一、知识回顾
1．函数有三种表示方法：解析法（关系式和自变量取值范围）、列表法、图象法．
2．用图象描述函数的必要性：
（1）有些函数关系很难用式子表示；
（2）画图表示会使函数关系更直观和形象．
3．用坐标平面内的点表示函数关系的方法叫做图象法．
（1）对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每对对应值分别作为点横坐标和纵坐标，在坐标平
面内描出这些点所组成的图象（或集合）叫做这个函数的图象．
（2）在初中，作一个函数的图象，一般都是结合列表法，通过描点近似地作出的．
二、函数图象
以“正方形边长
与面积
的函数关系”为例：1．利用解析式表示为
，其中
．2．利用在坐标系中画图的方法来表示
与的关系．自变量
的一个确定的值，都有唯一的值与它对应，确定了一个点
．（1）列表：写出自变量和函数的一些对应值．
|
0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | … |
|
0 | 0.25 | 1 | 2.25 | 4 | 6.25 | 9 | 12.25 | … |
作为点的坐标，
在坐标系中画出相应的点．
（3）连线：按照横坐标从小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来
3．思考：
（1）在图中标出
部分的图象；（2）观察图象，找出函数的最小值；
（2）如何画出完整的
的图象．
1．在同一坐标系中，画出下列函数的图象：（1）
；（2）
．解：（1）在函数
中，自变量x的取值范围是全体实数．列表：
|
… | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
|
… | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
（2）在函数
，自变量x的取值范围是全体实数．列表：
|
… | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
|
… | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
图略．
实际上，两个函数的图象都是一条直线，它们之间可以通过平移得到．
2．画出
的图象．解：在函数
中，自变量x的取值范围是．列表：
|
… | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 3 | 4 | 6 | … |
|
… | 12 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1.5 | 1 | … |
思考：判断点（12，0.5）、（3，3）和（
，
在函数的图象上吗？答案:只有点（12，0.5）在函数
的图象上。三、函数图象的应用
首先要能根据所给图象分析实际问题的过程，其次要求根据实际过程画出所需的函数关系示意图。
1．分析横轴纵轴含义；
2．剖析坐标对应关系；
3．把握图象变化趋势；
4．掌握图象简单计算；
5．会画函数关系示意图.
1. 小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离。(小明家、菜地、玉米地在一条直线上)
问题1：菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？
问题2：小明给菜地浇水用了多少时间？
问题3：菜地离玉米地多远？小明从菜地走到玉米地用了多少时间？
问题4：小明给玉米地锄草用了多少时间？
问题5：玉米地离小明家多远？他从玉米地回家的平均速度是多少？
分析：在0到15分钟，小明离家的距离y随时间x的推移而逐渐均匀增大，说明小明正在匀速离家往菜地走去；在15到25分钟，y=1.1(km)不变，表示小明原地没动，也就是在菜地浇水，所以菜地离家1.1千米，浇水用了10分钟；从25到37分钟，小明离开菜地向玉米地匀速前进，第37分钟到达玉米地，可得菜地离玉米地0.9千米，从菜地走到玉米地用时12分钟；在第37到55分钟，y=2(km)不变，小明在玉米地锄草，所以锄草用时18分钟；到第55分钟开始y随x增大而逐渐减小（即图象下降），说明小明在回家途中，玉米地离家2千米，从第55分钟开始回家，第80分钟y=0即小明到家，回家共用25分钟，可求得回家的平均速度为2/25=0.08千米/分钟。
2．右图表示一辆汽车的速度随时间变化的情况：
①汽车行驶了多长时间？它的最高时速是多少？
②汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
③出发后8分钟到12分钟之间可能发生了什么情况？
④比较线段OA与DE，你有何发现？
⑤用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况。
分析：从0到2分钟，速度y随时间x的推移逐渐增大，说明汽车在逐渐提速；在2到6分钟，汽车保持速度y=20km/h不变，即进行匀速运动；之后从第6到第8分钟，汽车逐渐减速到0km/h；在8到12分钟，速度y=0，汽车没有行使；从第12到14分钟，汽车从静止逐渐提速到120km/h；又保持这个时速到第18分钟；自第18分钟开始速度y随时间的推移而逐渐减小，即汽车逐渐减速直到第24分钟减速到0。
所以汽车共行驶24-(12-8)=20分钟；最高时速为120km/h；在第2到6分钟，以及第14到18分钟，均为匀速行驶，时速分别为20km/h和120km/h；出发后8分钟到12分钟之间，车子静止不动；比较OA和DE段，发现同样是两分钟内的运动过程，OA表示汽车在两分钟内加速到20km/h，而DE段表示汽车在两分钟内提速到120km/h。
3. 甲、乙两同学在同样的泳道中游泳，甲先自由泳到泳道中点后改为蛙泳，而乙则先蛙泳到泳道中点后改为自由泳.两人同时出发，最后同时到终点.又知二人自由泳均比蛙泳快，若某人离开泳道起点的距离s与时间t的函数关系用图象表示，则甲是图_____，乙是图_____
分析：自由泳比蛙泳速度快，即相同路程下，自由泳用时更短，（或者说相同时间下，自由泳路程更长），可见从图形直观来看，在S-t图中，表示自由泳的线段应该比蛙泳的更陡，甲是先自由泳后蛙泳，故其图象呈现应先陡后缓，同样道理乙的图象将先缓后陡；两人都是在泳道中间改换泳姿，故两人的图象均应在S的取值范围的中间拐弯。综上所述：甲对应图①，乙对应图②。
反思：再看图①，甲先进行自由泳的图象对应t轴两个格，后蛙泳的图象对应t轴3个格，而两种泳姿都对应S轴的相等长度，即走相同路程的前提下，时间短的速度快，又即在S-t图中图象陡的速度快。
4. 如图是一种古代计时器——漏壶，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔均匀漏出，壶壁内画有刻度，人们根据水面的位置计算时间，用x表示时间，用y表示壶底到水面的高度，下面的哪个图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系？（暂不考虑水量变化对压力的影响）
分析：由于y表示水的深度，自然y随时间x的推移而减小，故图象应为下降趋势，首先可以排除第一个图；其次，题目限定说不考虑压力变化，认为水从小孔中均匀流出，即单位时间流出水的体积为定值，而容器为圆柱体，横截面积不变，于是单位时间水的高度减小量为定值，即y随x的增大而均匀减小，故为直线段，所以选第二个图。
反思：若考虑水量变化对压力的影响呢？开始水量较大，压力也就大，水流出速度较快，后来随着水量的减小水流速度也会逐渐减小，所以图象会呈现从左往右先陡后缓最终降到x轴上为止。
四、正比例函数
1．正比例关系：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．
（1）用字母表示：如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以
用以下关系式表示：
．（2）正比例关系两种相关联的量的变化规律：同时扩大，同时缩小，比值不变．
例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？
2．正比例函数
（1）在上述问题中，x、y是变量，而k是常量，
是x的函数．如果
时，
是常值函数，它不随x的变化而变化．（2）正比例函数的定义
一般地，形如
（k是常数，
）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．3．正比例函数的图象的性质
（1）正比例函数
（）的图象是一条经过原点和(1，k)点的直线，我们称为直线． （2）当
时，图象经过一、三象限，从左向右上升；随的增大而增大；直线与x轴正方向的夹角（即倾斜角）为锐角．
（3）当
时，图象经过二、四象限，从左向右下降；随的增大而减小；倾斜角为钝角．简要证明：
设（
，
）和（
，
）分别是直线上的两点，则有
，
；于是，
．当
时，若
，则
，所以
，即
；说明
随的增大而增大．同理，当
时，随的增大而减小．1．加热一个物体，使它每分钟上升
，物体的温度y（单位：
）随加热时间x（单位：分）的变化而变化．写出y关于x的函数解析式，并画出它的图象．
解：
，其中x为全体实数．列表：
|
… | |
 |
0 | 1 | 2 | … |
|
… |  |
 |
0 | 2 | 4 | … |
2. 已知函数
（k为常数）为正比例函数，则k=____．此函数图象经过第______象限；y随x的增大而__________；这条直线与x轴正方向夹角比直线y=－x与x轴正方向的夹角__________．解：由题意可知：
且
所以：k=-2.
原函数即y=-4x，经过第二、四象限，y随x的增大而减小，
这条直线与x轴正方向夹角比直线y=－x与x轴正方向的夹角小．
