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[组图]北京四中2009~2010学年度第一学期初二期末数学试卷

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北京四中2009~2010学年度第一学期初二期末数学试卷
　　 　　　　　　　　　　撰稿：王正 　　　审稿：董嵩 　　　责编：孙景艳
　　　　　　　　　　　　　　（考试时间为100分钟，试卷满分为100分）
　　一、选择（本题共30分，每小题3分）
　　1．下列说法正确的是（ ）．
　　A．4的平方根是2　　　　　 B．9的算术平方根是
　　C．8的立方根是 　　　　D．的立方根是

　　2．计算的结果是（ ）．
　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．

　　3．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）．
　　　　
　　A．1 　　　B．2　　　 C．3 　　　D．4

　　4．下列变形正确的是（ ）．
　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．

　　5．若函数（k≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式≤0的解集在数轴上表示正确的
　 　　是（ ）．
　　

　　6．如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再
　 　　分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM ≌△PON，OP平分∠AOB．以上
　 　　依画法证明△POM≌△PON根据的是（ ）．
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A．SSS 　　　B．SAS　　　 C．AAS　　　 D．HL

　　7．若将直线(k≠0)的图象向上平移3个单位后经过点(2，7)，则平移后直线的解析式为（ ）．
　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．

　　8．如图，等边三角形ABC中，D为BC的中点，BE平分∠ABC交AD 于E，若△CDE的面积等于1，则△ABC的
　 　　面积等于（ ）．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A．2 　　　B．4　　　 C．6　　　 D．12

　　9．已知一次函数，其中，则所有符合条件的一次函数的图象一定都经过（ ）．
　　A．第一、二象限 　　　　B．第二、三象限
　　C．第三、四象限　　　　 D．第一、四象限

　　10．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长
　　　　为（ ）．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A．1　　　 B．1.5 　　　C．2　　　 D．2.5

　　二、填空（本题共18分，第15题4分，其余每小题各2分）
　　11．函数中，自变量x的取值范围是_________．

　　12．在，，，，这五个实数中，无理数是_________．

　　13．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　14．若直线（k≠0）经过点（1，3），则该直线关于x轴对称的直线的解析式为_________．

　　15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，P为AC边上一点，PC＝2，∠PBC＝30°．（1）若
　　　　PD⊥AB于D，在图中画出线段PD；（2）点P到斜边AB的距离等于_________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　16．下图是按一定规律排列的一组图形，依照此规律，第n个图形中的个数为_____．（n为正整数）
　　　　　　　　　

　　17．如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC＝110°，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D的直线折叠，折
　　　　痕与BC交于点E，点C的落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF ＝_________°．

　　18．对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最小的数， 例如， ，
　　　　那么观察图象，可得到的最大值为_________．
　　　　　　　　　　　

　　三、耐心算一算（本题共17分，第19、21题各5分，第20题3分，第22题4分）
　　19．因式分解：（1）； （2）．

　　20．计算：．

　　21．先化简再求值：，其中x=3．

　　22．解分式方程：．

　　四、认真做一做（本题共11分，第23题6分，第24题5分）
　　23．已知：如图，D为△ABC内一点，AC=BC，CD平分∠ACB．
　　　　求证：∠ABD ＝∠BAD．
　　　　　　　　　　　

　　24．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ．
　　（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一
　 　　　点B，使点B到点M和点N的距离和最小；
　　（2）直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：（1）画法：
　　　　（2）答：AM＋AN_________BM＋BN．（填“＞”、“＝”或“＜”）

　　五、仔细想一想（本题共12分，每小题6分）
　　25．在平面直角坐标系xOy中，一动点从点出发，在由，四点组成的正方形边线上（如图①所示），按一定方向匀速运动．图②是点P运动的路程s与运动时间t（秒）之间的函数图象，图③是点P的纵坐标y与点P运动的路程s之间的函数图象的一部分．
　　　　　　
　　请结合以上信息回答下列问题：
　　（1）图②中，s与t之间的函数关系式是_________（t≥0）；
　　（2）与图③中的折线段相对应的点P的运动路径是 →_________→_________→_________；
　　 　　（填“A”、“B”、“C”、“D”、“M”或“N”）
　　（3）当4≤s≤8时，直接写出y与s之间的函数关系式，并在图③中补全相应的函数图象．

　　26．某中学初二年级300名同学在“爱心包”活动中，集资购买一批学习用品（书包和文具盒），捐赠给灾区90名学生，所买的书包每个54元，文具盒每个12元．现每名同学只购买一种学习用品，而且每2人合买一个文具盒，每6人合买一个书包．若x名同学购买书包，全年级共购买了y件学习用品．
　　（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
　　（2）若捐赠学习用品的总金额超过2300元，且灾区90名学生每人至少得到一件学习用品，问：同学们
　 　　　如何设计购买方案，才能使所购买的学习用品件数最多？学习用品最多能买多少件？

　　六、解答题（本题共12分，每小题6分）
　　27．已知：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为，，P为y轴上B点下方一点， PB＝m（m＞0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM＝PA，点M落在第四象限．
　　（1）求直线AB的解析式；
　　（2）用m的代数式表示M点的坐标；
　　（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　28．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD 交BE的延长线于点G，交AC于点M．
　　（1）求证：△EGM为等腰三角形；
　　（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　（1）证明：
　　（2）答：线段BG、AF与FG的数量关系为_________．
　　 　　证明：

参考答案
　　一、选择（本题共30分，每小题3分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B B B D A C B A

　　二、填空（本题共18分，第15题4分，其余每小题各2分）
　　11． x≥2．　 12．， ．　 13．20． 　14．．
　　15．（1）答案见图1；（2）2．　　16．．　17．40．　　 18．1．

　　三、计算（本题共17分，第19、21题各5分，第20题3分，第22题4分）
　　19．（1）解：．
　　　　（2）解： ．

　　20．解： ．

　　21．解：
　　 　　　 ．
　　 　　　 当x= 3时，原式=．

　　22．解：去分母，得 ．
　　 　　　 2x=2．
　　 　　　 x=1．
　　 　　　 经检验，x=1是原方程的解．
　　 　　　 所以，原方程的解为x=1．

　　四、认真做一做（本题共11分，第23题6分，第24题5分）
　　23．证法一：如图2-1．
　　 　　　 　　∵ CD平分∠ACB，
　　 　　　 　　∴ ∠1＝∠2．
　　 　　　 　　在△ACD与△BCD中，
　　　　 　　　
　　 　　　 　　∴ △ACD≌△BCD ．
　　 　　　 　　∴ AD＝BD．
　　 　　　 　　∴ ∠ABD＝∠BAD．
　　　　证法二：如图2-2．
　　 　　　 　　延长CD交AB于点E．
　　 　　　 　　∵ AC＝BC，CD平分∠ACB，
　　 　　　 　　∴ CE垂直平分AB．
　　 　　　 　　∵ 点D在CE上，
　　 　　　 　　∴ AD＝BD．
　　 　　　 　　∴ ∠ABD＝∠BAD．

　　24．解：（1）答案图如图3所示．
　　 　　　　　　画法：1．作点M关于射线OP的对称点，
　　 　　　　　　　　　　 连结交OP于点A．
　　 　　　　　　　　　2．作点N 关于射线OQ的对称点，
　　 　　　　　　　　　　 连结交OQ于点B．
　　　　　　（2）＝．

　　五、仔细想一想（本题共12分，每小题6分）
　　25．（1）
　　　　（2）M →D → A→ N；
　　　　（3）

　　26．解：（1）．
　　　　　　（2）由题意得
　　 　　　　　　解得＜x≤180．
　　 　　　　　　又因为x为6的倍数，所以x等于168，174，180．
　　 　　　　　　因为 随x的增大而减小，所以当x等于168，
　　 　　　　　　即168名同学购买书包，132名同学购买文具盒时，所购买的学习用品件数最多．
　　 　　　　　　因为时，，所以最多可买94件学习用品．
　　 　　　　　　此时168名同学购买书包，132名同学购买文具盒。

　　六、解答题（本题共12分，每小题6分）
　　27．解：（1）设直线AB的解析式为（k≠0）．
　　 　　　　　　则 解得
　　 　　　　　　∴ 直线AB的解析式为．
　　 　　　 （2）作MN⊥y轴于点N．（见图5）
　　 　　　　　　∵ △APM为等腰直角三角形，PM=PA，
　　 　　　　　　∴ ∠APM=90°．
　　 　　　　　　∴ ∠OPA+∠NPM=90°．
　　 　　　　　　∵ ∠NMP+∠NPM=90°，
　　 　　　　　　∴ ∠OPA=∠NMP．
　　 　　　　　　又∵ ∠AOP=∠PNM=90°，
　　 　　　　　　∴ △AOP≌△PNM．（AAS）
　　 　　　　　　∴ OP=NM，OA=NP．
　　 　　　　　　∵ PB=m（m＞0），
　　 　　　　　　∴ NM=m+4，ON=OP+NP=m+8．
　　 　　　　　　∵ 点M在第四象限，
　　 　　　　　　∴ 点M的坐标为．
　　　　　　（3）答：点Q的坐标不变．
　　 　　　　　　解法一：由（2）得 NM=m+4，．
　　 　　　　　　　　　　∴ NB=NM．
　　 　　　　　　　　　　∵ ∠BNM=90°，
　　 　　　　　　　　　　∴ ∠MBN=45°．
　　 　　　　　　　　　　∴ ∠QBO=45°，．
　　 　　　　　　　　　　∴ OQ=OB=4．
　　 　　　　　　　　　　∵ 点M在第四象限，点B在y轴的负半轴上，
　　 　　　　　　　　　　∴ 点Q在x轴的负半轴上．
　　 　　　　　　　　　　∴ 无论m的值如何变化，点Q的坐标都为．
　　 　　　　　　解法二：设直线MB的解析式为（n≠0）．
　　 　　　　　　　　　　∵ 点M在直线MB上，
　　 　　　　　　　　　　∴ ．
　　 　　　　　　　　　　整理，得．
　　 　　　　　　　　　　∵ m＞0，
　　 　　　　　　　　　　∴ m+4≠0．
　　 　　　　　　　　　　解得 n=．
　　 　　　　　　　　　　∴ 直线MB的解析式为．
　　 　　　　　　　　　　∴ 无论m的值如何变化，点Q的坐标都为．

　　28．解：（1）∵ 等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，（见图6）
　　 　　　　　　∴ AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°.
　　 　　　　　　又∵ AD=AE，∠CAD=∠BAE，
　　 　　　　　　∴ △ACD≌△ABE．（SAS）
　　 　　　　　　∴ ∠1=∠2．
　　 　　　　　　∵ ∠BAC=90°，∴ ∠3+∠2=90°.
　　　　　　　　∵　FG⊥CD，　∴ ∠1+∠4=90°.
　　 　　　　　　∴ ∠3=∠4.
　　 　　　　　　∴ ∠GEM=∠GME.
　　 　　　　　　∴ EG=MG，△EGM为等腰三角形.
　　　　　　（2）答：线段BG、AF与FG的数量关系为.
　　 　　　　　　证法一：过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N.（见图6）
　　 　　　　　　　　　　∵ BN⊥AB，∠ABC=45°，
　　 　　　　　　　　　　∴ ∠FBN=45°=∠FBA.
　　 　　　　　　　　　　∵ FG⊥CD，
　　 　　　　　　　　　　∴ .
　　 　　　　　　　　　　∵ AF⊥BE，
　　 　　　　　　　　　　∴ ，∠5+∠2=90°.
　　 　　　　　　　　　　由（1）可得∠DCB=∠EBC，
　　 　　　　　　　　　　∴ ∠BFN=∠BFA.
　　 　　　　　　　　　　又∵ BF= BF，
　　 　　　　　　　　　　∴ △BFN≌△BFA．（ASA）
　　 　　　　　　　　　　∴ NF=AF，∠N =∠5．
　　 　　　　　　　　　　又∵ ∠GBN+∠2=90°，
　　 　　　　　　　　　　∴ ∠GBN=∠5=∠N．
　　 　　　　　　　　　　∴ BG=NG．
　　 　　　　　　　　　　又∵ NG= NF+FG，
　　 　　　　　　　　　　∴ BG= AF+FG．
　　 　　　　　　证法二：设CD、BE的交点为N，连结AN（见图7）.先证AF=BN，再证FG=NG.
　　　　　　　　　　　　
　　 　　　　　　证法三：过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点H（见图8）.先证AH=BE ，再证FM=FH.

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