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[组图]等腰三角形(二)

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等腰三角形(二)
一、本周教学目标
  1.通过轴对称图形的性质探究等腰三角形的性质,能灵活运用等腰三角形的性质和判定定理证明线段
    相等和角度相等.
  2.掌握等边三角形的概念、性质和判定,并能灵活运用定理证明和计算相关问题.
  3.掌握含30度角的直角三角形的性质,并能进行相关的证明和计算.

二、本周教学重点和难点
重点:
  1.综合运用等腰三角形的性质和判定定理,证明和计算相关问题;
  2.掌握等边三角形的性质和判定定理,这是证明线段相等和角度相等的重要方法,也是把三角形中角
    的相等关系和边的相等关系进行转化的重要依据.

难点:
  1.利用等边三角形的性质和判定定理,证明线段相等和角度相等.
  2.通过添加辅助线,构造基本图形结构(轴对称结构),从而解决相关问题.

三、本周教学内容解析
  1.等边三角形的概念:三条边都相等的三角形叫做等边三角形,也称为正三角形
  2.等边三角形的性质:
  (1)等边三角形是特殊的等腰三角形,等边三角形具有等腰三角形的一切性质.
  (2)等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°
  (3)等边三角形是轴对称图形,且有三条对称轴.
  3.等边三角形的判定:
  (1)三个角都相等的三角形是等边三角形
  (2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
  4.角的直角三角形的性质
  在直角三角形中,如果一个锐角等于30o,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

四、经典例题
  1.如图,已知点C为线段AB上一点,都是等边三角形,ANBM相交于点OANCM交于点PBMCN交于点Q
  (1)求证:
  (2)求的度数.
  (3)求证:
               
  【分析】(1)欲证,只需证明它所在的两个三角形全等.(2)的度数可用的外角来求,但要注意全等所得到这一条件的使用.(3)要,则应该为一个等边三角形,可证明,从而得到
  (1)证明都是等边三角形,
       
       
        即
        在中,
       
       
       
     (2)由(1)知,
       
        即
     (3)在中,
       
       
       
       
        又
       
        即
       
  【点拨
  (1)要证明线段相等(或角相等),找它们所在的三角形全等.
  (2)本题的图形规律:共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中,存在一对或多对绕公共点旋转变
     换的三角形全等.

  2.如图,在中,的平分线AM的长15,求BC的长.
                   
  【分析】由AM平分,可得,则,所以.在中,,可得,由,可求出BC的长.
  :在中,
    
    AM平分
    
    
    
    在中,
    
    
  【点拨】含30度的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余一起运用,此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要方法.

  3.如图,.求证:
  【分析】根据已知“”联想到等腰三角形“三线合一”,通过辅助线将证明转化为证明
  证明:延长CEBA交于点F
     
     
     在中,
     
     
     ,即
     
     
     在中,
     
     
     
     
  【点拨】
  (1)利用等腰三角形“三线合一”不仅能得到线段相等、角相等,而且能得到线段的倍半关系.
  (2)联系等腰三角形“三线合一”作顶角平分线或底边的中线或底边的高线是常用的辅助线.

  4.如图,△ABC中,AB=AC,在AB边上取点D,在AC延长线上取点E,使BD=CE,连结DEBCG
      求证:DG=GE
                   
  【分析】由于△ABC是等腰三角形,DAB上一点,EAC延长线上一点,故可考虑过DE作腰ACAB的平行线,通过构造等腰三角形,可获得结论.
  证法1:过DDFAC,交BCF(如图).
      ∴∠DFB=∠ACB
      又∵AB=AC
      ∴∠B=∠ACB
      ∴∠B=∠DFB
      ∴DB=DF
      ∵CE=BD(已知),
      ∴DF=CE
      又∠DGF=∠CGE,∠GDF=∠E
      ∴△DFG≌△ECG(AAS).
      ∴DG=GE
  证法2:过EEMABBC延长线于M
      ∴∠B=∠M
      又∵AB=AC
      ∴∠B=∠ACB
      又∠ACB=∠ECM
      ∴∠M=∠ECM
      ∴EC=EM
      ∵CE=BD(已知),
      ∴EM=BD
      在△BDG与△MEG中,
     
      ∴△BDG≌△MEG(AAS).
      ∴DG=GE
  【点拨
  (1)本题的证明方法很多,其思路是通过利用等腰三角形ABC的底角相等并借助BD=CE条件,构造新的
     等腰三角形来寻求结论.
  (2)本题在推证含DGGE为对应边的两个三角形全等时,寻找等边是一个难点,也是本题最易出错的
     地方,主要表现为把BD=CE这一条件直接作为三角形全等时的对应边.

  5.已知:如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,仿照图(1),请你再设计两种不同的方法,将△ABC分割成3个三角形,使得每个三角形都是等腰三角形(如图(1)).
  (2)图(2)(3)供画图用,作图工具不限,不要求写法,不要求证明;要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数).
        
  【分析】由于所给三角形是一个含36°的等腰三角形,因而将它分成三个等腰三角形时仍只需考虑以36°,72°,108°等为内角的等腰三角形即可.
  :本题显然应有多种结果,现提供3种,以供同学们参考,如图中(2)、(3)、(4);
      
  【点拨】像本例这种图形的分割问题的求解,一方面应把握原图形的特征,借助经验予以解决,另一方面还应大胆尝试,在操作中获得结果.

  6.如图,在一个宽度为的小巷内,一个梯子的长度为b,梯子的脚位于P点.将梯子的顶端放于一堵墙上Q点时,Q点离地面的高度为c,此时梯子与地面的夹角为.将梯子顶端放于对面一堵墙上R点,离开地面的高度为d,此时梯子与地面的夹角为.可知,为什么?
                  
  【分析】由,可知,又,可知为等边三角形,则,可推得
  证明:连接RQRB
     
     
     又
     为等边三角形,
     
     在中,
     
     
     
     在线段PQ的垂直平分线上,
     
     在中,
     
     在中,
     
     ,即

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