以：k=-2.
　　　　原函数即y=-4x，经过第二、四象限，y随x的增大而减小，
　　　　这条直线与x轴正方向夹角比直线y=－x与x轴正方向的夹角小．

来源：中国哲士网

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