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广东高考理科数学试卷第21题的评析
焦晓东
广东惠阳中山中学
【摘要】本文依据《2008年高校招生考试新课程考试大纲(理科数学)》、《2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）考试大纲说明（广东卷）》及《新课程标准》对2008广东高考理科数学试卷第21题所体现的背景、功能及今后中学数学教学与复习作出合理化的建议。
【关键词】广东高考;理科数学;评析;功能
1问题的提出
2008年广东高考理科数学试卷出台以后,第21题引起中学数学界许多议论，因为这道题似乎有超纲嫌疑。现将这道题抄录如下：
设 为实数， 是方程 的两个实根，数列 满足 ， ， （ …）．（1）证明： ， ；（2）求数列 的通项公式；（3）若 ， ，求数列 的前 项和 ．
2该题的背景
2.1高等数学背景
该题的本质就是利用方程的特征根求解二阶递推数列的通项公式,因此有着浓厚的高等数学味道。所以,大部分中学数学教师认为该题超纲,也以此为据。 诚然,此题若运用高等数学中的公式解,就明显失去了对学生数学思想方法的考查,变成了是否记住公式的考查,也就失去了今天大家对它的讨论。但是该题的初等解法可以说与高等数学几乎没有关系。
2.2新课标背景
《新课程标准》把等差数列和等比数列作为重要内容。“强调在具体的问题情境中,发现数列的等差关系或等比关系,即突出了问题意识,也有助于对数学本质的认识。”[1] 而要解决好该题,一定要在该问题中发现蕴含在其中的等差数列与等比数列。因此,它有着深厚的新课标味道。
2.3教科书背景
专家一再告诫并且我们都知道,高考试题来源于课本又高于课本。那么,课本中能否找到该题的原型呢?试看:人教社A版必修（5） B组第6题:“已知数列{ }中, ，对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?”[2]拿试题与课本中的这道习题作一比较,发现题型完全一致,无非课本中的习题中项的系数是具体的数值,试题中项的系数是有关的字母，而字母的运算是高考考查运算能力的重点。此时,所有人都不再为是否超纲而争执。
3试题评析
《2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）考试大纲说明（广东卷）》指出[3],命题的指导思想是:“坚持‘有助于高校科学公正地选拔人才，有助于推进普通高中课程改革，实施素质教育’的基本原则，适当体现普通高中课程标准的基本理念，以能力立意，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养、发挥数学作为主要基础学科的作用，考察考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，以及进入高等学校继续学习的潜能”。那么该题具有这样的考查功能吗?我们先看解答过程:
解 1）由求根公式，不妨设 ，得
，
2）由 与 得
(3.1)
(3.2)
i) 若 = =0时,则
(3.3)
ii)若 有且只有一个为0时,不妨设 则由(3.1)知
故数列{ }是以 为首项,以 为公比的等比数列, 故
= (3.4)
iii)若 时,则有
数列{ }是公比为 、首项为 的等比数列,因此 ,从而
(3.5)
两边除以 得
(3.6)
所以数列{ }是以 为首项以1为公差的等差数列
由等差数列的通项公式知: , 故
(3.7)
iv)若 且 时,数列{ },{ }分别是公比为 、 ,首项为 , 的等比数列,所以由等比数列的通项公式得:
(3.8)
(3.9)
联立
(3.10)
两式相减得 , 从而
， ，
,
故
(3.11)
综上:由i) ii) iii) iv)得:
（3）把 ， 代入 ，得 ，解得 ,所以
设 , 则 , 两式相减得
=
由以上解答过程知,该题很好的体现了以下几个方面的要求:
3.1新课标的理念
新课标有十大基本理念[1],在此不再一一叙述。在该题中体现的基本理念如下:
首先,体现的第一个理念是“构建共同基础,提供发展平台”。因为我们从第一问的解答知,只要考生能答到该处,一般可以解答出该题。所以,该题的入手点很好的体现了这个理念。
其次,体现的第二个理念是提供多样课程,适应个性选择。 “随着时代的发展,各行各业都对公民的数学素养提出了更高的要求,不同行业对数学的要求不尽相同,学生的兴趣、志向与自身条件也不相同。”[1]这就明确指出,不同人学习不同数学。当然,考查时,对不同的人就有不同的考查方法。该题第二、第三问的考查便是如此,所以很好的体现了这个理念。
最后,“倡导积极主动、改进学习方法,使学生学会学习”。是高中数学课程追求的另一理念。[1]在教科书的数列章节中的阅读材料中,提到斐波那契数列,最后还强调“有兴趣的同学可以通过浏览互连网或查阅相关书籍搜集资料,进一步了解和研究斐波那契数列”。这一道题恰是斐波那契数列的推广,故集中的体现了这一理念。
3.2全方位的考查功能
我们经常会遇到一个问题:“高考考什么?”依据《大纲》与《说明》,最简单最直接的回答就是考基础知识、考数学思想方法、考基本能力、考个性品质。这道题到底是如何考查以上几个方面的呢?
3.2.1考查知识
由该题第一问的解答看出,只要知道一元二次方程的求根公式便会迎刃而解。 因此,第一问纯粹考查一元二次方程的求根公式这个知识。由该题的第二问解答过程知,（3.4）,(3.5),(3.7),(3.8)的得出就是利用等差或等比数列的定义与通项公式。第三问的解答便是等比数列的前n项和公式。 所以考查相应的基础知识。
3.2.2考查思想方法
3.2.2.1考查主要涉及换元法、消元法、构造法、错位相减法等方法
该题第二问的解答开始由 结合 变形得 ,将p,q用 代换,可以说是能够顺利解答本题的关键。因此用到换元法。由方程组(3.10)中解出 时就是将 , 看作方程中的两个未知元,利用加减消元法消去 得到 。所以又用到消元法。从解答的字里行间无不存在构造的影子。例如: 由原递推公式到(3.1),(3.2),由(3.5)到(3.6),都是为了构造等比或等差数列,有了这样的构造,这道题第二问基本就能解决。 在解决第三问时,显然运用错位相减法即可马上得出答案。
3.2.2.2考查主要涉及转化与化归、对称、方程、分类讨论与整合等数学思想
先看,从解答一开始将 变形到 的目的就是为了将原来的递推数列转化为{ },{ }两个等比数列。将 变为 是为了转化为等差数列。所以运用了转化与化归的数学思想。
再看, 为什么将 变为
两个式子呢?有一个不是行了吗?解答到后面发现,若只有一个便很难继续解答,考虑到 的地位完全平等,所以利用对称的思想将 的位置互换,问题便迎刃而解。
又看, 联立 两式相减得 ,显然联立的目的就是将 看作两个未知数,利用方程的思想解得 。
还看,在得到 , 两式时为什么不直接构造两个等比数列呢?原来在数列{ },{ }中,若 ,则至少有一个数列不是等比数列,故要进行分类讨论,且分类的标准随之产生。还有, 任何时候两式相减即可得出 吗?当 时这两个式子完全一样,所以又有了分类的思想与标准。最后在不同分类标准下将得出的结论(3.3),(3.4),(3.7),(3.10)整合得到答案。所以又用到分类讨论与整合的数学思想。
3.2.3考查能力
大纲明确指出:“数学科的考试,按照‘考查基础知识的同时,注重考查能力’的原则…….”[4]到底该题检测了哪些能力呢?
首先,想的再好,也要通过算来实现。特别是第二问的解答,基本都是字母的运算,而运算求解能力是考纲中要求的能力之一。所以该题很好的考查了这方面的能力。
同时, 考纲要求考查的重中之重是考查逻辑思维能力,即抽象概括能力与推理论证能力。该题的第二、第三问的解答对逻辑思维能力都有非常高的要求。可以这样说,没有很强的思维能力,就不可能解决该题。
3.2.4考查个性品质
“个性品质指考生个体的情感、态度、价值观”。 [3]“要求考生克服紧张情绪,以平和的心态参加考试,合理支配时间……”[3]该题总分是12分,难度也较大,若其它题已经答完,考生就要克服紧张情绪,以平和的心态对待该题, 即使答不对或不全也没有关系,发挥自己的水平即可。因此,该题间接的考查个性品质。
“数学科的命题,在考查数学知识的基础上,注重对数学思想方法的考查,注重对数学能力的考查……”[3]由以上分析可知, 该题以一元二次方程、等差(比)数列等知识为载体,着重考查了换元法、消元法、构造法、错位相减法、转化与化归、对称、方程、分类讨论与整合等数学思想方法,全面考查了运算能力、抽象概括能力与推理论证能力以及学生的个性品质。因此体现出了该题全方位的考查功能。
3.3良好的选拔功能
这道题分值12分,在高考阅卷完的总结会上,广东省高考数学评价组组长柳柏廉教授提供的数据是:“平均分是2.41,难度系数为0.208,有150人得满分,有23万多人0分。”因此有良好的区分度,所以有助于高校特别是“211院校”科学公正地选拔人才,所以作为高考压轴题是非常好的。
3.4强大的导向功能
高考的指挥棒作用是任何的行政命令、红头文件都无法比拟的,它具有非常强的导向性,中学基本是高考考什么就教什么,这是无可争议的事实,根本不管教育主管部门的行政命令有多么严厉。既然如此,那么就应该在高考的试题上做足文章,只要试题确实严格遵循新课标理念,严格遵循考试大纲,严格遵循考试说明,严格遵循教科书,确实以能力立意，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养、发挥数学作为主要基础学科的作用，考察考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，确实使中学师生感觉到题海战术没有效果,那么实施素质教育不需多少的强制,师生自然会积极主动的实施好。由前面的分析可知,要做好类似题,没有良好的数学素养,靠题海战术难以见效。所以该题对中学数学教学与实施素质教育都有强大的导向功能。
4结论
4.1新课教学
实施素质教育的主阵地在课堂,主要执行者是教师。为了很好的实施素质教育,有效提高学生的数学素养,笔者建议:
4.1.1明确本节课传授的基本知识、渗透的思想方法、培养的数学能力
教师要反复学习新课标,钻研新教材,彻底理解新课标的理念, 严格遵循新课标理念。 在平常的课堂教学时,将每一课时的三维目标落实到实处。在小结时明确指出本节课的知识是什么?运用到的数学思想方法是什么?主要培养的能力是什么?每节课都按照这样的思路去落实,学生的数学素养一定可以提高。就以等差数列为例加以说明。
…………………………………………………………………………………………
小结: 本节课的知识:等差数列的定义,通项公式。
数学方法:归纳法,叠加法。
数学思想:方程思想。
能力培养:运算能力,逻辑思维能力。
如果上述几个方面在课堂教学时落实到位,长期坚持, 则学生的数学素养会逐步提高。
4.1.2重视阅读材料
不同的人学习不同的数学，这是新课程倡导的基本理念之一。课本中设置的阅读材料是对教材的拓展,是对学有余力同学的有益补充,蕴含着比教材更为丰富的知识与思想方法。教师要有意识的指导这些同学阅读这部分材料。这样,不但对培养他们的数学素养有帮助,而且培养了他们终身学习的能力。
4.2高考复习
4.2.1关注课本,用好教科书
高考试题的大部分题源于课本,但高与课本,是由课本的例题、习题加工、提炼、拓展而成的。那么,教师在复习时可以将课本的例题、习题加工、提炼、拓展,我们不寄希望碰到原题,但类似题型一定可以见到。
4.2.2关注基础,精选练习题
试题中的难题,其目的还是考查能力。所以,解答时更要联想、类比，运用最基础的知识、最基本的思想方法。因此,复习训练时以基础题为主,精编那些简单但又蕴含丰富知识与思想方法的例习题。
4.2.3关注考纲,加强对《考试大纲》与《考试说明》的研究
高考考试会严格遵守《考试大纲》与《考试说明》。例如:今年的《考试大纲》与《考试说明》对数列章节的考试范围与要求是:“…… ② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。③ 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题……”。这道压轴题也没有超出这个范围。故教师一定要做到心中有数,哪些知识必考且考到什么程度。
【参考文献】
[1] 严士健等.普通高中数学课程标准(实验)解读[M]. 南京：江苏教育出版社.2004.3
[2] 李建华等.普通高中课程标准实验教科书数学(必修)[M]. 北京：人民教育出版社,2007.12
[3] 2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）考试大纲说明（广东卷）.广东教育考试院.2008.3.
[4] 2008年高校招生考试新课程考试大纲(理科数学).教育部考试中心.2008.3
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