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上课日期   月   日  星期                                      总第     课时 

课题

二次函数的图象与性质（3）二次函数 的图象

课型

新授

教学目标

会画出 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．

重点和难点

重点：通过画图得出二次函数性质

难点：识图能力的培养

教具准备

  投影片

师      生      活      动      过      程

备注

一、情境导入

　　我们已经了解到，函数 的图象，可以由函数 的图象上下平移所得，那么函数 的图象，是否也可以由函数 平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？

二、        实践与探索

　例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

，  ， ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．

解  列表．

x

…

-3

-2

-1

0

1

2

3

…

…

2

0

2

…

…

0

2

8

…

…

8

2

0

…

描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．

它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0）．

回顾与反思  对于抛物线 ，当x        时，函数值y随x的增大而减小；当x       时，函数值y随x的增大而增大；当x        时，函数取得最    值，最    值y=        ．

探索  抛物线 和抛物线 分别是由抛物线 向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线 ，应将抛物线 作怎样的平移？

练习：

1．画图填空：抛物线 的开口      ，对称轴是        ，顶点是       ，它可以看作是由抛物线 向    平移    个单位得到的．

2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

，  ， ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．

三、小结与作业

1．不画出图象，请你说明抛物线 与 之间的关系．

2．将抛物线 向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点（1，3），求 的值．

上课日期   月   日  星期                                      总第     课时

课题

二次函数的图象与性质（4）—函数 +k的图象

课型

新授

教学目标

1．掌握把抛物线 平移至 +k的规律；

2．会画出 +k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．

重点和难点

重    点：函数形如y=a(x－h)2＋k图象的性质。

难    点：学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质

教具准备

  投影片

师      生      活      动      过      程

备注

一、情境导入

1、函数y=ax2＋k的图象性质（开口方向，对称轴，顶点坐标，最值）

2、说出函数y=－ x2， y=－ x2－1的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值以及与x轴，y轴的交点坐标。

3、由前面的知识，我们知道，函数 的图象，向上平移2个单位，可以得到函数 的图象；函数 的图象，向右平移3个单位，可以得到函数 的图象，那么函数 的图象，如何平移，才能得到函数 的图象呢？

二、实践与探索

例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

， ， ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．

解  列表．

描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．

x

…

-3

-2

-1

0

1

2

3

…

…

2

0

2

…

…

8

2

0

2

…

…

6

0

-2

0

…

它们的开口方向都向    ，对称轴分别为          、          、        ，顶点坐标分别为         、         、         ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．

回顾与反思  二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数 +k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．

探索  你能说出函数 +k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

小结：y=a(x－h)2＋k （1）开口方向由a决定，（2）对称轴是直线x=h，当h<0时，在y轴左侧，当h>0时在y轴右侧，（3）顶点坐标为（h,k ），(4)最值:当a>0时，x=h时y最小值=k,当a<0时，x=h时y最大值=k。

形如y=a(x－h)2＋k（a≠0）的二次函数解析式称为顶点式，顶点式能直接反映出抛物线的顶点坐标。

三、例题讲解

例1、    已知抛物线开口大小与y= x2的开口大小一样，但方向相反，且当x=－2时，y有最值4，求抛物线的解析式。

例2、    抛物线y=（x－1）2+5是由一抛物线向左平移2个单位，再向下移2个单位得到的，求原抛物线的解析式。

例3、    已知二次函数的图象对称轴为x=2，且图象上有两点（1，4）（2，1）求此二次函数的解析式。

例4、    求抛物线y=－3（x－4）2+5的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值以及与x轴，y轴的交点坐标。

四、           小结

函数形如y=a(x－h)2＋k图象的性质。

五、           作业

a)        已知二次函数图象顶点坐标为（—1，—6）并且图象过点（0，5）求函数解析式。

b)        把抛物线 向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线 ，求b、c的值．

上课日期   月   日  星期                                      总第     课时

课题

二次函数的图象与性质(5) —函数y＝ax2＋bx＋c的图象1

课型

新授

教学目标

1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。

2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3．让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。

重点和难点

重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。

难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－、(－，)是教学的难点。

教具准备

  投影片

师      生      活      动      过      程

备注

一、情景创设

由前面的知识，我们知道，函数 的图象，向上平移2个单位，可以得到函数 的图象；函数 的图象，向右平移3个单位，可以得到函数 的图象，那么函数 的图象，如何平移，才能得到函数 的图象呢？

1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

  (函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是(2，1)。

2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?

  (函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)

3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?

  (当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1)

4．不画出图象，你能直接说出函数y＝－x2＋x－的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

    [因为y＝－x2＋x－＝－(x－1)2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－2)]

5．你能画出函数y＝－x2＋x－的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?

二、实践与探素

    例1．通过配方，确定抛物线 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．

解 

因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．

由对称性列表：

回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．

探索  对于二次函数 ，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴         ，顶点坐标               ．

它们的开口方向都向     ，对称轴分别为         、        、        ，顶点坐标分别为         、         、         ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．

回顾与反思  二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数 +k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．

探索  你能说出函数 +k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

例2．已知抛物线 的顶点在坐标轴上，求 的值．

分析  顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0．

四、课堂练习

1．当 时，求抛物线 的顶点所在的象限．

2. 已知抛物线 的顶点A在直线 上，求抛物线的顶点坐标．

五、小结

通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？

六、作业

1．P   习题             。

2．选用课时作业优化设计。第四课时作业优化设计

1．填空：

(1)抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标是_______；

(2)抛物线y＝2x2－2x－的开口_______，对称轴是_______；

(3)抛物线y＝－2x2－4x＋8的开口_______，顶点坐标是_______；

(4)抛物线y＝－x2＋2x＋4的对称轴是_______；

(5)二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝_______．

2．画出函数y＝2x2－3x的图象，说明这个函数具有哪些性质。

3. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

(1)y＝3x2＋2x；          (2)y＝－x2－2x

(3)y＝－2x2＋8x－8       (4)y＝x2－4x＋3

4．求二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质。

上课日期   月   日  星期                                      总第     课时

课题

二次函数的图象与性质(6) —函数y＝ax2＋bx＋c的图象2

课型

新授

教学目标

1．会通过配方求出二次函数 的最大或最小值；

2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．

重点和难点

重点：会通过配方求出二次函数 的最大或最小值；

难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．

教具准备

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师      生      活      动      过      程

备注

一、情景创设

在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如

问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数 ．那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗?

二、实践与探索

例1．求下列函数的最大值或最小值．

（1） ；        （2） ．

分析  由于函数 和 的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．

解  （1）二次函数 中的二次项系数2＞0，

因此抛物线 有最低点，即函数有最小值．

因为 = ，

所以当 时，函数 有最小值是 ．

（2）二次函数 中的二次项系数-1＜0，

因此抛物线 有最高点，即函数有最大值．

因为 = ，

所以当 时，函数 有最大值是

回顾与反思  最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，

a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．

探索  试一试，当2．5≤x≤3．5时，求二次函数 的最大值或最小值．

例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：

x（元）

130

150

165

y（件）

70

50

35

若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？

分析：日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量。

三、作业

1、图26．2．8，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．

（1）用含y的代数式表示AE；

（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；

（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．

上课日期   月   日  星期                                      总第     课时

课题

二次函数的图象与性质（7）函数y＝ax2＋bx＋c的图象3

课型

新授

教学目标

1．能根据实际问题列出函数关系式、

2．进一步使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围。

3．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。

重点和难点

根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，既是教学的重点又是难点。

教具准备

  投影片

师      生      活      动      过      程

备注

一、情景创设

    1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

    (1)y＝6x2＋12x；    (2)y＝－4x2＋8x－10

[y＝6(x＋1)2－6，抛物线的开口向上，对称轴为x＝－1，顶点坐标是

(－1，－6)；y＝－4(x－1)2－6，抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标是(1，－6))

    2. 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?

(函数y＝6x2＋12x有最小值，最小值y＝－6，函数y＝－4x2＋8x－10有最大值，最大值y＝－6)

二、实践与探索

    有了前面所学的知识，现在我们就可以应用二次函数的知识去解决书上提出的两个实际问题；

    例1、要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?

解：设矩形的宽AB为xm，则矩形的长BC为(20－2x)m，由于x＞0，且20－2x＞O，所以O＜x＜1O。

围成的花圃面积y与x的函数关系式是 y＝x(20－2x)即y＝－2x2＋20x

    配方得y＝－2(x－5)2＋50

    所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50。

    因为x＝5时，满足O＜x＜1O，这时20－2x＝10。

    所以应围成宽5m，长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大。

    例2．某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?

    教学要点

    (1)学生阅读第    页问题2分析，

    (2)请同学们完成本题的解答；

    (3)教师巡视、指导；

    (4)教师给出解答过程：

    解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元。

    商品每天的利润y与x的函数关系式是：

    y＝(10－x－8)(100＋1OOx)

    即y＝－1OOx2＋1OOx＋200

    配方得y＝－100(x－)2＋225

    因为x＝时，满足0≤x≤2。

    所以当x＝时，函数取得最大值，最大值y＝225。

    所以将这种商品的售价降低÷元时，能使销售利润最大。

例3。用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透光面积是多少?

    先思考解决以下问题：

    (1)若设做成的窗框的宽为xm，则长为多少m?

(m)

(2)根据实际情况，x有没有限制?若有跟制，请指出它的取值范围，并说明理由。

  让学生讨论、交流，达成共识：根据实际情况，应有x＞0，且＞0，即解不等式组，解这个不等式组，得到不等式组的解集为O＜x＜2，所以x的取值范围应该是0＜x＜2。

  (3)你能说出面积y与x的函数关系式吗?

  (y＝x·，即y＝－x2＋3x)

  小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；

  (2)研究自变量的取值范围；

  (3)研究所得的函数；

  (4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值：

  (5)解决提出的实际问题。

三、课堂练习

P     练习

四、小结

1．通过本节课的学习，你学到了什么知识?存在哪些困惑?

2．谈谈你的收获和体会。

五、作业

选用课时作业优化设计。第五课时作业优设计

1：求下列函数的最大值或最小值。

   (1)y＝－x2－4x＋2    (2)y＝x2－5x＋

  (3)y＝5x2＋10    (4)y＝－2x2＋8x

2：已知一个矩形的周长是24cm。

(1)写出矩形面积S与一边长a的函数关系式。(2)当a长多少时，S最大?

3：填空：

(1)二次函数y＝x2＋2x－5取最小值时，自变量x的值是______；

(2)已知二次函数y＝x2－6x＋m的最小值为1，那么m的值是______。

4：如图(1)所示，要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，没靠墙的篱笆长度为xm。

(1)要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为多少米?

(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米?

(3)比较(1)、(2)的结果，你能得到什么结论?

5：如图(2)，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B＝30°，若边长AB＝x(cm)。

(1)写出□ABCD的面积y(cm2)与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围。

(2)当x取什么值时，y的值最大?并求最大值。

3．求二次函数的函数关系式

上课日期   月   日  星期                                      总第     课时

课题

二次函数的图象与性质（8）求二次函数的函数关系式(1)

课型

新授

教学目标

1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式。

2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。

3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。

重点和难点

重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式是教学的重点。

难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。

教具准备

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师      生      活      动      过      程

备注

一、创设问题情境

    如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?

分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。

    如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：

    y＝ax2  (a＜0)    (1) 因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝ ＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)。

因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－0.8＝a×22

所以a＝－0.2   因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。

请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。

二、引申拓展

    问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系?

    让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。

    问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?

    分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0),OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，O点坐标为(2；0．8)。即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关系式。

    二次函数的一般形式是y＝ax2＋bx＋c，求这个二次函数的关系式，跟以前学过求一次函数的关系式一样，关键是确定o、6、c，已知三点在抛物线上，所以它的坐标必须适合所求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。

    解：设所求的二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c。

    因为OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，拱高OC＝0.8m，

所以O点坐标为(2，0.8)，A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0)。

由已知，函数的图象过(0，0)，可以得到c＝0，又由于其图象过(2，0.8)、(4，0)，可以得到：

解这个方程组，得

    所以，所求的二次函数的关系式为y＝－x2＋x。

    问题3：请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同?

    问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么?

    (第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易)

    请同学们阅渎书    例    。

    三、课堂练习

    书P      练习            。

    四、综合运用

例1．如图所示，求二次函数的关系式。

    分析：观察图象可知，A点坐标是(8，0)，C点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线x＝3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式。

    解：观察图象可知，A、C两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x＝3。因为对称轴是直线x＝3，所以B点坐标为(－2，0)。

设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到c＝4，又由于其图象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到

解这个方程组，得

所以，所求二次函数的关系式是y＝－x2＋x＋4

练习：

    一条抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。

五、小结

    二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式y＝ax2＋bx＋c就是其中一种常见的形式。二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数。

六、作业

 1．书    习题              。

 2．选用课时作业优化设计，每一课时作业优化设计

    1. 二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式。

    2．若二次函数的图象经过A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)三点，求这个二次函数的解析式。

    3．如果抛物线y＝ax2＋Bx＋c经过点(－1，12)，(0，5)和(2，－3)，；求a＋b＋c的值。

4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，求这个二次函数的关系式；

    5．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的两交点的横坐标是－，，与x轴交点的纵坐标是－5，求这个二次函数的关系式。

上课日期   月   日  星期                                      总第     课时

课题

二次函数的图象与性质（9）求二次函数的函数关系式(2)

课型

新授

教学目标

1．复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。

2．使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。

重点和难点

根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是教学的重点，也是难点。

教具准备

  投影片

师      生      活      动      过      程

备注

一、情景创设

    1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式?

    2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。

    (1)求二次函数的关系式，(2)画出二次函数的图象；

    (3)说出它的顶点坐标和对称轴。

    答案：(1)y＝x2＋x＋1，(2)图略，(3)对称轴x＝－，顶点坐标为(－，)。

    3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴，顶点坐标各是什么?

    [对称轴是直线x＝－，顶点坐标是(－，)]

二、实践与探索

    例1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。

    分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为：

    y＝a(x－8)2＋9

    由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。

    请同学们完成本例的解答。

    练习：书     练习      

    例2．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。

    解法1：设所求二次函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c，因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x＝2，可以得 解这个方程组，得：

  所以所求的二次函数的关系式为y＝－2x2＋8x－5。

  解法二；设所求二次函数的关系式为y＝a(x－2)2＋k，由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到

    解这个方程组，得：

    所以，所求二次函数的关系式为y＝－2(x－2)2＋3，即y＝－2x2＋8x－5。

    例3、已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。

    解法1：设所求的函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得

    y＝a(x－2)2－4

    因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2。

    所以，所求二次函数的关系式为y＝2(x－2)2－4，即y＝2x2－8x＋4。

解法2：设所求二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c?依题意，得

解这个方程组，得：

    所以，所求二次函数关系式为y＝2x2－8x＋4。

三、课堂练习

    1. 已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式。

    解法1：设所求二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，因为图象过点(0，3)，所以c＝3，又由于二次函数当x＝－3时，有最大值－1，可以得到： 解这个方程组，得：

    所以，所求二次函数的关系式为y＝x2＋x＋3。

    解法2：所求二次函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得

    y＝a(x＋3)2－1

    因为二次函数图象过点(0，3)，所以有

    3＝a(0＋3)2－1解得a＝

    所以，所求二次函数的关系为y＝44/9(x＋3)2－1，即y＝x2＋x＋3．

    小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。

    2．已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。

    简解：依题意，得 解得：p＝－10,q＝23

    所以，所求二次函数的关系式是y＝x2－10x＋23。

四、小结

    1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型?

    [两种类型：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c

    (2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，其顶点是(－h，k)

    2．如何确定二次函数的关系式?

    让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件。在具体解题时，应根据具体的已知条件，灵活选用合适的形式，运用待定系数法求解。

五、作业

    1．P     习题

    2．选用课时作业优化设计。第二课时作业优化设计

    1. 已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y轴交点为(0，－5)，求二次函数的关系式。

    2．函数y＝x2＋px＋q的最小值是4，且当x＝2时，y＝5，求p和q。

    3．若抛物线y＝－x2＋bx＋c的最高点为(－1，－3)，求b和c。

    4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是______。如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是______。

    5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的关系式。

    6．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽4米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?

上课日期   月   日  星期                                      总第     课时

课题

实践与探索（1）

课型

新授

教学目标

会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义

重点和难点

重点：会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式

难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题

教具准备

  投影片

师      生      活      动      过      程

备注

一、           情景创设

生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？

二、           实践与探索

例1．如图26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是 ，问此运动员把铅球推出多远？

解  如图，铅球落在x轴上，则y=0，

因此， ．

解方程，得 （不合题意，舍去）．

所以，此运动员把铅球推出了10米．

探索  此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面 m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中最高点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．

例2．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．

（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？

（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）

分析  这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图26．3．3，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．  

三、           小结

 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：

（1）一般式： ，给出三点坐标可利用此式来求．

（2）顶点式： ，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．

四、           作业

在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？

上课日期   月   日  星期                                      总第     课时

课题

实践与探索（2）

课型

新授

教学目标

让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程．学会用数学的意识

重点和难点

重点：会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题

难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题

教具准备

  投影片

师      生      活      动      过      程

备注

一、       情景创设

二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决．

二、       实践与探索

例1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。

（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；

（2）将（1）中所求出的二次函数配方成 的形式，写出顶点坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？

分析  若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式。

解  （1）根据题意，得

                       (30≤x≤70)。

（2） 。

顶点坐标为（65，1950）。二次函数草图略。

经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。

例2、某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：

X（十万元）

0

1

2

…

y

1

1．5

1．8

…

（1）求y与x的函数关系式；

（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；

（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

解  （1）设二次函数关系式为 。

由表中数据，得  。解得 。所以所求二次函数关系式为 （2）根据题意，得 。

（3） 。

由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2.5时，S随x的增大而增大。

三、       小结

 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：

（1）一般式： ，给出三点坐标可利用此式来求．

（2）顶点式： ，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．

四、       作业

某旅社有客房120间，当每间房的日租金为50元时，每天都客满，旅社装修后，要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增加5元，则客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少元时，客房的总收入最大？比装修前客房日租金总收入增加多少元？

上课日期   月   日  星期                                      总第     课时

课题

实践与探索（3）

课型

新授

教学目标

（1）会求出二次函数 与坐标轴的交点坐标；

（2）了解二次函数 与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．

重点和难点

重点：（1）会求出二次函数 与坐标轴的交点坐标；

（2）了解二次函数 与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．

难点：了解二次函数 与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．

教具准备

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师      生      活      动      过      程

备注

一、情景创设

给出三个二次函数：（1） ；（2） ；（3） ．它们的图象分别为

观察图象与x轴的交点个数，分别是    个、    个、    个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？

另外，能否利用二次函数 的图象寻找方程 ，不等式 或 的解？

二、           实践与探索

例1．画出函数 的图象，根据图象回答下列问题．

（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？

（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程 有什么关系？

（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？

解  图象如图26．3．4，

（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）．

（2）当x= -1或x=3时，y=0，x的取值与方程 的解相同．

（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当 -1＜x＜3时，y＜0．

回顾与反思

（1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．

（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．

例2．

（1）已知抛物线 ，当k=          时，抛物线与x轴相交于两点．

（2）已知二次函数 的图象的最低点在x轴上，则a=        ．

（3）已知抛物线 与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且 ，则k的值是         ．

分析 （1）抛物线 与x轴相交于两点，相当于方程 有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．

（2）二次函数 的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程 的两个实数根相等，即⊿=0．

（3）已知抛物线 与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），即α、β是方程 的两个根，又由于 ，以及 ，利用根与系数的关系即可得到结果．

例3．已知二次函数 ，

（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；

（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？

（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？

分析  （1）要说明不论m取任何实数，二次函数 的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程 有两个不相等的实数根，即⊿＞0．

（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程 有两个负实数根，因而必须符合条件①⊿＞0，② ，③ ．综合以上条件，可解得所求m的值的范围．

（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程 有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，②

三、           作业

1函数 （m是常数）的图象与x轴的交点有       （ ）

A．0个       B．1个       C．2个       D．1个或2个

2已知二次函数 ．

（1）说明抛物线 与x轴有两个不同交点；

（2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）；

（3）a取何值时，两点间的距离最小？

上课日期   月   日  星期                                      总第     课时

课题

实践与探索（4）

课型

新授

教学目标

掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．

重点和难点

重点：一元二次方程及二元二次方程组的图象解法

难点：一元二次方程及二元二次方程组的图象解法

教具准备

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师      生      活      动      过      程

备注

一、情景创设

上节课的作业第5题：画图求方程 的解，你是如何解决的呢？我们来看一看两位同学不同的方法．

甲：将方程 化为 ，画出 的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解．

乙：分别画出函数 和 的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解．

你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．

二、       实践与探索

例1．利用函数的图象，求下列方程的解：

（1）  ；（2） ．

分析  上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线 的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方程的解．

解  （1）在同一直角坐标系中画出函数 和 的图象，

如图26．3．5，

得到它们的交点（-3，9）、（1，1），则方程 的解为 –3，1．

（2）解题略回顾与反思  一般地，求一元二次方程 的近似解时，可先将方程 化为 ，然后分别画出函数 和 的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解．

例2．利用函数的图象，求下列方程组的解：

(1) ；               （2） ．

分析  （1）可以通过直接画出函数 和 的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．当1≤x≤2.5时，S随x的增大而增大。

三、       作业

1．利用函数的图象，求下列方程的解：

（1）                  （2）

2．利用函数的图象，求下列方程组的解：

（1） ；                （2）

上课日期   月   日  星期                                      总第     课时

课题

本章小结与复习

课型

新授

教学目标

（1）能结合实例说出二次函数的意义。

（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。

（3）掌握二次函数的平移规律。

（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。

（5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。

（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。

（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题

重点和难点

重点：能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。

会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。

难点：会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。

教具准备

  投影片

师      生      活      动      过      程

备注

一、复习建构与思想交流

在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。

二、复习题组

1．已知函数 ，当m=        时，它是二次函数；当m=       时，抛物线的开口向上；当m=         时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．

2．抛物线 经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为                 ．

3．抛物线 ，开口向下，且经过原点，则k=      ．

4．点A（-2，a）是抛物线 上的一点，则a=         ； A点关于原点的对称点B是          ；A点关于y轴的对称点C是          ；其中点B、点C在抛物线 上的是      ．

5．若二次函数 的图象经过点（2，0）和点（0，1），则函数关系式为              ．

三、例题探究

例1某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数：m=162-3x．

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；

（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

例2阅读下面的文字后，解答问题．

（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式? 若能，写出求解过程，若不能请说明理由；

（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填上一个适当的条件，把原题补充完

四、       作业：

1、已知二次函数 的图象经过点（3，2）。

（1）求这个二次函数的关系式；

（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；

（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围。

2、已知抛物线 与x轴的一个交点为A（-1，0）。

（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的函数关系式。