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势差、电势、等势面典型例题
【例1】 如图所示，把绝缘金属板A与静电计相连，用一根跟丝绸摩擦过的有机玻璃棒接触金属板A，静电计指针有一偏角，现用另一块不带电金属板B靠近金属板A，则静电计指针的偏角 [ ]
A．变大 B．变小
C．不变 D．上述三种情况都可能
[分析]有机玻璃棒跟丝绸摩擦，棒上带有正电荷，用它接触金属板A，A板带上正电，因此，静电计指针有一偏角．这个偏角的大小，反映了指针（包括金属杆、A板等）与静电计外壳间的电势差的大小．
B板靠近后，由于静电感应，B板两侧呈现等量异号的感应电荷，靠近A板的内侧为负电荷，外侧为正电荷．
根据电势的叠加原理，此时A板的电势由它自身的电荷跟B板两侧的感应电荷共同决定．由于B板上的负电荷离A板近，它使A板电势降低的影响比外侧正电荷使A板电势升高的影响大，结果使A板（包括指针等）的电势降低，指针偏角减小．
[答] B．
[说明] 如B板接地，其外侧正电荷被中和．使A板的电势更为降低．
B板靠近后，如要使指针偏角恢复到原来的大小，就需要对A板再增加带电量．
这个事实正说明了电容器的作用——靠近的两板在同样电势差条件下能比单独的一块板容纳更多的电荷．
【例2】 如图所示，有一个球壳（图中涂成阴影的区域）较厚的绝缘金属体A，原来不带电。将一个带正电的小球B从小孔放入金属球空腔内但不与球壳接触。达到静电平衡后，以下说法正确的是
[ ]
A．球壳外侧电势高，内侧电势低
B．取地球电势为零时，球壳的电势也为零
C．金属球内空腔处电场强度为零
D．金属球壳内电场强度为零
[误解一]选A。
[误解二]选B。
[误解三]选C。
[正确解答] 选D。
[错因分析与解题指导] [误解一]错率较高，错选者的想法是：由于静电感应，球壳外侧带正电，所以电势高；内侧带负电，所以电势低。这是对球壳电势的涵义了解不深所致。球壳上各处的电势既有施感电荷电场的影响，又有感应电荷电场的影响。静电平衡到达时，球壳各处几部分电场电势的叠加值都是一样大的，整个球壳是一个等势体。[误解二] 错率也高，错选者应用了一个结论：“静电场中的导体内部场强为零”，但对什么是“静电场中的导体内部”理解有误。在本题中，金属球壳内部（题图涂阴影区域）才是处于带电体B的电场中的“导体内部”，此处场强才处处为零。金属球的内腔空间里，存在着由带正电的B球与球壳内侧感应负电荷共同形成的电场，此处场强并不为零。[误解三]一般出于一种猜测．错选者既未注重带电球壳与大地“绝缘”，也不知道如何判定其电势的正、负。对这问题，可以虚拟一根导线将球壳与地接触一下，看看有什么情况发生。轻易知道这时球壳上的“正电荷”将被B球的正电排斥而“跑”向大地，因为正电荷在电场力作用下总是从电势高处移向电势低处，所以球壳的电势高于大地电势而为正电势。这种“虚拟”的方法在解释同类型问题中常有应用。
【例3】 带正电的空心金属球 P置
于绝缘支架上，将两个原来不带电的金属小球A和B按图1中位置安放。假如用导线将A球与P的内壁a点相连，则下列说法中正确的是
[ ]
A．两球都不带电，电势都为零
B．两球都不带电，电势相同
C．两球都带正电，电势与P的电势相同
D．A球带正电，B球不带电，两球电势相同
[误解] 选（B）。
[正确解答] 选（D）。
[错因分析与解题指导] [误解] 基于一个结论：“处于静电平衡的导体，净电荷只分布在外表面上”。既然P的内壁没有净电荷，A和B当然都不会带电。对B球而言，它确实成为P内壁的一部分，它不带电是正确的。可是A球虽有导线与P的内壁相接，却不能当作P内壁一部分来分析问题。
因A在P的外部空间处，由于静电感应，有电场线落在A球上如图2。电场线的指向是电势降低的方向，从图中可见此时A 的电势低于P的电势。当用导线将A与P的内壁相接时，正电荷在电场力作用下将从电势高的P移向电势低的A（实质上是自由电子在电场力作用下从A移向P），从而使A球电势升高。到达静电平衡时，A便与P等电势，这时，A球已经带上正电荷了。
对于静电平衡中许多物理现象，分析的依据仍是处于静电平衡的导体的一些基本性质，但对这些结论一定要正确理解而不要用错。
【例4】 在电场中把一个电量为6×10-6C的负电荷从 A点移到 B点，反抗电场力做功 3×10-5J，再将电荷从 B移到C点，电场力做功 1.2×10-5J，求A与B， B与 C， A与 C两点间电势差．
[分析] 电荷从A移到B时，反抗电场力做功，表示电场力做负功．相当于在重力场中把物体举高反抗重力做功．因此WAB=－ 3×10-5J．电荷从B移到C，WBC= 1.2×10-5J．
[解] 根据电荷移动时电场力的功和电势差的关系，得
∴ UAC=UAB UBC=5V （－2V）=3V
电场力做的功．（2）公式中W、q、U均可以有正负．
【例5】 如图所示，在点电荷电场中的一条电场线上依次有A、B、C三点，分别把 q和－ q的试验电荷依次放在三点上，关于它所具有的电势能的正确说法是 [ ]
A．放上 q时，它们的电势能εA＞εB＞εC
B．放上 q时，它们的电势能εA＜εB＜εC
C．放上－q时，它们的电势能εA＞εB＞εC
D．放上－q时，它们的电势能εA＜εB＜εC
[分析] 为了比较电荷在不同位置上电势能的大小，只需根据电荷在这些位置间移动时电场力的功来判定．
放上 q时，电荷从位置A→B→C，都是电场力作功，电势能应减小，可见εA＞εB＞εC．
放上－q时，电荷从位置A→B→C，外力需克服电场力做功，电荷的电势能应增大，即εA＜εB＜εC．
[答] A、D．
【例6】 两平行金属板A、B相距d＝3cm，接在电压U=12V的电地组上，电池组的中点接地（图1）
（1）计算两板间场强；
（2）在距A板d'=1cm处平行
板面插入一块薄金属片C，计算AC、CB两区域的场强及AC、CB间电势差；
（3）把C板接地后，AC、CB两区域的场强有何变化．
计算．(2）插入薄金属板 C，相当于把离 A板均为 d'的各等电势点构成一等势面，不影响场的分布．（3）C板接地，AC、CB间电势差发生了改变，场的分布也会改变．
[解] （1）AB 两板间场强大小为
方向由A板指向B板．
（2）插入C板，AC、CB间场强不变，即
EAC=ECB=400V／m．
所以AC、CB间电势差为
UAC=EACd' =400×1×10-2V=4V，
UCB=ECB（d—d'）=400×2×10-2V=8V．
（3）C板接地，相当于与电池中点相连，AC、CB电势均变为
所以AC、CB间场强度为
[说明] 当如图插入一块单薄金属片C后，并不影响A、B两板间电场的分布，两板间的电场线如图2所示。
【例7】 在电场强度为E=104N／C、方向水平向右的匀强电场中，用一根长l=1m的绝缘细杆（质量不计）固定一个质量为m=0.2kg的电量为q=5×10-6C带正电的小球，细杆可绕轴o在竖直平面内自由转动（图1）．现将杆从水平位置A轻轻释放，在小球运动到最低点B的过程中，电场力对小球作功多少？A、B两位置的电势差多少？小球的电势能如何变化？小球到达B点时的速度多大？取g=10m/s2
[分析] 小球所受的电场力大小，方向恒定，根据在电场力方向上的位移可算出电场力的功．然后由电势差与电势能的关系，就可算出UAB和△ε 小球下落过程中，除电场力作功外，还有重力作功，根据功能关系，即可算出小球到达B点的速度．
[解答] 小球所受的电场力
FE=qE=5×10-6×104N=5×10-2N．
方向水平向右．
小球从A落到B时，在电场力方向上通过的位移s=L=1m，所以电场力对小球作功
WE=FEs=5×10-2×1J=5×10-2J．
根据电势差的定义，得A、B两位置的电势差
因为电场力对电荷作功的多少，等于电荷电势能的减少，所以小球从位置A到B时电势能减少
△ε=WE=5×10-2J．
小球从位置A到B，重力对小球作功
WG=mgL=0.2×10×1J=2J．
根据做功与动能变化的关系，得小球在B时的动能为
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