山东邹城看庄中学 刘 朋
　教学目标：

一、学生能说出“我们中国人是有骨气的”这一论断的根据和意义。

二、在回忆议论文一般知识的基础上，通过对观点相反的材料的分析，培养思辨的兴趣和能力。

三、积累一定的词语、句子。

教学方法：

采用导读与探究相结合的方法。在学生自读、质疑的基础上，组织全班讨论，加深学生对“我们中国人是有骨气的”这一论断的理解。作业采用探究法，要求学生在搜集、筛选有关资料的基础上，再就“中国人的骨气”问题发表议论。 教学设计与实施过程：

“导读法”确认学生的主体地位，强调教师的“导”必须着眼于学生自读能力和独立思考能力的培养。本文的教学拟从引入不同观点的文章入手，激发学生深入钻研课文的兴趣。安排两课时，第一课时的前15分钟为学生自读，其余时间组织学生质疑、讨论，教师相机点拨指导。探究性作业另外安排时间（或结合作文课）进行。

第一课时

教学重点：引入与课文观点相反的文章；学生自读课文；正字音、释词义；讨论、把握本文的论点、论据。

一、导入新课：

有人在网上发表文章，对吴晗的《谈骨气》提出不同的看法，不妨先来看看那篇文章说了些什么：

　　近日查检以前的书时，不经意地翻到了初中语文课本中选入的吴晗的《谈骨气》。……又读了一遍这篇文章，我没有再次感受到什么“爱国主义”的豪情壮志，……吴老先生一开始就像一个天真的小学生似的写道：“中国人是有骨气的。”请问：“难道那么多中国人都是有骨气的吗！”答案不说也知道。为了支持论点，吴老先生搬出了那个“不食嗟来之食”的乞丐，宁死不屈的文天祥和横眉怒视国民党反动派的闻一多，我真为这三个不屈的灵魂感到不值。人家不屈，说明人家的人格高尚，凭什么拿人家高尚的精神往那些麻木的人，那些坐享其成的伪君子的脸上贴金？还说这是“中华民族的传统”……说吃饺子是一个民族的传统有人信，可硬把“有骨气”当成所谓“传统”塞到本国本民族的腰包里，稍明智一些的人都会嗤之以鼻的。这与中国封建统治者宣扬的“四海之内，莫非王土，率土之滨，莫非王臣”的妄自尊大有何区别呢？

这位作者对《谈骨气》的批评究竟有没有道理？老师没有“标准答案”。现在请同学们暂时把这些批评的意见放在心里，慢些下结论，先按常规读懂、读好课文，然后再对两篇文章的是非做出自己的判断。相信这个问题会引起同学们思考的兴趣的。

　二、提示自读要求：

（一）读课文两遍，第一遍默读，要求：圈出生字、新词，查字（词）典读准字音，了解词义；按自然段次序标明序号。第二遍朗读，要求读得比较流利，有一定的感情。

（二）按“什么？”（作者提出了什么观点？）“怎样？”（作者怎样证明他的观点？）“为什么？”（作者为什么要这样进行论证？）三个问题的顺序大体疏理课文内容。

（学生按要求自读课文）

三、检查自读：

（一）了解学生掌握字、词的情况。（略）

（二）学生朗读课文。教师提示：这篇文章是议论文，主要是讲道理的，但作者写得很有感情，有些句子读起来很有劲。读的时候要尽可能把文章的感情表达出来，并把那些你认为读起来特别带劲的句子找出来，体味体味。

学生朗读课文后，找出了“我们中国人是有骨气的”、“富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈，此之谓大丈夫”、“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”、“那位穷人是有骨气的：看你那副脸孔、那个神气，宁可饿死，也不吃你的饭”、“闻一多拍案而起，横眉怒对国民党的手枪，宁可倒下去，不愿屈服”等句子。然后结合给“宁”（nìng）正音，要求学生用“宁”字组成表现骨气的成语，学生说出了“宁死不屈”、“宁为玉碎，不为瓦全”、“宁可站着死，也不跪着生”等成语。

四、疏理文章内容：

（一）揣摩思路。教师提示：为了疏理和讨论的方便，我们先来揣摩一下作者的思路，并根据思路把文章划分为几个部分，然后再按“什么”“怎样”“为什么”的顺序进行讨论，力求完整、准确地把握作者的论点、论据和论证过程。

学生在讨论作者思路时，意见有分歧，绝大多数学生认为1---4段为第一部分，主要提出论点并说明骨气的含义以及今天我们对待骨气的原则。5---9段为第二部分，作者分别用文天祥、饿人、闻一多三个事例论证“我们中国人是有骨气的”这一中心论点。第10段为第四部分，总结全文，并指出无产阶级应该有怎样的骨气。个别同学则认为第1段应为文章的第一部分，独句成段，揭示中心论点，显得肯定而有力。段为第二部分，先用孟子的话阐明什么是骨气，然后用文天祥等三个具体的事例分别印证孟子三句话，这样划分才能显出第二部分思路严密、结构紧凑的特点。对第三部分意见没有分歧。教师指出：文章怎样分段，本来没有绝对的标准。一般教学参考书上都采用第一种分法，但第二种分法确实也言之成理，反映了同学们对作者思路的正确把握。老师欣赏这种独立思考的态度。

（二）按“什么”、“怎样”、“为什么”整体解读课文。学生发表意见：

生：“谈骨气”这个标题揭示了文章的中心论点。

生：我不同意，“谈骨气”只是表明论述的范围，第一段“我们中国人是有骨气的”才是揭示中心论点的。（大家表示同意）

师：体会一下，这个句子在表达上有什么特点，给人怎样的感觉。

生：这是一个语气肯定的判断句，用“是……的”这样的句式，给人斩钉截铁不容怀疑的感觉。

师：你的语感很准确。下面大家讨论一下，作者是怎样论证这个观点的。

生：作者在提出论点后，第2段就用孟子的三句话“富贵不能淫，威武不能屈，贫贱不能移”具体说明什么是骨气。第3、4段从历史、传统的角度进一步肯定了中国人的骨气以及我们今天对待骨气的原则：对历史上有骨气的人，主要看他是不是“坚定不移地为当时的进步事业服务”。

生：从第5段开始，作者用了三个具体的例子证明了“我国经过了奴隶社会、封建社会的漫长时期，每个时代都有很多这样有骨气的人”，这就支持了中心论点“我们中国人是有骨气的”。

生：课文最后一段在肯定孟子三句话的积极意义的基础上，进一步指出无产阶级骨气的内容，既总结全文，又发出号召。

生：我有一个问题：作者所列举的三个人物，如果按年代先后排列，应该是：饿人、文天祥、闻一多。但作者却没有这样排列，为什么？

师：问题提得很好。谁能回答？

生：这个问题其实很简单，三个人物完全是与孟子的三句话一一照应的：文天祥多次拒绝元朝高官厚禄的诱惑，这是“富贵不能淫”；饿人直至饿死也不吃嗟来之食，这是“贫贱不能移”；闻一多横眉怒对国民党的手枪，宁死不屈，这是“威武不能屈”。如果三个人物按年代前后排列，就跟三句话的次序不一致，思路就有些乱了。

生：我认为，这篇文章的思路，从优点说，比较严谨；但同时也显得有些呆板，读起来不大有味道。（不少同学表示赞同）

师：同学们很会读文章，我也同意这位同学对本文优缺点的看法。这是一篇写得“规规矩矩”的议论文，比较适合于初次接触议论文的人学习，放在初中三年级学习，确实嫌“浅”了，显得不耐咀嚼。但是我们如果把它作为一个思考的对象，仍然是可以学出趣味来的。下一课我们就来做这件事。

五、布置作业：

作者列举的三个事实论据，涉及到三个人物，请同学们到图书馆或网络上查找以下资料：1、文天祥《过零丁洋》；2、“嗟来之食”的故事出处；3、毛泽东《别了，司徒雷登》中有关闻一多的文字。4、你感到有兴趣的其他资料。（找到资料后，有条件的同学可用电脑制作幻灯片）

第一课时

课    题：23.1 一元二次方程

教学目标：

1．知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式 （ ≠0）

2．在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。

3．会用试验的方法估计一元二次方程的解。

重点难点：

1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。

2．理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。

教学过程：

一 做一做：

1．问题一：绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？

分　析

我们可以运用方程解决实际问题.现设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程

x(x＋10)＝900

整理可得    x2＋10x－900=0.　　（1）

2．问题二：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.

分　析

设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5(1＋x)(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程

5(1＋x)2=7.2,

整理可得     5x2＋10x－2.2=0.　　　（2）

3．思考、讨论

这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.

那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？

（ 学生分组讨论，然后各组交流 ）

共同特点：（1） 都是整式方程 

（2） 只含有一个未知数 

（3） 未知数的最高次数是2

二、一元二次方程的概念

上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：

ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)。

其中 叫做二次项， 叫做二次项系数； 叫做一次项， 叫做一次项系数， 叫做常数项。.

三、例题讲解与练习巩固

1．例1.下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。

（1）   （2）   （3）          （4）

2．例2.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

1）     2）（x-2）(x+3)=8    3）

说明：一元二次方程的一般形式 （ ≠0）具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。

3．例3 方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？

本题先由同学讨论，再由教师归纳。

解：当 ≠2时是一元二次方程；当 ＝2， ≠0时是一元一次方程；

4．例4. 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。

分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。

5．课堂练习

练习一: 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项

1）

2)  2x(x-1)=3(x-5)-4    

3）

练习二:关于 的方程 ，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？

练习三:已知关于 的一元二次方程(k－1)x2+3kx+4－4︱k ︳= 0的解是x=0，求k.

四、讨论探索

用试验的方法探索问题1中所列得方程x(x＋10)=900的解. 方程有几个解？ 都是问题1的解吗？

分析：本题很好地体现了学生实践、探索、交流的理念，教学中必须予以重视。

本课小结

1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式为 （ ≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。

3、在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ） 的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。

布置作业：

课本第27页习题1、2、3

第二课时

课    题：23.2.一元二次方程的解法（1）

教学目标：

1、  会用直接开平方法解形如 （a≠0,a ≥0）的方程；

2、  会用因式分解法解简单的一元二次方程。

3、  使学生了解转化的思想在解方程中的应用。

4、  使学生经历探索解一元二次方程的过程。

重点难点：

重点：掌握直接开平方法、因式分解法解一元二次方程，渗透转化思想。

难点：是怎样的一元二次方程适用于直接开平方法，怎样的一元二次方程适用于因式分解法，并理解一元二次方程有两个实数根，也可能无实数根。

教学过程：

一、        复习练习

1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及其系数。

（1）     （2）    （3）

2、要求学生复述平方根的意义。

（1）文字语言表示：如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫 的平方根。

（2）用式子表示：若 ，则 叫做 的平方根。

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；

零的平方根是零；

负数没有平方根。

（3）4 的平方根是       ，81的平方根是       ， 100的算术平方根是       。

二、  试一试

解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.

（1）x2＝4；         （2）x2－1＝0;

三、 概　括

对于第（1）个方程，有这样的解法：

方程　x2＝4，

意味着x是4的平方根，所以 ,

即　x= 2.

这种方法叫做直接开平方法.

对于第（2）个方程，有这样的解法：

将方程左边用平方差公式分解因式，得

（x－1）（x＋1）＝0，

必有　  x－1＝0，或x＋1＝0,

分别解这两个一元一次方程，得x1＝1，x2＝－1.

这种方法叫做因式分解法.

思　考

（1）   方程x2＝4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？

（2）   方程x2－1＝0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？

四、 做一做　试用两种方法解方程

x2－900＝0.

五、例题讲解与练习巩固

1、例1、解下列方程：

（1）x2－2＝0;                 （2）16x2－25＝0.

解（1）移项，得             （2）移项，得

x2＝2.                   16x2＝25.

直接开平方，得                    x2＝

.                    直接开平方，得x＝ .

所以原方程的解是               所以原方程的解是　

， .               ，　 .

教学要点：1、让学生自学P29页解题过程，强调解题格式；2、指出方程16x2－25＝0.也可以这样解“原方程变为 ,移项 =25，得4x=±5,所以原方程的解是 ，　 .；3、教师引导学生用因式分解法求方程的解；4、让学生思考、交流、讨论什么样的一元二次方程可以用直接开平方法或因式分解法。

2．练习：解下列方程：

（1）x2＝169；　　　　（2）45－x2＝0；      （3）12y2－25＝0；   （4）4x2+16＝0

3、例2、解下列方程：

（1）3x2＋2x=0；                （2）x2＝3x.

解： x(3x＋2)=0.                 解： x2－3x=0.

∴x＝0，或3x＋2＝0.           ∴ x(x－3)＝0.   

∴原方程的解是　              ∴x＝0，或x－3＝0,　                    

x1＝0，x2＝ .               ∴原方程的解是

x1＝0，x2＝3.

说明：用因式分解法解一元二次方程的根据是：

若A·B＝0，则A＝0或B＝0。

4、练习

  （1）小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？

  （2）解下列方程：   

①x2－2x＝0   ②（t－2）（t+1）=0；  ③x（x＋1）－5x＝0.

5、讨论探索：如何解方程    y2  + 64 = 16y

本课小结：

1、用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程： （ ≥0）； （a≠0,a ≥0）。解法的根据是平方根的定义。要特别注意，由于负数没有平方根，所以括号中规定了范围，否则方程无实数解。

2、把一元二次方程化为一般形式后，如方程左边可因式分解，则此一元二次方程可用因式分解法解。

布置作业：

课本37页习题第1题（1-4）。

第三课时

课    题：23.2.一元二次方程的解法（2）

教学目标：

5、              会用直接开平方法解形如 （a≠0,a ≥0）的方程；

6、  灵活应用因式分解法解一元二次方程。

7、              使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。

重点难点：

合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。

教学过程：

一 、 复习练习：

1、   什么是直接开平方法？请举例说明。

2、   什么是因式分解法，请举例说明。

3、    你能解以下方程吗？

①      8－x2=－1       ②3y2－18=0  

②      ③x(x-1)+4x=0   ④－3x2－27=0

4、         你是怎样解方程 的？

让学生说出作业中的解法，教师板书。

解：⑴、直接开平方，得x+1=±16

所以原方程的解是x1＝15，x2＝－17

⑵、原方程可变形为

方程左边分解因式，得

（x+1+16）(x+1－16)=0

即可（x+17）(x－15)=0

所以x＋17=0，x－15=0

原方程的蟹 x1＝15，x2＝－17

二、例题讲解与练习巩固

1、例1  解下列方程

（1）（x＋1）2－4＝0；         （2）12（2－x）2－9＝0.

解（1）原方程可以变形为  （x＋1）2＝4，

直接开平方，得     x＋1＝±2.

所以原方程的解是　 x1＝1，x2＝－3.

（2）由学生仿照第（1）题解法自己完成。

2、说明：（1）这时，只要把 看作一个整体，就可以转化为 （ ≥0）型的方法去解决，这里体现了整体思想。

（3）          在对方程 两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。这种变形实质上是将原方程“降次”。“降次”也是一种重要的数学方法。

3、练习一： 解下列方程：

（1）（x＋2）2－16＝0；      （2）(x－1)2－18＝0；

（3）(1－3x)2＝1；          （4）(2x＋3)2－25＝0.

三、读一读

小张和小林一起解方程    x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.

小张将方程左边分解因式，得 (3x＋2)(x－6)＝0,

所以　3x＋2＝0,或x－6＝0.

方程的两个解为　　　　　　　x1＝ ，x2＝6.

小林的解法是这样的：

移项，得　x(3x＋2)＝6(3x＋2),

方程两边都除以（3x+2），得    x＝6.

小林说:“我的方法多简便！”可另一个解x1＝ 哪里去了？

小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？

学生先讨论交流，教师概括。

四、讨论、探索：解下列方程

（1）(x+2)2=3(x+2)  （2）2y(y-3)=9-3y（3）( x-2)2 - x+2 =0

（4）(2x+1)2=(x-1)2          （5） 。

练习：解下列方程

（1）             2 (x+3)2=6(x+3)  （2）(2x+3)2=(4-2x)2   （3）x(3x+1)=9x+3

本课小结：

1、对于形如 （a≠0,a ≥0）的方程，只要把 看作一个整体，就可转化为 （n≥0）的形式用直接开平方法解。

2、当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解。

布置作业：

课本第37页习题1（5、6）、P38页习题2（1、2）

第四课时

课    题：23.2一元二次方程的解法（3）

教学目标：

1． 掌握用配方法解数字系数的一元二次方程．

2． 掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。

3．在配方法的应用过程中体会 “转化”思想，掌握转化的技能。

重点难点：

1、 使学生掌握配方法，解一元二次方程。

2、 把一元二次方程转化为

教学过程：

一、复习提问

1、 解下列方程，并说明解法的依据：

（1）      （2）     （3）

通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型：

根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b < 0，方程就没有实数解。 如

2、 请说出完全平方公式。

   (x+a)2=x2+2ax+a2

(x－a)2=x2－2ax+a2

二、引入新课

　　我们知道，形如x2－A=0的方程，可变形为x2=A (A≥0),再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如x2+bx+c=0的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．

三、探索：

1、例1、解下列方程：

(1) x2＋2x＝5；             （2）x2－4x＋3＝0.

思　考

能否经过适当变形，将它们转化为(     )2= a的形式，然后应用直接开方法求解？

（和学生一起分析解决）

四、归　纳

上面，我们把方程x2－4x＋3＝0变形为(x－2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。

那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？

五、试一试：对下列各式进行配方：

 (1)  x2+8x+    =(x+    )2；      x2－10x+    =(x－   )2

(2) x2－5x+    =(x－   )2        x2－9x+     =(x－    )2

（3）

（4）x2+6 x+    =(x+    )2

(5) x2+bx+    =(x+    )2

通过练习，使学生认识到；配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。

六、例题讲解与练习巩固

1、例2、用配方法解下列方程：

（1） －6x－7＝0；　　　    （2） ＋3x＋1＝0.

（和学生一起分析解决）

2、练习：

①.填空：

（1）x2+6x+    =(x+    )2     （2） －8x＋(   )＝(x－   )2

（3） ＋x＋(   )＝(x＋   )2；  （4）4 －6x＋(   )＝4(x－   )2

②   用配方法解方程：

（1）x2＋8x－2＝0          （2）x2－5 x－6＝0.

（3）x2+7=6x               （4）x2+10=2 x

七、试一试

用配方法解方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).

先由学生讨论探索，教师再板书讲解。

思  考：这里为什么要规定p2－4q≥0？

八、讨  论

1、如何用配方法解下列方程？

4x2－12x－1＝0;       

请你和同学讨论一下：当二次项系数不为1时，如何应用配方法？

2、关键是把当二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程。

先由学生讨论探索，再教师板书讲解。

解：（1）将方程两边同时除以4，得       x2－3x－ ＝0

移项，得       x2－3x＝

配方，得       x2－3x+（ ＝ +（

即       (x－ ) 2＝ .

直接开平方，得     x－ ＝±

所以               x＝ ± ,

所以x1＝ ，x2=

3，练习：用配方法解方程：

（1）        （ ）

（2）3x2＋2x－3＝0.     （x1＝ ，x2= ）

（3）        （原方程无实数解）

本课小结：　

让学生反思本节课的解题过程，归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤：

1、把常数项移到方程右边，用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为1；

2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；

3、        如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。

布置作业：

P38页习题2.（3）、（4）、（5）、（6），3，4.（1）、（2）

第五课时

课   题 ：23.2一元二次方程的解法(四)

教学目标：

1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。

2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。

3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。

重点难点：

1、难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；

2、重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。

教学过程：

一、复习旧知，提出问题

1、用配方法解下列方程：

 （1）            (2)

2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？

3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？

二、探索同底数幂除法法则

问题1：能否用配方法把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)转化为

呢？

教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：

（与学生共同完成）

问题2：当 ，且 时， 大于等于零吗？

让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当

时，因为 ，所以 ，从而 。

问题3：在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？

让学生讨论、交流，从中得出结论，当 时，一般形式的一元二次方程 的根为

，即 。

由以上研究的结果，得到了一元二次方程 的求

根公式：  （ ）

这个公式说明方程的根是由方程的系数 、 、 所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数 、 、 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

思考：当 时，方程有实数根吗？

三、例题

例1、解下列方程：

  ⑴ ；         ⑵ ；

  ⑶ ；       ⑷

注意：（1）对于方程（2）和（4），首先要把方程化为一般形式；

（2）强调确定 、 、 值时，不要把它们的符号弄错；

（3）先计算 的值，再代入公式。

例2、（补充）解方程

       解：这里 ， ， ，

           因为负数不能开平方，所以原方程无实数根。

让学生反思以上解题过程，归纳得出：

当 时，方程有两个不相等的实数根；

当 时，方程有两个相等的实数根；

当 时，方程没有实数根。

四、课堂练习

1、Ｐ35练习。

2、阅读Ｐ39“阅读材料”。

五、小结

根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下。

六、作业

Ｐ38习题4.（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8），5。

第六课时

课    题 ：23.2一元二次方程的解法(5)

教学目标：

1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程的应用题。

2、提高学生分析问题、解决问题的能力。

3、培养学生数学应用的意识。

重点难点：

认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，布列方程是本节课的重点，也是难点。

教学过程：

一、复习旧知，提出问题

1、叙述列一元一次方程解应用题的步骤。

2、用多种方法解方程

让学生尝试用多种方法解方程，归结为：

解法1：将方程化为 ，直接开平方，得

        解得 ， 。

解法2：将方程化为一般形式 ，进而转化为

，用配方法可求方程的解。

解法3：将方程化为一般形式 ，用公式法求解，其中 。

提问：用哪种方法解方程 更简便？

3、现在，你能解决§23.1的问题1了吗？

二、解决问题

请同学们先看看Ｐ26页问题1，要想解决§23.1的问题1，首先要解方程 ，同学伞能解这个方程吗？

让学生动手解题并口答结果： ,

提问：

1、所求 、 都是所列方程的解吗？

2、所求 、 都符合题意吗？

让学生思考、分析，真正理解负数根不符合题意，应舍去符合题意的解是：

3.1和2说明了什么问题？

让学生交流讨论、体会到把实际问题转化为数学问题来解决，求得方程的解，不一定是原问题的解答，因此，要注意是检验解是否符合题意。

作为应用题，还应作答。

三、例题

例1．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。

分析：设截去正方形的边长x厘米，底面（图中虚线线部分）长等于        厘米，宽等于          厘米， 底面=         。

先请同学们自己列出方程并解这个方程，讨论它的解是否符合题意。

再由学生回答解题过程，教师板书：

解：设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得

(60－2x) (40－2x) ＝800

解方程得

， ，

经检验， 不符合题意，应舍去，符合题意的解是

答：截去正方形的边长为10厘米。

四、课堂练习

Ｐ36 练习1、2

五、小结

让学生反思、归纳、总结，应用一元二次方程解实际问题，要认真审题，要分析题意，找出数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决。求得方程的解之后，要注意检验是否任命题意，然后得到原问题的解答。

六、作业

Ｐ38  习题5、6、7

第七课时

课   题 ：23.2一元二次方程的解法(6)

教学目标：

1、使学生会列出一元二次方程解有关变化率的问题。

2、培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学应用的意识。

重点难点：

本节课的重点和难点都是列出一元二次方程，解决有关变化率的实际问题。

教学过程：

一、创设问题情境

百分数的概念在生活中常常见到，而量的变化率更是经济活动中经常接触，下面，我们就来研究这样的问题。

问题：某商品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率一样。求每次降价的百分率。（精确到0.1%）

二、探索解决问题

分析：“两次降价的百分率一样”，指的是第一次和第二次降价的百分数是一个相同的值，即两次按同样的百分数减少，而减少的绝对数是不相同的，设每次降价的百分率为 ，若原价为 ，则第一次降价后的零售价为 ，又以这个价格为基础，再算第二次降价后的零售价。

思考：原价和现在的价格没有具体数字，如何列方程？请同学们联系已有的知识讨论、交流。

解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为x.根据题意，得

(1－x) 2＝

解这个方程，得

x＝

由于降价的百分率不可能大于1，所以x＝ 不符合题

意，因此符合本题要求的x为

≈29.3%.

答：每次降价的百分率为29.3%.

三、拓展引申

    某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）

解：设原价为 元，每次升价的百分率为 ，根据题意，得

解这个方程，得

由于升价的百分率不可能是负数，所以 不符合题

意，因此符合题意要求的 为

答：每次升价的百分率为9.5%。

四、巩固练习

Ｐ37 练习1、2

五、小结

关于量的变化率问题，不管是增加还是减少，都是变化前的数据为基础，每次按相同的百分数变化，若原始数据为 ，设平均变化率为 ，经第一次变化后数据为 ；经第二次变化后数据为 。在依题意列出方程并解得 值后，还要依据 的条件，做符合题意的解答。

六、作业

Ｐ38 习题8、9

第八课时

课题：23.3 一元二次方程根的判别式

教学目标：

1．了解根的判别式的概念．

2．能用判别式判别根的情况．

3．通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神．

4．进一步渗透转化和分类的思想方法．

重点难点：

1.  会用判别式判定根的情况

2.  正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”

教学过程：

一、    问题情境，导入新课：  

请用公式法解下列方程：

①x2-3x＋2＝0；

②x2-2x＋1＝0；

③x2＋3＝0．

学生解完方程后，师生总结这三个方程的根的特点，有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根.进面提出问题：方程的根的情况与什么有关系？(引入新课)

二、新授：

1、一元二次方程根的判别式

由对于上述三个引例的研究，学生会发现一元二次方程的根的情况与“b2- 4ac”有关系，引导学生分析思考，一元二次方程根的情况与“b2- 4ac”有关系的深层原因，及有什么样的关系？

原因剖析：

任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将

其变形为：

∵

所以（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．

（2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根．

（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．

教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？

定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示．

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中．

当△＞0时，有两个不相等的实数根；

当△＝0时，有两个相等的实数根；

当△＜0时，没有实数根．

反之亦然．

2、应用范例

例1：不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）2x2＋3x-4＝0；

（2）16y2＋9＝24y；

（3）5（x2＋1）-7x＝0．

 解略.

强调两点：（1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出．

（2）判别根的情况，不必求出方程的根．

例2：不解方程，判别下列方程的根的情况：

教师板书，引导学生回答．此题是含有字母系数的一元二次方程．注意字母的取值范围，从而确定b2-4ac的取值．

3、巩固练习

练习：不解方程，判别下列方程根的情况．

（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；

（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．

4、拓展提高

例3：已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

例4：试说明：不论x取何值，关于x的方程 总有两个不相等的实根.

三、小结

1、判别式的意义及一元二次方程根的情况．

①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式．用“△”表示

②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△＝0时，方程有两个相等的实数根；

当△＜0时，方程没有实数根．反之亦然．

2、通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法．

四、作业：  P

第九课时

课    题：23.4一元二次方程的根与系数的关系 (一)

教学目标：

1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．

2.培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．

3.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；

4.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．

重点难点：

1.    根与系数的关系及其推导．

2.    正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．

教学过程：

一、          问题情境，导入新课：

解下列方程，并填写表格：

方   程

观察上面的表格，你能得到什么结论？

（1）关于x的方程

的两根 ， 与系数p，q之间有什么关系？

（2）关于x的方程 的两根 ， 与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？

二、新课：

1.根与系数关系：

（1）关于x的方程 x2+px+q=0的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1+x2=－p，x1x2=q

注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零。

（2）形如 的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论。

即： 对于方程  

∵

∴

∴   

（可以利用求根公式给出证明）

2、应用范例

例1：不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：

例2：不解方程，检验下列方程的解是否正确？

例3：（2004太原）已知一元二次方程的两个根是-1和2，请你写出一个符合条件的方程.（你有几种方法？）

例4：已知方程 的一个根是 ，求另一根及k的值.

变式一：已知方程 的两根互为相反数，求k；

变式二：已知方程 的两根互为倒数，求k；

3、巩固练习

①已知方程  的一个根是1，求另一根及m的值.

②（2004辽宁）已知方程 的一个根为 ，求另一根及c的值.

4、拓展提高

     ①（2004天津）已知关于x的方程 的一个根是另一个根的2倍，求m的值.

      ②已知两数和为8，积为9，求这两个数.

三、小结：

1.根与系数的关系：

2.根与系数关系使用的前提是：

（1）是一元二次方程；

（2）判别式大于等于零.

四、作业：

P.

第十课时

课    题：23.4一元二次方程的根与系数的关系 (二)

教学目标：

1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系；

2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题；

3.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；

4. 提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力．

重点难点：

1.一元二次方程根与系数关系的灵活运用．

2.某些代数式的变形

教学过程：

一、复习：

一元二次方程的根与系数的关系：

结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，

那么：

结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，

那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．

一元二次方程根与系数的关系充分刻化了两根和与两根积和方程系数的关系，它的应用不仅在验根，已知一根求另一根及待定系数k的值，还在其它数学问题中有广泛而又简明的应用

二、新课：

例1. 已知 是方程 的两个根，不解方程，求下列代数式的值.

小结：运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x1+x2和x1x2表示的代数式．

巩固练习：

      1.（2004宁夏）已知方程x2+3x+1=0的两个根为x1，x2，求(1+x1)(1+x2)的值.

2.若m，n是方程x2+2004x-1=0的两个实数根，求代数式

m2n+mn2-mn的值.

    例2：已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2=0的两个实数根的平方和是11，求k的值.

提示：使用根与系数关系的前提是判别式大于等于零.

练习：若关于x的方程2x2-mx+4=0的两根是x1，x2，且满足

                ，求实数m的值.

拓展：m为何值时，

     （1）方程 有两个不相等的正数根？

     （2）方程 的两根异号？

三、小结：

  1.利用根与系数的关系求代数式的值；（关键是将所求代数式用含有两根和与两根积的式子表示出来）

2.已知两根满足某种关系式，求字母的值.（注意判别式要大于等于零）

四：作业

P.

第十一课时

课   题 ：23.5实践与探索(一)

教学目标：

1、学生在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际工资问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。

2、让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力。

3、学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯；获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。

重点难点：

1、重点：利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题。

2、难点：学生分析方程的解，自主探索得到解决实际问题的最佳方案。

教学过程：

一、巩固旧知识

1、解方程x2－70x+825=0，并叙述解一元二次方程的解法。

2、说说你对实践问题的解决时，有何经验，有何体会？

二、创设问题情境

小明把一张边长为 的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。

（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？

（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？

三、尝试解决问题

  1、长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系？

    （长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长有关系）

  2、长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系？

（长方形的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的2倍）

  3、你能否用数量关系表示出这种关系呢？并求出剪去的小正方形的边长。

解：设剪去的正方形边长为 ，依题意得：

，

因为正方形硬纸板的边长为 ，

所以剪去的正方形边长为 。

4、请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系？求出此时长方体的体积。

（长方体的高与正方形硬纸板式剪去的小正方形的边长一样；体积为 ）

5、完成表格，与你的同伴一起交流，并讨论剪去的正方形边长发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？

6、在你观察到的变化中、你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。

四、试一试

  如图， 的边 ，高 ，长方形DEFG的一边EF落在BC上，顶点D、G分别落在AB和AC上，如果这长方形面积 ，试求这长方形的边长。

五、拓展练习

什么情况下，长方形的面积最大。

六、小结

1、谈谈本节的收获。

2、谈谈本节的体会。

3、谈谈本节的疑惑。

七、作业

Ｐ42 习题1

第十二课时

课   题 ：23.5实践与探索(二)

教学目标：

1、使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型。

2、让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程。

3、通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神。

重点难点：

1、重点：列一元二次方程解决实际问题。

2、难点：寻找实际问题中的相等关系。

教学过程：

一、考考你

1、有一个两位数，它的十位上的数学字比个位上的数字大3，这

两个数位上的数字之积等于这两位数的 ，求这个两位数。（这

个两位数是63）

2、如图，一个院子长 ，宽 ，要在它的里沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的 ，试求这花圃的宽度。（花圃的宽度为 ）

二、创设问题情境

阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？

三、尝试探索，合作交流，解决问题

1、翻一番，你是如何理解的？

（翻一番，即为原净收入的2倍，若设原值为1，那么两年后的值就是2）

2、“平均年增长率”你是如何理解的。

      （“平均年增长率”指的是每一年净收入增长的百分数是一个相同的值。即每年按同样的百分数增加，而增长的绝对数是不相同的）

3、独立思考后，小组交流，讨论。

4、展示成果，相互补充。

解：设平均年增长率应为 ，依题意，得

         ，

         ，

因为增长率不能为负数

所以增长率应为 。

四、拓展应用

若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？

又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？

独立思考完成后，与同伴交流，教师分析示范与学生交流。

五、做一做

  1、某钢铁厂去年1月某种钢产量为5000吨，3月上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？

解：设平均每月增长的百分率为 ，依题意，得

            ，

因为 不合题意，‘

所以只能取 。

答：平均每月增长的百分率是 。

2、某种药品，原来每盒售价96元，由于两次降价；现在每盒售价54元。平均每次降价百分之几？

解：设平均每次降价的百分率为 ，依题意，得

，

因为 不合题意，‘

所以只能取 。

答：平均每次降价的百分率是 。

六、小结

谈谈你对本节所探讨的知识有何体会，你能否结合你的体会编制一道应用题，在小组内交流。

请一些小组展示成果。

七、作业

Ｐ42 习题2、3、4、5