寒假专题三（等腰三角形）
一、由于等腰三角形的特殊性，当题目条件不明确时，要注意分类讨论
1．没明确腰、底
　　1．（1）等腰三角形的一边长10cm，一边长是6cm，则它的周长为 22或26 ．
　　　　　　（2）等腰三角形的周长是24cm，一边长是6cm，则它的另两边长分别为 9cm，9cm．
　　　　　　（3）等腰三角形ABC中，AB＝2BC，且三角形周长为40，则AB长为 16 ．
　　提示：处理这类问题，我们经常需要先将已知的边分别作底和腰进行讨论，再利用三角形中任意两边之和大于第三边的定理进行检验。

2．内角没明确是顶角还是底角
　　2．（1）已知等腰三角形有一个内角为100°，求其余两个内角的度数．
　　　　　　　　 解：40°，40°
　　　　　　（2）已知等腰三角形有一个内角为30°，求其余两个内角的度数．
　　　　　　　　 解：30°，120°或75°，75°
　　提示：一般地，如果已知角是钝角或直角，那么它只能是顶角；如果已知角是锐角，那么需要分为它为顶角和底角两种情况讨论。

3．腰上的高分形内和形外
　　3．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，求这个等腰三角形顶角的度数。
　　解答：45°或135°
　　提示：处理这类问题，可以分别画高在形内和高在形外的示意图辅助讨论。

二、等腰三角形的性质与判定
1．较基本问题
　　4．（1）等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ）．
　　　　　　　　 A．30°　　 B．45°　　 C．60°　　 D．90°
　　　　　　　　 解答：选B
　　　　　　（2）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）．
　　　　　　　　 A．AB垂直平分CD 　　　　　　B．CD垂直平分AB
　　　　　　　　 C．AB与CD互相垂直平分 　　　D．CD平分∠ACB
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　 解答：选A（注意鉴别谁垂直平分谁）

2．结合平行、多边形内角和等考察
　　5．（1）如图，已知直线且则等于（ ）
　　　　　　　　 A． 　　　　　B．　　　　　C． 　　　　D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　答案：B
　　解：∵
　　　　∴，
　　　　∴，
　　　　∵
　　　　∴，
　　　　∴

　　（2）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（ ）
　　A．70°　　　 B．110°　　　 C．140°　　　 D．150°
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　答案：D
　　解：∵∠BAO+∠BCO＝∠ABO+∠CBO＝∠ABC＝70°，
　　　　∴∠BOA+∠BOC＝360°－140°＝220°，
　　　　∴∠AOC＝140°
　　　　在四边形AOCD中，
　　　　∠DAO+∠DCO＝360°－∠AOC－∠D＝360°－140°－70°=150°，

3．结合方程思想辅助解决问题
　　6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（ ）．
　　A．30^o 　　　B．40^o　　　 C．45^o　　　 D．36^o
　　答案：D
　　解：设∠A＝x，则
　　　　∵BD＝AD
　　　　∴∠ABD＝∠A＝x
　　　　∵BD＝BC
　　　　∴∠BDC＝∠C＝2∠A＝2x
　　　　∵AB＝AC
　　　　∴∠ABC＝∠C＝2x
　　　　∴在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180 ^o即：x＋2x＋2x＝180 ^o，
　　　　解得x＝36 ^o，即∠A＝36 ^o

4．开放性问题
　　7．如图所示，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．
　　答案：OE⊥AB．
　　　　　证明如下：
　　　　　在△BAC和△ABD中，
　　　　

　　　　　∴△BAC≌△ABD．　　　
　　　　　∴∠OBA＝∠OAB,
　　　　　∴OA＝OB．　　　　　　　　　　
　　　　　又∵AE＝BE, ∴OE⊥AB．

三、等边三角形
　　等边三角形中有关边、角数量关系的探究
　　8．如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连结BD、CE，相交于O．（1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；（2）BD和CE夹角的大小与△ABC的形状有关吗？说明理由．
　　略解：（1）BD＝EC，略证如下：
　　　　　　　 在△ABD与△AEC中
　　　　　　　 ∵
　　　　　　　 ∴△ABD≌△AEC（SAS）
　　　　　　　 ∴BD＝EC
　　　　　（2）BD和CE夹角的大小与△ABC的形状无关，恒等于60°
　　　　　　　 略解：∵△ABD≌△AEC
　　　　　　　 ∴∠ABD＝∠AEC
　　　　　　　 又∵∠BOE＋∠ABD＝∠BAE＋∠AEC
　　　　　　　 ∴∠BOE＝∠BAE＝60°

四、结合函数
　　*9．在中，为的中点，动点从点出发，以每秒1的速度沿的方向运动．设运动时间为，那么当____________秒时，过、两点的直线将的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．
　　解析：本题考查等腰三角形中的动点问题，两种情况，
　　　　　①当点P在BA上时，BP＝t，AP＝12-t，2（t+3）＝12-t+12+3，
　　　　　解得t＝7；
　　　　　②当点P在AC上时， PC＝24-t，t+3＝2（24-t+3），
　　　　　解得t＝17，
　　　　　综上，t＝7或17。　

五、专题提高
1．灵活运用轴对称相关知识解决线段之和的最短问题
　　10．已知A（-1，2）和B（-3，-1）．试在y轴上确定一点P，使其到A、B的距离和最小，求P点的坐标．
　　略解：作点A关于y轴的对称点A′（1，2）
　　　　　作过点A′（1，2）和B（-3，-1）的直线
　　　　　设直线A′B的解析式为，
　　　　　据题意，列，解得
　　　　　∴直线A′B的解析式为
　　　　　直线A′B交y轴于点P（0，），即为所求.

　　11．公园内的两条小河MO、NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处古迹P，现计划在两条小河上各建一座桥Q和R，并在岛上修三条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，才能使修路费用最少？
　　　　　　　　　　　　　　
　　略解：如图，作点P关于OM的对称点P′，
　　　　　作点P关于ON的对称点P″，
　　　　　连接P′P″，分别交OM、ON于点Q、R，
　　　　　则，点Q、R即为所求.

2．解决实际问题
　　12．如图，上午9时，一条渔船从A出发，以12海里/小时的速度向正北航行，11时到达B处，从A、B处望小岛C，测得∠NAC＝15°，∠NBC＝30°.若小岛周围12.3海里内有暗礁，问该渔船继续向正北航行有无触礁危险？
　　解：作CD⊥AB于点D
　　　　∵∠NAC＝15°，∠NBC＝30°
　　　　∴∠ACB＝15°
　　　　∴∠NAC＝∠ACB
　　　　∴BA＝BC＝12×2＝24（海里）
　　　　在Rt△BCD中，∵CD⊥AB于点D，∠NBC＝30°
　　　　∴CD＝BC＝12<12.3
　　　　∴该渔船继续向正北航行有触礁危险.

3．综合运用
　　13．如图所示，是等边三角形， 点是的中点，延长到，使，
　　（1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是（不写作法，保留作图痕迹）；
　　（2）求证：．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：（1）作图如下图，
　　　　　
　　　　（2）是等边三角形，是的中点
　　　　　　 平分（三线合一），
　　　　　　 ，
　　　　　　 ，
　　　　　　 ，
　　　　　　 又
　　　　　　 ，
　　　　　　 又，
　　　　　　 ，
　　　　　　 ，
　　　　　　 ，
　　　　　　 又，
　　　　　　

　　14．已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M．
　　（1）求证：AB＝CD；
　　（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：(1)证明：∵AF平分∠BAC，
　　　　　　　　 ∴∠CAD＝∠DAB＝∠BAC．
　　　　　　　　 ∵D与A关于E对称，
　　　　　　　　 ∴E为AD中点．
　　　　　　　　 ∵BC⊥AD，
　　　　　　　　 ∴BC为AD的中垂线，
　　　　　　　　 ∴AC＝CD．
　　　　　　　　 ∵在Rt△ACE和Rt△ABE中
　　　　　　　　 ∠CAD+∠ACE＝∠DAB+∠ABE＝90°， ∠CAD＝∠DAB．
　　　　　　　　 ∴∠ACE＝∠ABE，
　　　　　　　　 ∴AC＝AB．
　　　　　　　　 ∴AB＝CD．
　　(2)∵∠BAC＝2∠MPC，
　　　 又∵∠BAC＝2∠CAD，
　　　 ∴∠MPC＝∠CAD．
　　　 ∵AC＝CD，
　　　 ∴∠CAD＝∠CDA，
　　　 ∴∠MPC＝∠CDA．
　　　 ∴∠MPF＝∠CDM．
　　　 ∵AC＝AB，AE⊥BC，
　　　 ∴CE＝BE．
　　　 ∴AM为BC的中垂线，
　　　 ∴CM＝BM．
　　　 ∵EM⊥BC，
　　　 ∴EM平分∠CMB，
　　　 ∴∠CME＝∠BME．
　　　 ∵∠BME＝∠PMF，
　　　 ∴∠PMF＝∠CME，
　　　 ∴∠MCD＝∠F(三角形内角和)．

六、巩固练习
　　1．如图，AB＝AC，BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD的度数是（ ）
　　A． 　　　B．　　　 C．　　　 D．

　　2．一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
　　A．7　　　 B．9 　　　C．12 　　　D．9或12

　　3．在等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这
　 　　个等腰三角形的底边长为（ ）
　　A．7 　　　B．11 　　　C．7或11　　　 D．7或10

　　4．已知等腰的周长为10，若设腰长为，则的取值范围是____________．

　　5．如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果
　 　　它们外缘边上的公共点在小量角器上对应的度数为，那么在大量角器上对应的度数为_____
　 　　（只需写出～的角度）．
　　　　　　　　　　　　　　　

　　6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE交AB于点E ，M为BE
　 　　的中点，连结DM． 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是____________．（写
　 　　出一个即可）。
　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　7．如图，的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于D，又的周长为24，则AD的长为_________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　8．如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC=BC=BD，AD=AE，DE=CE，则∠B的度数为____________．
　　　　　　　　　　　　　　　　

　　9．在边长为4和6的矩形中作等腰三角形，使等腰三角形的一条边是矩形的长或宽，第三个顶点在矩形
　 　　的边上，求所作三角形的面积．（注：形状相同的三角形按一种计算．）

　　10．如图，在中，，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使．
　　（1）求的度数；
　　（2）求证：．
　　　　　　　　　　　　　　


　　11．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，1），点B（2，0），在坐标轴上找一点P，使为等腰三角形，那么符合条件的点共____________个．
　　　　　　　　　　　　　　　

参考答案：
　　1．B； 2．C； 3．C； 4．2.5＜x＜5； 5．50° ；

　　6. △MBD或△MDE或△EAD； 7．8； 　　8．36°；

　　9．如图
　　　　　
　　　 面积为8或12

　　10．解：（1）∵ΔABD是等腰直角三角形，，
　　　　　　　　 ∴∠ABD＝45°,AB＝AC,
　　　　　　　　 ∴∠ABC＝70°,
　　　　　　　　 ∴∠CBD＝70°+45°＝115°．
　　　　　　（2）由AB＝AC,,AD＝AE,
　　　　　　　　 可得ΔBAD≌ΔCAE,
　　　　　　　　 ∴BD＝CE．

　　11．答案：8个
　　　　作法：（1）作AB的垂直平分线，交坐标轴于2点；
　　 　　　　 （2）以点A为圆心，AB长为半径画弧，交坐标轴于3点（异于点B）；
　　 　　　　 （3）以点B为圆心，AB长为半径画弧，交坐标轴于3点（异于点A）