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视觉误差
奥运开幕式中的日晷
海市蜃楼的成因
视网膜前面的血细胞引起…
为什么钻冰能取火？
让眼睛能拐弯看物体

 

[组图]平方根

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平方根
一、知识讲解：
1、平方根与算术平方根
　 平方根 算术平方根
定义 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即若x2=a，则x叫做a的平方根，例如：
∵(±2)2=4， ∴4的平方根为±2。		 如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根。即若对于x>0，有x2=a，则x叫做a的算术平方根，例如：∵22=4， ∴4的算术平方根为2。
规定 0的平方根为0 0的算术平方根为0
性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根为0，负数没有平方根。 正数与0均只有一个算术平方根，负数没有算术平方根。
表示(a>0)
运算 开平方运算
区别
与
联系		 1.区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2.联系：（1）包含关系；（2）被开方数非负；（3）0的平方根和算术平方根均为0．
算术平方根指的是平方根中非负的那一个。
　
2、剖析定义：
　　（1）被开方数a既可以是数，也可以是代数式。
　　　　 a若是数，必须为非负数； a若是代数式，则这个代数式必须是非负数。否则无意义。
　　（2）式子有双重非负性。
　　　　 ①被开方数a是非负数，即a≥0，（这里使有意义的条件）
　　　　 ②本身非负，即≥0，（这是算术平方根的意义要求的）
　　（3）我们还会遇到形如（a≥0）的式子，它表示b与的乘积，如，但
　　注意：不应写为。

3、性质探究：、与之间的关系：
　　（1）当时，．
　　（2）对于任意数，．如．
　　（3）与的异同：（1）意义不同；（2）被开方数取值不同；（3）结果不同．

二、例题讲解：
　　1．求下列各式的值，并说出意义．
　　（1）； （2）； （3）； （4）．
　　解：（1）；
　　　　（2）；
　　　　（3）
　　　　（4）．
　　小结：（1）要熟记：的结果；
　　　　　（2）掌握被开方数的小数点的移动规律．
　　　　　（3）关注“平方根”与“算术平方根”的区别；
　　　　　（4）关注“”与“”的区别；

　　2．求下列各式中的．
　　（1）；　　　　　（2）； 　　　　　（3）．
　　解：　　　　　　　　 解： 　　　　　　 　解：
　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 或

　　3．为何值时，下列各式有意义：
　　（1）； （2）； （3）； （4）．
　　分析：要使有意义，只需．
　　解：（1）据题意，得：
　　　　　　
　　　　（2）据题意，得：
　　　　　　 化简得：
　　　　　　
　　　　（3）据题意，得：
　　　　　　 解得
　　　　（4）据题意，得：
　　　　　　 解得

　　4．填空：
　　（1）的算术平方根是_________
　　（2）的算术平方根是_________
　　（3）的算术平方根是_________
　　（4）的平方根是_________
　　解：（1）2； （2）； （3）π； （4）；
　　小结：（1）题目条件本身可化简的一般要先化简， 如找的算术平方根，即找4的算术平方根。
　　　　　（2）有些题目不须化简条件，如，。
　　 　　　　　常是被开方数本身就是一个数的平方。

　　5．已知：，求、的值．
　　解：据题意，得
　　　　解得

　　6．小刚同学的房间地板面积为16平方米，恰好由64块正方形的地转铺成，求每块地转的边长是多少？
　　解：设每块边长为米，
　　　　则，
　　　　（舍负）．
　　答：每块地转的边长是米。

　　7．当x满足什么条件时，成立？
　　解：∵有意义
　　　　∴1－2x≥0
　　　　∴
　　　　当时，则左=1－2x，右=|2x－1|=1－2x
　　　　∴当时，成立。

　　8．估计两个算术平方根的大小： 与 11．
　　【方法一】用计算器求：，∴．
　　【方法二】，而，∴．
　　结论 ：一般地，两个非负数a，b，
　　（1）若，则；
　　（2）若，则；
　　（3）若，则．

　　9．（1）探究 ：怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？
　　　　　　　　
　　讨论 ：
　　①面积为2的大正方形的边长是多少？
　　　设大正方形的边长为，则 ．
　　　由算术平方根的定义知：．
　　　∴大正方形的边长是．
　　②小正方形的对角线的长是多少？
　　　小正方形的对角线的长是，正好是大正方形的边长．
　　③ 具体拼法见下图：
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　（2）估算一下有多大？
　　，
　　∴ ．
　　又 ， ，
　　∴ ．
　　又 ， ，
　　∴ ．
　　又， ，
　　∴．
　　……
　　如此下去，可以得到更精确的的近似值．
　　…它是一个无限不循环小数，许多正有理数的算术平方根，
　　如：，，…都是无限不循环小数．

三、平方根的相关运算练习：
　　1．填空：
　　（1）___________，＝___________；
　　（2）___________，＝___________；
　　性质：（1）（）；（2）（）．
　　答案：（1）2×3＝6 ， ，　6 ；（2） ，

　　2．试将根号内的平方数移到根号外：
　　（1） = = =___________　　　　　　
　　（2）___________=___________=___________；
　　（3）___________=___________=___________
　　（4）___________=___________=___________；
　　（5）___________=___________=___________；
　　（6）___________=___________= ；
　　（7）________；________；________；________；________；
　　答案：（1） = = = 　　　　　（2）==；
　　　　　（3）==；　　　 （4）==；
　　　　　（5）==；　　　　　　（6）==；
　　　　　（7）；；；；；

　　3．试将根号外的数移到根号内：
　　（1）___________= ； 　　　　　　　　（2）___________=___________；
　　（3）___________=___________；　　　（4）___________=___________；
　　（5）___________=___________；
　　答案：（1） = ； 　　　　　（2）=；
　　　　　（3）=；　　　　　　（4）=；
　　　　　（5）=；

　　4．试做下面的计算：
　　（1）；（2）；（3）；（4）．
　　解：（1）原式＝
　　　　（2）原式＝
　　　　（3）原式＝
　　　　（4）原式＝

来源：中国哲士网

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