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带电粒子在匀强电场中的运动典型例题
 
【例1】 如图为密立根油滴实验示意图．设两平行板间距d=0.5cm，板间电压U=150V，当电键S断开时，从上板小孔漂入的带电油滴能以速度v0匀速下降．合上S，油滴由下降转为上升．当速度大小达到v0时能匀速上升．假设油滴在运动中所受阻力与速度大小成正比（即f=kv），测得油滴的直径 D=1.10×10－6m，油的密度ρ=1.05×103kg／m3，试算出油滴的带电量并说明电性．
[分析] S合上前，油滴漂入小孔后受重力和阻力作用，以速度v0匀速下降时满足条件
f0=kv0=mg．
S合上后，油滴能由下降转为上升，电场力（Eq）必向上，速度大小达到v0时，所受阻力也为f0，匀速上升时必满足条件
Eq=mg f0=2mg．
 式中
因油滴所受电场力方向与板间场强方向相反，故油滴带负电．
[说明] 密立根在实验中测定了许多油滴的带电量，发现它们都是某个基本单位的整数倍，从而证实了自然界中存在着一个最小电量的电荷，称为基元电荷，e=1.6×10－19C．因此，必须明白，密立根并没有直接测出单个电子的电量，而是根据对油滴带电量的综合分析推理得出的．
【例2】 图1中A、B是一对平行的金属板．在两板间加上一周期为T的交变电压u．A板的电势UA=0，B板的电势UB随时间的变化规律为：在 0到 T／2的时间内，UB=U0（正的常数）；在T／2到T的时间内，UB=－U0；在T到3T／2的时间内，UB=U0；在3T／2到2T的时间内，UB=－U0…现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区内，设电子的初速度和重力影响均可忽略，
A．若电子是在t=0时刻进入的．它将一直向B板运动
B．若电子是在 t=T／8时刻进入的，它可能时而向 B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上
C．若电子是在t=3T／8时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上
D．若电子是在t=T／2时刻进入的，它可能时而向 B板、时而向A板运动
[分析] B板电势的变化规律如图2所示．A、B两板间的电场强度大小恒定，方向周期性变化．电子所受的电场力也是大小恒定，方向周期性变化，即
 着B板作匀减速运动，直至速度减为零．然后，电子又加速、减速，……如此一直向着B板运动．其v－t图如图所示，A正确．
 向着B板作匀 减速运动，直到速度减为零，然后在余下的
零，然后又重复着第一次进入时的运动．由于t轴上方图线所围面积大于下方面积，即电子向B板的位移大于向A板的位移，电子最后能抵达B板．其v－t图如图④所示，B正确．
 电子先向B板作匀加速运动，后作匀减速运动，速度减至零后，接着向A板作匀加速运动，其v－t 图如图⑤所示．至某时刻t'（对应于图中x轴上、下两块面积相等）它回到A板小孔，并冲出小孔，脱离电场，C不正确．
 指向A板的电场力作用被挡在A板小孔处．在T以后的时间内，它的达动情况与在t=0时进入电场时一样，只会一直向着B板，交替作着加速、减速运动，不会时而向B板，时而向A板运动，D也错．
[答] A、B正确．
【例3】 从阴极K发射的电子经电势差U0=5000V的阳极加速后，沿平行于板面的方向从中心射入两块长L1 =10cm、间距d=4cm的平行金属板A、B之间，在离金属板边缘L2=75cm处放置一个直径D=20cm、带有记录纸的圆筒．整个装置放在真空内，电子发射的初速度不计（图1）．
若在两金属板上加以U2=1000cos2πtV的交变电压，并使圆筒绕中心轴按图示方向以n=2转／s匀速转动，确定电子在记录纸上的轨迹外形并画出1s内所记录到的图形．
[分析] 电子被加速后进入偏转电场．由于板上的电压和板间场强都作周期性变化，使得电子的偏距也作周期性变化．
[解] 由电场力做功与动能变化的关系
得电子加速后的入射速度
加上交变电压时，A、B两板间场强
电子飞离金属板时的偏距
电子飞离金属板时的竖直速度
电子从飞离金属板到达圆筒时的偏距
所以在纸筒上的落点对入射方向的总偏距（见图2）为
可见，在记录纸上的点以振幅0．20m，周期
 转1周），故在1s内，纸上的图形如图3所示．
【例4】 半径为r 的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为m、带正电的珠子，空间存在水平向右的匀强电场，如图所示．珠子所受静电力是其重力的3／4倍．将珠子从环上最低位置A点静止释放，则珠子所能获得的最大动能Ek=_____．
[分析] 设珠子的带电量为q，电场强度为E．珠子在运动过程中
 重力mg、竖直向下，环的弹力N、垂直圆环方向．其中只有电场力和重力能对珠子做功．其合力大小为
它与竖直方向间夹角为θ，（图2）则
珠子从A点释放后沿着圆环向右
运动，当它对初位置A的偏角小于θ时，合力F对珠子做正功，珠子的动能增大；当它对初始位置A的偏角大于θ时，合力F对珠子做负功，珠子的动能减小．可见，只有当珠子的偏角恰等于θ时，即其速度方向垂直F时，珠子的动能达最大值．由动能定理得珠子动能的最大值为
[说明] 水平方向的电场，相当于空间有一个水平力场，水平力场
 度为
g'与g之间的夹角设为θ（图）．
珠子沿圆环运动，可以类比于单摆的振动，运动中动能最大的位置就是当它与圆心的连线（相当摆长）沿着g'方向的位置（平衡位置）．于是由能的转换立即可求出
【例5】 一根光滑的绝缘直杆与水平面成α=30°角倾斜放置，其BC部分在水平向右的匀强电场中，电场强度E=2×104N／C，在细杆  m=3×10－2kg．今使小球从静止起沿杆下滑，从B点进入电场，如图，已知AB=s1=1m，试问
（1）小球进入电场后能滑行多远？
（2）小球从A滑至最远处的时间是多少？
[分析] 小球在AB部分滑行时，受到两个力作用：重力和杆的弹力．进入电场后又受到恒定的电场力FE（FE=Eq）的作用，其方向沿水平向左，它一方面增加了球对杆的压力，同时也形成一个沿杆向上的分力，将使小球作匀减速运动．B点就是上、下两段加速度发生方向变化的转折点．把握了这个运动特点就可以推算出滑行距离和时间了．
[解] （1）小球在AB段的加速度
a1=gsinα=10sin30°=5m／s2．
小球运动至B点的速度
进入电场后的加速度设为a2，则由
mgsinα－Eqcosα=ma2，
式中负号表示其方向沿CB向上．
设小球沿杆滑行至C点时的速度Vc=0，BC相距为s2，则由
（2）由上面的计算知，小球在AB段和BC段加速度的大小相等而方向相反．且在电场外和电场内滑行的距离相等，因此，小球从A滑至B的时间等于它从B滑至C的时间，所以小球A从滑至C的时间：
[说明] 假如从A→C的全过程考虑：由
mgsinα（SAB SBC）－ Eqcosα·SBC= 0，
立即可得
SBC=s2=1m．
从A到C的运动时间，同样可从全过程考虑．
【例6】 在间距d=0.1m、电势差U=103V的两块竖立平行板中间，用一根长l=0．01m的细线悬挂一个质量m=0.2g、电量q=10－7C的带正电荷的小球，将小球拉到使丝线恰呈水平的位置A后轻轻释放如图，问：
（1）小球摆至最低点B时的速度和线中的拉力多大？
（2）若小球摆至B点时丝线忽然断裂，以后小球恰能经过B点正下方的C点，则BC相距多远？（g=10m／s2）
[分析] 小球带正电荷，在A点刚释放时，在水平向右的电场力和竖直向下的重力作用下，丝线立即被绷紧，此后小球在电场力、重力、丝线张力的作用下做变速圆周运动．在B点小球脱离后，水平方向仅受恒定的电场力作用，如同“横向上抛”，竖直方向做自由落体运动．
[解] （1）设小球摆至B点的速度为vB．由重力和电场力的合力做功得
在B点，根据圆运动的瞬时特性．由绳中张力和重力的合力作为向心力，即
又联立（1）～（3）三式，得
（2）在B点脱离后，小球在水平方向受到恒定的电场力作用，使小球产生水平向右的加速度，
因此，小球在水平方向做匀减速运动，如同“横向上抛”，落回同一竖直线上的C点所需时间
小球在竖直方向仅受重力作用，脱离时竖直初速度为零，因此，小球在竖直方向做自由落体运动．
[例7]一质量为m，带有电荷-q的小物体，可在水平轨道OX上运动，O端有一个与轨道垂直的固定墙。轨道处于匀强电场中，场强大小为E，方向沿Ox轴正方向，如图所示，小物体以初速v0从X0点沿OX轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力f作用，且f＜qE，设小物体与墙碰撞时不损失机械能，且电量保持不变，求它在运动停止前所通过的总路程S。
[分析]小物体带负电，受到的电场力F=qE，方向与E方向相反，即沿X轴负方向，指向O点，摩擦力的方向总是跟小物体运动的方向相反，由于小物体初速度v0的方向未知，但只有两种可能，不是沿x轴正方向，就是沿X轴负方向，不论f的方向如何，因为f＜qE，小物体沿x轴正方向运动总是做匀减速运动，沿X轴负方向总是做匀加速运动，在O点的右侧小物体所受的合外力不可能为零，只有在O点处所受合外力（除F和f外还有墙对小物体的弹力）才有可能等于零。因此小物体最后只能停止在O点。
小物体停止时，它所具有动能消耗在克服摩擦力做功上，同时由于电场力做的功跟路径无关，只决定于始末位置，因此本题可用动能定理求解。
[解]设小物体往复运动至停止运动时通过的总路程为s根据动能定理。
[说明]本题的疑难点有二，一是小物体最终会停在何处。这个疑点，只能从平衡条件，（F合=0）去考虑，二是小物体与墙碰撞几次无法确定，由于所求的是总路程，而克服摩擦力做的功跟总路程有关。由此出发可以求解总路程S。
本题用牛顿运动定律和运动学公式无法求解，由于以上两个难题无法解决。但运用动能定理，只考虑始末状态，而不必考虑过程的细节，只要找到小物体最后停止运动的位置，问题就迎刃而解。
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