设本页为首页　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　加入收藏
中文域名: 古今中外.com　　　　　　 英文域名：www.1-123.com　　　　　丰富实用的教育教学资料
您现在的位置： 中国哲士网 >> 教育教学 >> 中小学数学 >> 八年级下学期 >> 数学八年级下学期单元测试 >> 正文
八年级数学第二学期质量…
八年级第二学期期末数学…
育英学校八年级第二学期…
八年级数学第二学期阶段…
八年级第二学期数学期终…
八年级第二学期数学期终…
八年级第二学期数学期末…
八年级第二学期数学期终…
八年级下册数学新教材培…
八年级数学下册第四单元…

 

[组图]全等三角形的判定和构造

查询数八年下单元的详细结果
全等三角形的判定和构造
一、本周教学目标
　　1．熟练掌握三角形全等的四个判定方法，掌握直角三角形全等的判定定理．
　　2．合理运用所学定理证明两个三角形全等（包括一次全等和两次全等）．
　　3．探索三角形全等是用来说明线段相等（对应边相等）、角相等（对应角相等）、线平行等问题的基
　 　　本途径，在说理过程中要注意运用等式性质．
　　4．通过合理的添加辅助线，构造出全等的三角形，并创设出新的数量和位置关系，从而解决问题．
　　5．在学习几何的过程中，逐渐领悟到猜想与严格证明的紧密联系——猜想为严格证明提供的方向；严
　 　　格的证明是把猜想变为正确或者不正确的结论．

二、本周教学重点和难点
　　直角三角形全等的判定方法的得出过程以及利用三角形全等的各种方法进行证明是重点；掌握综合法证明三角形全等既是重点又是难点；而通过添加辅助线构造全等三角形是一个难点．

三、本周教学内容解析
　　1．HL是判定直角三角形全等的一种特殊方法，因此SSS、SAS、ASA、AAS和HL都可以判定直角三角形全
　 　　等．不要一看到直角三角形就只想到HL的判定方法．
　　2．证明三角形全等是用来说明线段相等、角相等、直线平行等问题的基本途径，不是几何证明的最终
　 　　目标.因此,在某些几何图形结构中不存在全等关系的，可以添加辅助线构造全等，进而解决问题．
（一）典型例题
1、综合法证明三角形全等
　　1．如图所示，点、在直线上，，过点、分别作，，且．
　　（1）如图（1），若与相交于点，试问与相等吗？试说明理由．
　　（2）如图（2），若将的边沿方向移动至图中所示位置时，其余条件不变，（1）中
　 　　　的结论是否仍然成立？请说明理由．
　　　　　
　　解：（1）．
　　证明：，
　　　　　，即，
　　　　　又于点，于点，
　　　　　在和中，
　　　　　
　　　　　≌（HL），
　　　　　，
　　　　　在和中，
　　　　　
　　　　　≌（AAS），
　　　　　．
　　（2）当的边移动后，仍然有．
　　　　 证明：，
　　　　　　　 ，即，以下证明过程同（1），故仍然有．

2、添加辅助线，构造三角形全等．
　　（1）【连接两点】
　　2．如图，，．求证：．
　　分析：本题的已知条件是四边形中两条线段AD、BC之间的位置关系和数量关系，而结论是关于两个角的数量关系，可以连接A、C两点，将四边形的问题转化为三角形全等的问题进行证明．
　　证明：连接A、C．
　　　　　，
　　　　　．
　　　　　在和中，
　　　　　
　　　　　≌（SAS）．
　　　　　．
　　小结：连接两点的时候一般不破坏已知元素（如两角）或求证的元素．

　　（2）【截长补短】
　　3．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB+BD=AC．
　　方法一：截长法
　　分析： 因为∠B=2∠C，所以AC＞AB，可以在AC上取一点E，使得AB=AE，构造△ABD≌△AED，把AB边转移到AE上，BD转移到DE上，要证AB+BD=AC．即可转化为证AE+BD=AE+EC，即证明BD=EC．
　　证明：在AC上取一点E，使得AB=AE，连结DE．
　　　　　在△ABD和△AED中，AB=AE，∠BAD=∠DAE，AD=AD，
　　　　　∴△ABD≌△AED（SAS）．
　　　　　∴ BD=DE，∠B=∠AED．
　　　　　又∠AED=∠EDC+∠C=∠B=2∠C，
　　　　　∴ ∠EDC=∠C．
　　　　　∴ ED=EC．
　　　　　∴ AB+BD=AC．
　　方法二：补短法
　　分析： 因为∠B=2∠C，所以AB＜AC，可以在AB的延长线上取一点E，使得AE=AC，构造△AED≌△ACD，把AC边转移到AE上，DC转移到DE上，要证AB+BD=AC．即可转化为证AB+BD=AB+BE，即证明BD=BE．
　　证明：在AB的延长线上取一点E，使得AC=AE，连结DE．
　　　　　在△AED和△ACD中，
　　　　　AE=AC，∠BAD=∠DAC，AD=AD，
　　　　　∴ △AED≌△ACD（SAS）．
　　　　　∴∠C=∠E．
　　　　　又∠ABC=∠E+∠BDE=2∠C=2∠E，
　　　　　∴ ∠E=∠BDE．
　　　　　∴ BE=BD．
　　　　　∴ AB+BD=ＡE＝AC．
　　方法三：补短法
　　分析：若延长DB到点E，使得BE =AB，则有AB+BD=ED，只要证出ED=AC即可．
　　证明：延长DB到点E，使得BE =AB，连结AE，
　　　　　则有∠EAB=∠E，∠ABC=∠E+∠EAB=2∠E．
　　　　　又∠ABC=2∠C，
　　　　　∴ ∠E＝∠C．
　　　　　∴ AE=AC．
　　　　　又
　　　　　
　　　　　又∠EAD=∠EAB+∠BAD=∠E+∠DAC=∠C+ ∠DAC=∠ADE，
　　　　　∴ AE=DE．
　　　　　∴ AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC．
　　小结：线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等，将不在一条直线的两条（或几条）线段转化到同一直线上．上述前两种方法实际上是通过翻折构造全等三角形，目的是为了将转移的边、角和已知条件中的边、角有机的结合在一起．证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是：在其中一条短线段的延长线上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫“补短法”．在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短线段，这种方法叫“截长法”．这两种方法是证明两条线段的和（差）等于另一条线段的常用方法．

　　4．已知：如图，，、分别为、的平分线，点在上．
　　　　　　求证：．
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例4
　　　
　　　　　　　　　图（1）　　　　　　　　　　　　　　　　　 图（2）
　　分析：利用三角形全等，可以根据需要把线段“搬家”．因此在解决有关线段的问题时，如果不能直接解决，可考虑利用三角形全等的知识，通过转换，在寻找解决的方法．
　　解法1：（截长法）如图（1），
　　　　　 因要证明，首先在线段上截取，然后再证明，
　　　　　 为此先证明≌，可得．用及角互补，
　　　　　 可得，从而可证明≌，于是得．
　　　　　 也可在上截取，然后证明．
　　解法2：（补短法）如图（2），
　　　　　 延长交的延长线于，先由≌，可得．
　　　　　 再证明≌，得到，于是．

　　（3）【倍长中线】
　　5．如图，为中线．求证：．
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：要想证明，可以构造一个以AB、AC和2AD的长为边的三角形．根据已知为中线，可以将AD延长一倍至E，构造出与全等的三角形，将AC转移至BE处，从而实现推理证明．
　　证明：延长AD至E，使．
　　　　　则有≌（SAS）．
　　　　　所以．
　　　　　在中，．即．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　6．我们规定：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．我们可以证明：这两条边所对的角是相等的；反之也成立．　　　　　　　　　　　
　　如图，在中，是的中点，过点D作射线交AB于E，交CA的延长线于F．若要的结论成立，请写出必须满足的条件，并加以证明．
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：本题可以采取和例5类似的方法．虽然图形中没有中线，但是可以将过中点D的线段FD延长一倍，构造出和全等，进一步进行推理：
　　延长FD至G，使．
　　则有≌（SAS）．
　　所以，．
　　若要，只需，即．
　　只需．
　　因此要满足（或

来源：中国哲士网

教师学生家长 数八年下单元资料 备课考试教学

教育资料 [组图]全等三角形的判定和构造 文章
  • 上一篇文章：
  • 下一篇文章：
    •  

     
    相关文章
    初二数学周末练习13（分式的概念和性…
    寒假专题二（一次函数的综合应用）
    初二数学周末练习5（等腰三角形（一）…
    最值问题专题（轴对称的应用）
    北京四中2009~2010学年度第一学期初二…
    等腰三角形（二）
    初二周末练习6（等腰三角形（二））
    角平分线性质
    轴对称
    初二数学周末练习2（全等三角形的判定…
    变量与函数
    初二数学周末练习11（一次函数的图象…
    一次函数的应用
    初二数学周末练习12（一次函数的应用…
    等腰三角形（一）（概念、性质及判定…
    八年级下册数学教学计划
    北师大版八年级第二学期数学教学计划
    第二学期初中数学组工作计划
    八年级第二学期数学教学计划
    八年级第二学期数学竞赛题
    北师大版八年级第二学期数学的试题
    分式的概念和性质
    八年级下册数学期中试卷
    初二数学周末练习3(角平分线性质)
    教学计划八年级下册数学教学计划
    八年级数学下册第二章《分解因式》单…
    第十八中学八年级数学下册第三单元《…
    八年级下学期数学第六章证明（一）单…
    宿州六中八年级下学期第一次数学单元…
    勾股定理的逆定理练习题
    三年级下册数学期中试卷
    八年级第二学期数学期末复习――代数…
    初二数学周末练习3（轴对称）
    初二数学周末练习18(全等三角形之一期…
    全等三角形之一期末复习
    初二数学周末练习17（一次函数期末复…
    一次函数期末复习
    初二数学周末练习16（轴对称复习）
    北京四中2009~2010学年度第一学期初二…
    八年级数学下册第四单元《相似图形》…
    轴对称复习
    一次函数的图象与性质
    初二数学周末练习10（函数的图象和正…
    函数的图象和正比例函数
    初二数学周末练习9（变量与函数）
    分式的运算及分式方程
    分式期末复习
    初二数学周末练习14（分式的运算及分…
    寒假专题一（一次函数的几何应用）
    初二数学周末练习1（全等三角形与三角…
    全等三角形与三角形全等的判定
    初二暑假开学统测
    八年级数学下册第三单元《分式》测试…
    八年级数学第二学期质量检测
    八年级下册数学新教材培训总结
    八年级第二学期数学期终复习试卷（1）
    八年级第二学期数学期末考试模拟试题…
    八年级第二学期数学期终复习试卷（2）
    八年级第二学期数学期终试卷
    八年级数学第二学期阶段考试试卷
    育英学校八年级第二学期数学月考试卷
    八年级第二学期期末数学复习测试卷
    初二数学周末练习15(分式期末复习)

    2004-2010　 中国哲士网版权所有　引用本站内容请指明来源　 给本站投稿　 　备案序号 蜀ICP备05009253号