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[组图]寒假专题三(等腰三角形)

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寒假专题三(等腰三角形)
一、由于等腰三角形的特殊性,当题目条件不明确时,要注意分类讨论
1.没明确腰、底
  1.(1)等腰三角形的一边长10cm,一边长是6cm,则它的周长为 2226
      (2)等腰三角形的周长是24cm,一边长是6cm,则它的另两边长分别为 9cm9cm
      (3)等腰三角形ABC中,AB=2BC,且三角形周长为40,则AB长为 16
  提示:处理这类问题,我们经常需要先将已知的边分别作底和腰进行讨论,再利用三角形中任意两边之和大于第三边的定理进行检验。

2.内角没明确是顶角还是底角
  2.(1)已知等腰三角形有一个内角为100°,求其余两个内角的度数.
         解:40°,40°
      (2)已知等腰三角形有一个内角为30°,求其余两个内角的度数.
         解:30°,120°或75°,75°
  提示:一般地,如果已知角是钝角或直角,那么它只能是顶角;如果已知角是锐角,那么需要分为它为顶角和底角两种情况讨论。

3.腰上的高分形内和形外
  3.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,求这个等腰三角形顶角的度数。
  解答:45°或135°
  提示:处理这类问题,可以分别高在形内和高在形外的示意图辅助讨论。

二、等腰三角形的性质与判定
1.较基本问题
  4.(1)等腰直角三角形的一个底角的度数是( ).
         A.30°   B.45°   C.60°   D.90°
         解答:选B
      (2)如图,AC=AD,BC=BD,则有( ).
         A.AB垂直平分CD       B.CD垂直平分AB
         C.AB与CD互相垂直平分    D.CD平分∠ACB
               
         解答:选A(注意鉴别谁垂直平分谁)

2.结合平行、多边形内角和等考察
  5.(1)如图,已知直线等于( )
         A.      B.     C.     D.
                  
  答案:B
  解:∵
    ∴
    ∴
    ∵
    ∴
    ∴

  (2)如图,已知O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°,则∠DAO+∠DCO的大小是( )
  A.70°    B.110°    C.140°    D.150°
                     
  答案:D
  解:∵∠BAO+∠BCO=∠ABO+∠CBO=∠ABC=70°,
    ∴∠BOA+∠BOC=360°-140°=220°,
    ∴∠AOC=140°
    在四边形AOCD中,
    ∠DAO+∠DCO=360°-∠AOC-∠D=360°-140°-70°=150°,

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  6.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A等于( ).
  A.30o    B.40o    C.45o    D.36o
  答案:D
  解:设∠A=x,则
    ∵BD=AD
    ∴∠ABD=∠A=x
    ∵BD=BC
    ∴∠BDC=∠C=2∠A=2x
    ∵AB=AC
    ∴∠ABC=∠C=2x
    ∴在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180 o即:x+2x+2x=180 o
    解得x=36 o,即∠A=36 o

4.开放性问题
  7.如图所示,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD、BC的交点,点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.
  答案:OE⊥AB.
     证明如下:
     在△BAC和△ABD中,
    

     ∴△BAC≌△ABD.   
     ∴∠OBA=∠OAB,
     ∴OA=OB.          
     又∵AE=BE, ∴OE⊥AB.

三、等边三角形
  等边三角形中有关边、角数量关系的探究
  8.如图,以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD,连结BD、CE,相交于O.(1)试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由;(2)BD和CE夹角的大小与△ABC的形状有关吗?说明理由.
  略解:(1)BD=EC,略证如下:
        在△ABD与△AEC中
        ∵
        ∴△ABD≌△AEC(SAS)
        ∴BD=EC
     (2)BD和CE夹角的大小与△ABC的形状无关,恒等于60°
        略解:∵△ABD≌△AEC
        ∴∠ABD=∠AEC
        又∵∠BOE+∠ABD=∠BAE+∠AEC
        ∴∠BOE=∠BAE=60°

四、结合函数
  *9.在中,的中点,动点点出发,以每秒1的速度沿的方向运动.设运动时间为,那么当____________秒时,过两点的直线将的周长分成两个部分,使其中一部分是另一部分的2倍.
  解析:本题考查等腰三角形中的动点问题,两种情况,
     ①当点P在BA上时,BP=t,AP=12-t,2(t+3)=12-t+12+3,
     解得t=7;
     ②当点P在AC上时, PC=24-t,t+3=2(24-t+3),
     解得t=17,
     综上,t=7或17。 

五、专题提高
1.灵活运用轴对称相关知识解决线段之和的最短问题
  10.已知A(-1,2)和B(-3,-1).试在y轴上确定一点P,使其到A、B的距离和最小,求P点的坐标.
  略解:作点A关于y轴的对称点A′(1,2)
     作过点A′(1,2)和B(-3,-1)的直线
     设直线A′B的解析式为
     据题意,列,解得
     ∴直线A′B的解析式为
     直线A′B交y轴于点P(0,),即为所求.

  11.公园内的两条小河MO、NO在O处汇合,两河形成的半岛上有一处古迹P,现计划在两条小河上各建一座桥Q和R,并在岛上修三条小路,连通两座小桥与古迹,这两座小应建在何处,才能使修路费用最少?
              
  略解:如图,作点P关于OM的对称点P′,
     作点P关于ON的对称点P″,
     连接P′P″,分别交OM、ON于点Q、R,
     则,点Q、R即为所求.

2.解决实际问题
  12.如图,上午9时,一条渔船从A出发,以12海里/小时的速度向正北航行,11时到达B处,从A、B处望小岛C,测得∠NAC=15°,∠NBC=30°.若小岛周围12.3海里内有暗礁,问该渔船继续向正北航行有无触礁危险?
  解:作CD⊥AB于点D
    ∵∠NAC=15°,∠NBC=30°
    ∴∠ACB=15°
    ∴∠NAC=∠ACB
    ∴BA=BC=12×2=24(海里)
    在Rt△BCD中,∵CD⊥AB于点D,∠NBC=30°
    ∴CD=BC=12<12.3
    ∴该渔船继续向正北航行有触礁危险.

3.综合运用
  13.如图所示,是等边三角形, 点是的中点,延长,使
  (1)用尺规作图的方法,过点作,垂足是(不写作法,保留作图痕迹);
  (2)求证:
                   
  解:(1)作图如下图,
     
    (2)是等边三角形,的中点
       *平分(三线合一),
      
      
      
       又
      
       又
      
      
      
       又
      

  14.已知:如图, AF平分∠BAC,BC⊥AF, 垂足为E,点D与点A关于点E对称,PB分别与线段CF, AF相交于P,M.
  (1)求证:AB=CD;
  (2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由.
                
  解:(1)证明:∵AF平分∠BAC,
         ∴∠CAD=∠DAB=∠BAC.
         ∵D与A关于E对称,
         ∴E为AD中点.
         ∵BC⊥AD,
         ∴BC为AD的中垂线,
         ∴AC=CD.
         ∵在Rt△ACE和Rt△ABE中
         ∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°, ∠CAD=∠DAB.
         ∴∠ACE=∠ABE,
         ∴AC=AB.
         ∴AB=CD.
  (2)∵∠BAC=2∠MPC,
    又∵∠BAC=2∠CAD,
    ∴∠MPC=∠CAD.
    ∵AC=CD,
    ∴∠CAD=∠CDA,
    ∴∠MPC=∠CDA.
    ∴∠MPF=∠CDM.
    ∵AC=AB,AE⊥BC,
    ∴CE=BE.
    ∴AM为BC的中垂线,
    ∴CM=BM.
    ∵EM⊥BC,
    ∴EM平分∠CMB,
    ∴∠CME=∠BME.
    ∵∠BME=∠PMF,
    ∴∠PMF=∠CME,
    ∴∠MCD=∠F(三角形内角和).

六、巩固练习
  1.如图,AB=AC,BD=BC,若∠A=40°,则∠ABD的度数是( )
  A.    B.    C.    D.

  2.一个等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为( )
  A.7    B.9    C.12    D.9或12

  3.在等腰中,,一边上的中线将这个三角形的周长分为15和12两个部分,则这
    个等腰三角形的底边长为( )
  A.7    B.11    C.7或11    D.7或10

  4.已知等腰的周长为10,若设腰长为,则的取值范围是____________.

  5.如图,小量角器的零度线在大量角器的零度线上,且小量角器的中心在大量角器的外缘边上.如果
    它们外缘边上的公共点在小量角器上对应的度数为,那么在大量角器上对应的度数为_____
    (只需写出的角度).
               

  6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,DE∥AC,DE交AB于点E ,M为BE
    的中点,连结DM. 在不添加任何辅助线和字母的情况下,图中的等腰三角形是____________.(写
    出一个即可)。
                 

  7.如图,的周长为32,且AB=AC,AD⊥BC于D,又的周长为24,则AD的长为_________.
                     

  8.如图,D、E分别为AB、AC上的点,AC=BC=BD,AD=AE,DE=CE,则∠B的度数为____________.
                

  9.在边长为4和6的矩形中作等腰三角形,使等腰三角形的一条边是矩形的长或宽,第三个顶点在矩形
    的边上,求所作三角形的面积.(注:形状相同的三角形按一种计算.)

  10.如图,在中,,分别以为边作两个等腰直角三角形,使
  (1)求的度数;
  (2)求证:
              


  11.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,1),点B(2,0),在坐标轴上找一点P,使为等腰三角形,那么符合条件的点共____________个.
               

参考答案:
  1.B; 2.C; 3.C; 4.2.5<x<5; 5.50° ;

  6. △MBD或△MDE或△EAD; 7.8;   8.36°;

  9.如图
     
    面积为8或12

  10.解:(1)∵ΔABD是等腰直角三角形,
         ∴∠ABD=45°,AB=AC,
         ∴∠ABC=70°,
         ∴∠CBD=70°+45°=115°.
      (2)由AB=AC,,AD=AE,
         可得ΔBAD≌ΔCAE,
         ∴BD=CE.

  11.答案:8个
    作法:(1)作AB的垂直平分线,交坐标轴于2点;
        (2)以点A为圆心,AB长为半径弧,交坐标轴于3点(异于点B);
        (3)以点B为圆心,AB长为半径弧,交坐标轴于3点(异于点A)

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