一、相关知识要点
1．用函数的观点看方程ax+b=c（a、b为常数，a≠0）的解
（1）从“数”的角度看，可以看作是当一次函数y=ax+b的值为c时，求相应的自变量x的值．如下图1.
（2）从“形”的角度看，该问题又相当于确定直线y=ax+b与直线y=c（如果将平面直角坐标系中，各
点的纵坐标是都是c的直线称为直线y=c）交点的横坐标x的值，如下图2—1，2—2．
2．用函数的观点看二元一次方程Ax+By+C=0（A、B、C为常数，AB≠0）
当把Ax+By+C=0（
）转化为
的形式，则以方程Ax+By+C=0的每一个解（x，y）为坐标的点都在直线上．因此每个二元一次方程Ax+By=C都对应一条直线，于是也应对应一个一次函数．3．用函数的观点看二元一次方程组
的解
（1）从“形”的角度看，可以看作是直线
与直线
的交点坐标(m，n)．（2）从“数”的角度看，解这个二元一次方程组又相当于考虑自变量x为何值时，一次函数
的值相等，以及这个函数值为何值？4．一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积问题
（1）一次函数
的图象和两个坐标轴围成的三角形的面积：
．（2）要求两个一次函数的图象和坐标轴围成的三角形面积或四边形面积：关键是求这两条直线的交点
的坐标（即多边形顶点的坐标）．
二、例题选讲
1．如图，已知两直线
和
，求它们与y轴所围成的三角形的面积．
分析：需先通过解方程组求出这两个直线的交点C的坐标，以及它们分别与y轴交点的纵坐标．
解：∵直线
与y轴交点A的坐标是（0，3），直线y=2x－1与y轴交点B的坐标为B（0，－1）．
∴BA=yA－yB=3－（－1）=4．
令
解这个方程组，得
∴两直线交点C的坐标为（
，2），C点到AB边的距离
，∴△ABC的面积
．想一想，这两条直线
、y=2x－1与x轴所围成的三角形CED的面积是多少？另外这两条直线与两条坐标轴所围成的四边形AOEC的面积又是多少？2．在平面直角坐标系中，一动点P（
，y）从M（1，0）出发，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动。图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间
（秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分.
（图①） （图②） （图③）
（1）s与
之间的函数关系式是：__________________；（2）与图③相对应的P点的运动路径是：_____________；P点出发______秒首次到达点B；
（3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式．
解：（1）S=
（t≥0）（2）M→D→A→N，10；
（3）当3≤s＜5，即P从A到B时，
；当5≤s＜7，即P从B到C时，y=－1；
当7≤s≤8，即P从C到M时，y=s－8．
3．在平面直角坐标中，边长为2的正方形
的两顶点
、
分别在
轴、
轴的正半轴上，点
在原点．现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线
上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点
，
边交轴于点
（如图）．（1）求边
在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当
和
平行时，求正方形旋转的度数；（3）设
的周长为
，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论．
（1）解：∵
点第一次落在直线上时停止旋转，∴
旋转了
．∴
在旋转过程中所扫过的面积为
． （2）解：∵
∥，∴
，
．∴
．∴
．又∵
，∴
．又∵
，
，∴
．∴
．∴
．∴旋转过程中，当
和平行时，正方形旋转的度数为
． （3）答：
值无变化．证明：延长
交轴于
点，则
，，∴
．又∵
，
．∴
．∴
，
．又∵
，
，∴
．∴
．∴
，∴
．∴在旋转正方形
的过程中，值无变化． 4．如图1所示，直线
与x轴交于B点，与直线
交于y轴上一点A，且与x轴的交点为C（1，0）．（1）求证：
；（2）如图2所示，过x轴上一点D(－3，0)作
于E，DE交y轴于F点，交AB于G点，求G点的坐标；（3）如图3所示，将
沿x轴向左平移，AC边与y轴交于一点P（P不同于A和C两点），过P点作一直线与AB的延长线交于Q点，与x轴交于点M，且
．在平移的过程中，线段OM的长度是否发生变化？若变，请求出它的长度；若不变，确定其变化范围．
图1 图2
图3 图4
解：（1）由
，令
，得
，
所以BO=CO，又
，得
，得
．（2）由图2得：
，
，
，得
≌
，
，
（0，1）．过D（－3，0）和F（0，1）的直线解析式为
，由
解得
∴G点的坐标为（
，
）．（3）OM的长度不变，理由如下：
如图4，过P作
交BC于N，则PC=PN=BQ．由
≌
，得BM=MN，又NO=OC，故
为一定值．三、巩固练习
1．如下图，直线l是函数
的图象，若点P（x，y）满足
，且
，则P点的坐标可能是__________________．（写出一个满足条件的点即可）
2．已知直线
和
的交点在第三象限，则k的取值范围是__________________．3．已知一次函数
与两坐标轴围成的三角形面积为4，求
的值．4．已知直线
与轴、轴分别交于点，
．点的坐标为（
，0），点 的坐标为（
，0）．（1）求
的值；（2）若点
（，）是第二象限内的直线上的一个动点．当点运动过程中，试写出
的面积
与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）探究：当
运动到什么位置时，的面积为
，并说明理由．5．已知：如图，等边三角形ABC中，AB = 2，点P是AB边上的一动点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过点E作EF⊥AC， 垂足为F，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q．设BP = x， AQ = y．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合；
6．已知：在平面直角坐标系xoy中，点A（0，4）、点B和点C在x轴上（点B在点C的左边），点C在原点的右边，作BE⊥AC，垂足为E（点E在线段AC上，且点E与点A不重合），直线BE与y轴交于点D，若BD = AC．
（1）求点B的坐标；
（2）设OC长为m，△BOD的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．
【参考答案】
1．（4，6）（答案不唯一）．
2．
．3．
．4．（1）
；（2）
（
）；（3）当
点的坐标为（
，
）时，的面积为．5．（1）
；（2）．6．（1）B（4，0）或B（－4，0）；（2）
（
且
）．
