等腰三角形（二）
一、本周教学目标
　　1．通过轴对称图形的性质探究等腰三角形的性质，能灵活运用等腰三角形的性质和判定定理证明线段
　　　 相等和角度相等．
　　2．掌握等边三角形的概念、性质和判定，并能灵活运用定理证明和计算相关问题．
　　3．掌握含30度角的直角三角形的性质，并能进行相关的证明和计算．

二、本周教学重点和难点
重点：
　　1．综合运用等腰三角形的性质和判定定理，证明和计算相关问题；
　　2．掌握等边三角形的性质和判定定理，这是证明线段相等和角度相等的重要方法，也是把三角形中角
　　　 的相等关系和边的相等关系进行转化的重要依据．

难点：
　　1．利用等边三角形的性质和判定定理，证明线段相等和角度相等．
　　2．通过添加辅助线，构造基本图形结构（轴对称结构），从而解决相关问题．

三、本周教学内容解析
　　1．等边三角形的概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也称为正三角形．
　　2．等边三角形的性质：
　　（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形的一切性质．
　　（2）等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
　　（3）等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴．
　　3．等边三角形的判定：
　　（1）三个角都相等的三角形是等边三角形．
　　（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
　　4．角的直角三角形的性质
　　在直角三角形中，如果一个锐角等于30^o，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

四、经典例题
　　1．如图，已知点C为线段AB上一点，和都是等边三角形，AN、BM相交于点O，AN、CM交于点P，BM、CN交于点Q．
　　（1）求证：．
　　（2）求的度数．
　　（3）求证：．
　　　　　　　　　　　　　　　
　　【分析】（1）欲证，只需证明它所在的两个三角形全等．（2）的度数可用的外角来求，但要注意全等所得到这一条件的使用．（3）要，则，应该为一个等边三角形，可证明≌，从而得到．
　　（1）证明：和都是等边三角形，
　　　　　　　 ，，，
　　　　　　　 ，
　　　　　　　 即．
　　　　　　　 在和中，
　　　　　　　
　　　　　　　 ≌，
　　　　　　　 ．
　　　　　（2）由（1）知，≌，．
　　　　　　　 ，
　　　　　　　 即．
　　　　　（3）在和中，
　　　　　　　
　　　　　　　 ≌，
　　　　　　　 ，
　　　　　　　 ．
　　　　　　　 又，
　　　　　　　 ，
　　　　　　　 即，
　　　　　　　 ．
　　【点拨】
　　（1）要证明线段相等（或角相等），找它们所在的三角形全等．
　　（2）本题的图形规律：共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中，存在一对或多对绕公共点旋转变
　　　　 换的三角形全等．

　　2．如图，在中,，，的平分线AM的长15，求BC的长．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【分析】由AM平分，，可得，，则，所以．在中，，可得，由，可求出BC的长．
　　解：在中，，，
　　　　．
　　　　AM平分，
　　　　，
　　　　，
　　　　．
　　　　在中，，
　　　　
　　　　．
　　【点拨】含30度的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余一起运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要方法．

　　3．如图，，，，．求证：．
　　【分析】根据已知“，”联想到等腰三角形“三线合一”，通过辅助线将证明转化为证明．
　　证明：延长CE、BA交于点F．
　　　　　，
　　　　　．
　　　　　在和中，
　　　　　
　　　　　≌，
　　　　　，即．
　　　　　，
　　　　　．
　　　　　在和中，
　　　　　
　　　　　≌，
　　　　　，
　　　　　．
　　【点拨】
　　（1）利用等腰三角形“三线合一”不仅能得到线段相等、角相等，而且能得到线段的倍半关系．
　　（2）联系等腰三角形“三线合一”作顶角平分线或底边的中线或底边的高线是常用的辅助线．

　　4．如图，△ABC中，AB=AC，在AB边上取点D，在AC延长线上取点E，使BD=CE，连结DE交BC于G．
　　　　　　求证：DG=GE．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【分析】由于△ABC是等腰三角形，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，故可考虑过D或E作腰AC或AB的平行线，通过构造等腰三角形，可获得结论．
　　证法1：过D作DF∥AC，交BC于F（如图）．
　　　　　 ∴∠DFB=∠ACB．
　　　　　 又∵AB=AC，
　　　　　 ∴∠B=∠ACB．
　　　　　 ∴∠B=∠DFB．
　　　　　 ∴DB=DF．
　　　　　 ∵CE=BD(已知)，
　　　　　 ∴DF=CE．
　　　　　 又∠DGF=∠CGE，∠GDF=∠E，
　　　　　 ∴△DFG≌△ECG（AAS）．
　　　　　 ∴DG=GE．
　　证法2：过E作EM∥AB交BC延长线于M．
　　　　　 ∴∠B=∠M．
　　　　　 又∵AB=AC，
　　　　　 ∴∠B=∠ACB．
　　　　　 又∠ACB=∠ECM，
　　　　　 ∴∠M=∠ECM．
　　　　　 ∴EC=EM．
　　　　　 ∵CE=BD(已知)，
　　　　　 ∴EM=BD．
　　　　　 在△BDG与△MEG中，
　　　　　
　　　　　 ∴△BDG≌△MEG（AAS）．
　　　　　 ∴DG=GE．
　　【点拨】
　　（1）本题的证明方法很多，其思路是通过利用等腰三角形ABC的底角相等并借助BD=CE条件，构造新的
　　　　 等腰三角形来寻求结论．
　　（2）本题在推证含DG、GE为对应边的两个三角形全等时，寻找等边是一个难点，也是本题最易出错的
　　　　 地方，主要表现为把BD=CE这一条件直接作为三角形全等时的对应边．

　　5．已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，仿照图（1），请你再设计两种不同的方法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（如图（1））．
　　（2）图(2)（3）供画图用，作图工具不限，不要求写画法，不要求证明；要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）．
　　　　　　　　
　　【分析】由于所给三角形是一个含36°的等腰三角形，因而将它分成三个等腰三角形时仍只需考虑以36°，72°，108°等为内角的等腰三角形即可．
　　解：本题显然应有多种结果，现提供3种，以供同学们参考，如图中（2）、（3）、（4）；
　　　　　　
　　【点拨】像本例这种图形的分割问题的求解，一方面应把握原图形的特征，借助经验予以解决，另一方面还应大胆尝试，在操作中获得结果．

　　6．如图，在一个宽度为的小巷内，一个梯子的长度为b，梯子的脚位于P点．将梯子的顶端放于一堵墙上Q点时，Q点离地面的高度为c，此时梯子与地面的夹角为．将梯子顶端放于对面一堵墙上R点，离开地面的高度为d，此时梯子与地面的夹角为．可知，为什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【分析】由，，可知，又，可知为等边三角形，则，可推得．
　　证明：连接RQ、RB．
　　　　　，，
　　　　　．
　　　　　又，
　　　　　为等边三角形，
　　　　　．
　　　　　在中，，
　　　　　，
　　　　　，
　　　　　，
　　　　　在线段PQ的垂直平分线上，
　　　　　．
　　　　　在中，，
　　　　　．
　　　　　在中，，
　　　　　，
　　　　　，即．