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[组图]变量与函数

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　 变量与函数
教学目标：
　　“函数”概念在中学数学中占有重要的地位，它也是高等数学研究的对象。 “函数”的引入使得数学从“常量数学”转化为“变量数学”，这正是近代数学的一个标志。前面学过的数、式、方程等都是传统的“常量数学”的组成部分，函数则属于“变量数学”的范畴。用函数的观点看方程与不等式中,我们可以看到变量数学的引入丰富了常量数学的知识. 初中的“函数”概念中蕴含着变化与对应的思想,强调变量之间的依存关系与对应关系。经历常量与变量、函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，进一步发展的抽象思维能力。

教学内容解析：
一．变量，常量的教学
　　自然界是千变万化的，人类社会是不断进化的，这一切都告诉我们，在我们的身边运动，变化是时时刻刻，大量存在的。那么,运动变化的过程中涉及到的量，以及量与量之间的关系便成为我们研究的重点。
　　我们生活的地球在自转的同时，围绕太阳进行着公转。依据地理学知识，我们可以知道：地球在围绕太阳运动的过程中，它与太阳之间的距离是不断变化的。同时，地球在近日点的公转速度也大于它在远日点的公转速度。但是，地球围绕太阳运行一周所需要的时间却是固定不变的，是365天5小时48分46秒。
　　在地球围绕太阳运动的过程中，地球围绕太阳运行一周所需要的时间不发生变化，像这样保持同一数值的量我们称其为常量。但是，地球与太阳之间的距离，以及地球围绕太阳运行的公转速度均发生了变化，像这样可以取到不同的数值的量我们称其为变量。

二．函数概念的教学
（一）请思考一下，在我们的生活，学习中，还有哪些过程也涉及到了变量，常量。
　　1．卖牛奶的过程中：每袋牛奶的单价是常量，所卖牛奶的袋数和得到的钱数均是变量。
　　2．水瓶装水的过程，密度是常量，所装水的质量和体积都是变量
　　3．卖布的过程中，布的宽度是常量，所卖布的长度和相应布的面积均是变量
　　4．学校与同学甲的家之间的距离是一个常量。但是，他每天从家到学校的平均速度是变量，相应的从
　　家到学校时间也是变量。（本例中，距离是常量。但是，在地球围绕太阳运动的过程中，距离却是变量
　　。由此可见，判断一个量是变量，还是常量，并不是绝对的，关键要看这个量所处的具体的过程。）

（二）下面来看老师所举的例子：
　　例1：这是北京市近十年的人口变化，请大家观察表格，思考一下，在表格中反映了哪些量，有没有变量，常量，变量之间有哪些关系？
　　　　
　　答案：变量：年份，年末人口总数；
　　关系：年末人口总数随年份变量的变化而变化。当年份变量取到1992年时，人口变量是1094万人，这个值是确定的，且是唯一的。当年份变量取到1998年时，人口变量是1246万人，这个值也是确定的，且是唯一的。其实当年份变量在1991至2000年的自然数集中取数时，人口变量都有确定的，且是唯一的值和它对应。 ）

　　例2：沿直线匀速行驶的汽车，在行驶过程中，会出现哪些变量，有没有常量，变量之间有什么关系？
　　答案：变量：行驶时间，行驶路程
　　关系：路程随时间的变化而变化。但是，当时间变量在大于（等于）零的实数集中取数时，路程变量都有确定的，且是唯一的值和它对应。

　　例3：这是北京市某天的天气变化情况曲线，图象反映出哪些变量，有没有常量，变量之间有什么关系？
　　　　　　　　
　　答案：变量：时间，温度
　　关系：依据图象，当时间变量在大于（等于）零且小于24的实数集中取数时，温度变量都有确定的，且是唯一的值和它对应。
　　请总结一下，以上三个例子，均发生在什么过程中，均出现了几个变量，变量之间有什么关系？
　　过程：运动变化的过程。
　　变量：两个。
　　关系：对于其中一个变量在某一个数集的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值和它对应。
　　这种变量之间的特殊关系，我们称其为函数关系。

（三）函数的定义：
　　一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
　　如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

三．巩固概念：
　　利用函数的概念判断问题中所提到的变量谁是自变量，谁是谁的函数：
　　例1：函数：在近十年的北京人口变化过程中，有两个变量：年份与人口总数，对于年份变量在大于等于1991小于等于2000的自然数集的每一个确定的值，人口总数都有唯一确定的值与它对应，则年份叫做自变量，年末人口总数是年份的函数。
　　由于，变量人口总数会受到多方面因素的影响。因此，我们不可能用一个简单的式子表达出人口总数与年份之间的关系。这时，但用表格就可以简单，明了，直接的表示出变量之间的对应的函数关系。

　　例2：函数：匀速行驶的汽车在行驶过程中，有两个变量：时间t与路程s，对于时间变量t在大于等于0的实数集的每一个确定的值，路程s都有唯一确定的值与它对应，则时间t叫做自变量，路程s是时间t的函数。也可以说时间t是路程s的函数，因为对于路程变量s在大于等于0的实数集的每一个确定的值，时间t都有唯一确定的值与它对应。但这是两个不同函数。
　　我们可以用一个等式表达出路程与时间之间的关系，等式叫做这个函数的解析式。通过这个解析式，我们可以求出自变量在任一个允许值相应的函数值。

　　例3：函数：在一天的天气变化情况中，有两个变量：时间t与温度T，对于时间变量t在大于等于0小于24的实数集的每一个确定的值，温度T都有唯一确定的值与它对应，则时间t叫做自变量，温度T是时间t的函数。
　　其他说法：时间t是温度T的函数的说法不对，并不是每一个温度变量都有唯一确定的时间和它对应。看图象可知，的确存在一个温度，有两个时间和它对应。因此，时间不是温度的函数。
　　由于温度和时间的函数关系，既不能用等式表示，列表也难以表示任何时刻的温度，所以，我们可以采用坐标平面的曲线来表示函数关系，这种表示方法叫做图象法。利用图象法，可以直观的看到变量之间的对应关系。
　　回头看同学们所举的例子：
　　1．卖牛奶的过程中：每袋牛奶的单价是常量，所卖牛奶的袋数和得到的钱数均是变量。所卖牛奶的袋
　 　　数是得到的钱数的函数。得到的钱数也是所卖牛奶的袋数的函数。可以用列表格的方法表示。
　　2．水瓶装水的过程，密度是常量，所装水的质量是体积的函数。M=pv。
　　3．卖布的过程中，布的宽度是常量，所卖布的长度是相应布的面积的函数。S=ab
　　4．机器人左手不停的从自然数集中取数，右手输出它的平方根，则输出的平方根是否是所取的自然数
　 　　的函数。
　 　　答案：不是，因为任意自然数都有两个互为相反数的平方根。
　　5．机器人左手不停的从自然数集中取数，右手输出它的算术平方根，则输出的算术平方根是否是所取
　 　　的自然数的函数。
　 　　答案：是，因为任意自然数都有一个唯一确定的算术平方根
　　6．机器人左手不停的从整数集中取数，右手输出它的算术平方根，则输出的算术平方根是否是所取的
　 　　整数的函数。
　 　　答案：不是，因为负整数没有平方根，更没有算术平方根。

四．例题：
　　1．小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q（元）与他买这种笔记本的本数x之间的函数关系式是 （ ）
　　A．Q=8x 　　　B．Q=8x-50 　　　C．Q=50-8x 　　　D．Q=8x+50
　　答案：C

　　2．下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ）
　　A．y=2x2中，x取全体实数 　　　　　　　B．y=中，x取x≠-1的实数
　　C．y=中，x取x≥2的实数 　　　　D．y=中，x取x≥-3的实数
　　答案：D
　　分析：一般地，在一个函数关系式中，自变量的取值必须使函数解析式有意义；对于一个实际问题，自变量的取值必须使实际问题有意义,选D．

　　3．若y与x的关系式为y=30x-6，当x=时，y的值为 （ ）
　　A．5 　　　B．10 　　　C．4　　　 D．-4
　　答案：C

　　4．已知函数y=中，当x=a时的函数值为1，则a的值是（ ）
　　A．-1 　　　B．1 　　　C．-3 　　　D．3
　　答案：D

来源：中国哲士网

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