一、二次根式的意义
1．二次根式的概念：
一般地，我们把形如
的式子叫作二次根式，“
”称为二次根号．注意：要使
有意义，只要使
．2．二次根式
的非负性：当
时，＞0；当
时，= 0．即
是非负数．
1．判断下列各式哪些是二次根式？（1）
； （2）
； （3）
； （4）
； （5）
；（6）
； （7）
．解：由概念可知：（1）（2）（6）既符合二次根式形式，又满足有意义的要求，因此它们是二次根式
2．当
是怎样的实数时，下列二次根式在实数范围内有意义？（1）
； 由x－2≥0，得 x≥2（2）
； 由－a≥0，得 a≤0（3）
； 由2－3x≥0，得x≤
（4）
； 由
≥0，得x为任意实数二、二次根式的两个基本性质
1．
与
的关系：
．2．
与的关系：
．3．计算：（1）
1.5 （2）
20 （3）
（4）
17 （5）
（6）
5三、在实数范围内分解因式
（1）
解：原式＝
（2）
解：原式＝
四、二次根式的乘除
说明：在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。
（一）积的算术平方根的性质
1．计算下列各式：
（1）
，
；（2）
，
4×5＝20；（3）猜想
与
的大小关系是：＝．规律：用a、b表示上面的规律为
，其中
≥0，
≥0．2．积的算术平方根的的化简：要把二次根式被开方数中开得尽方的因数或因式的根号去掉．
4．化简下列各式：（1）
解：原式＝4×0.9＝3.6 （2）
解：原式＝
（3）
解：原式＝
（4）
解：原式＝
（5）
解：∵
∴
，即
∴原式＝
（二）二次根式的乘法
1．法则：
（a≥0，b≥0）．2．根式的乘法运算实质是积的算术平方根的性质的逆用．
5．计算：（1）
解：原式＝
（2）
解：原式＝
（3）
解：原式＝
（4）
解：原式＝
（5）
解：原式＝
注意：几个二次根式相乘，把它们的系数、被开方数分别相乘，根指数不变，如果积含有能开得尽方的因数或因式一定要开方．
6．比较大小：（1）
________________； 解：
（2）
________________
． 解：∵
∴
（三）商的算术平方根的性质
1．类似地，可以得到
，（a≥0，b＞0）．2．商的算术平方根的化简：要使根号中的被开方数不含有分母．
7．化简下列各式，使分母不含有根式：（1）
解：原式＝
（2）
解：原式＝
（3）
解：原式＝
（5）
解：原式＝
（6）
解：原式＝
注意：对于商的算术平方根的进行化简，被开方数是带分数的，先化为假分数，然后使结果的被开方数中不含分母，且不含开得尽方的数或字母．
（四）二次根式的除法
1．法则：
（（a≥0，b＞0））．2．根式的除法运算实质是商的算术平方根的性质的逆用．
8．计算：（1）
解：原式＝
（2）
解：原式＝
（3）
解：原式＝
（4）
解：原式＝
利用分式基本性质，使分母不含根式（或被开方数中不含分母），这个过程叫做分母有理化．
五、最简二次根式
1．被开方数中不含有开得尽方的数或式；
2．被开方数不含有分母．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
9．化简下列各式：（1）
解：原式＝
（2）
解：原式＝
（3）
解：原式＝
（4）
解：原式＝
（5）
解：原式＝
（6）
解：原式＝
（7）
解：原式＝
10．计算：（1）
解：原式＝
（2）
解：原式＝
六、二次根式的加减
1．同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
2．二次根式的加减法则：
用代数形式表示为：
11．计算：（1）
解：原式＝
（2）
解：原式＝
（2）
解：原式＝
（3）
解：原式＝
12．若最简二次根式
与
是同类二次根式，求
的值．解：据题意，得：
，解得
七、二次根式的混合运算
13．计算：（1）
； 解：原式＝
（2）
； 解：原式＝
（3）
； 解：原式＝ 
（4）
； 解：原式＝5－3＝2（6）
； 解：原式＝
（7）
； 解：原式＝
14．已知
，
，求（1）
；（2）
．解：∵
，
∴
∴
15．已知
，
，求
的值．解：∵
，∴
∴
注意：本题容易因为没有分析出a、b均为负数，导致结果得－2，当然，从
的非负性也容易检查出这个错误。16．试解下列方程：（1）
解：
（2）
解：
