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轴对称
一、知识点
1、轴对称与轴对称图形
（1）轴对称图形
如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做这个图形的对称轴，这时，也说这个图形关于这条直线对称.
（2）轴对称
把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做对称点。
（3）联系与区别.
区别：轴对称图形是说一个具有特殊性质的图形，是对一个图形说的；
轴对称是指两个图形之间的位置关系，是对两个图形说的.
联系：轴对称与轴对称图形都有对称轴，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.
2、轴对称的性质
（1）关于某直线对称的两个图形全等；
（2）两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相交，则交点在对称轴上；
（3）两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
注：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
3、线段的垂直平分线
（1）定义：
经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）.
如下图，直线 为线段AB的垂直平分线。
（2）性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
逆定理（判定）：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
（3）用符号语言表述，
如图：
性质：∵为线段AB垂直平分线，点P在上。
∴PA=PB
判定：∵PA=PB，P'A=P'B
∴过点P、P'的直线为线段AB的垂直平分线。
线段垂直平分线是到线段两端点距离相等的所有点的集合.
点在线段的垂直平分线上 点到线段两端的距离相等
4、简单的轴对称图形
（1）线段
①线段是轴对称图形
②对称轴有两条：一条是这条线段的垂直平分线；另一条是这条线段所在的直线。
③线段垂直平分线特征：是一条直线；垂直于已知线段；平分已知线段。
④线段的垂直平分线是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。
（2）角是轴对称图形
①对称轴是角的平分线所在的直线。
②角的平分线性质与判定。
点在角平分线上点到这个角的两边距离相等。
用符号语言表述，如图：
性质：∵P在∠AOB的平分线上，
PD⊥OB于D，PC⊥OA于C，
∴PD=PC，
判定：∵PD=PC，PD⊥OB，PC⊥OA，
∴P在∠AOB的平分线上。
5、作轴对称图形
（1）轴对称变换
定义：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.
轴对称变换同旋转变换、平移变换一样，都是图形变换的一种，轴对称变换的实质就是图形的翻折，而翻折问题往往可以看作是图形的全等问题，解这类问题的关键是利用图形的全等，找出对应线段对应角，挖掘题目的隐含条件，再利用结论使问题获解.
注意：经过变换以后，只是位置发生了变化，图形的形状和大小并未改变.
（2）作轴对称图形
例1．如图所示，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
分析：我们只要连结点A和点B，画出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和B的对称轴。而由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质，只要作出到点A、B距离相等的两点即可。
解：如图所示：
① 分别以点A、B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；
② 作直线CD。则CD为所求。
例2．如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于 直线l对称的图形。
分析：△ABC可以由三个顶点位置确定，则只要分别作这个顶点关于直线l的对称点，连结这些对称点，就得到要作的图形。
解：①过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA＇=OA，点A＇就是点A关于l的对称点；
②类似地，作出点B、C关于直线l的对称点B＇，C＇；
③连结A＇B＇、B＇C＇、C＇A＇
则△A＇B＇C＇为所求。
（3）关于坐标轴对称的点的坐标规律
①几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就
可以得到原图形的轴对称图形；
②对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要做出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称
点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于x轴对称
点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于y轴对称
点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于原点对称
6、练习题：
1．下列图形哪些是轴对称图形，如果是，请找出所有对称轴。
解答：（1）2条 （2）4条 （3）无数条 （4）1条 （5）不是轴对称图形
（6）1条 （7）1条 （8）不是轴对称图形 （9）不是轴对称图形
（10）1条 （11）2条 （12）无数条 （13）1条
2．在下图这一组中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线的空白处设计一个恰当的图形.
解答：
3．如图所示,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下一角,则展开后所得的图形是（ ）.
 
解答：C
4．如图，要在燃气管道 CD上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
分析：实际问题→数学问题
在直线CD上找一点M，使AM+BM最短。若A、B在直线CD异侧，则连结AB与CD的交点即为所求点；而本题A、B两点在CD同侧，根据轴对称的性质可使问题转化为异侧。
 
解：（1）作点A关于直线CD的对称点A＇
（2）连结A＇B交CD于点M
则M点为建抽水站处。
思考：你可否证明此时AM + BM最短？
略证：AM+BM=A′M+BM=A′B＜A′M＇+BM′=AM′+BM′
发展：在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短．
略解：
分别作点P关于OA、OB的对称点E、F
连结EF，分别交OA、OB于点C、D
则点C、D为所求
5.（1）若点M（2,a）和点N（a+b,3）关于x轴对称,试求a,b的值;
（2）若点M（2,a）和点N（a+b,3）关于y轴对称,试求a,b的值.
解：
注：横轴横不变，纵轴纵不变
6．如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)分别作出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形。
解：∵点(x，y)关于y轴的对称的点的坐标为(－x，y)
∴四边形ABCD关于y轴对称的点分别是A'(5，1)，B'(2，1)，C'(2，5)，D'(5，4)
依次连结A'B'、B'C'、C'D'、D'A'，就可得到四边形ABCD关于y轴对称的四边形A'B'C'D'
类似地，可作出与四边形ABCD关于x轴对称的图形。
点评：对于此类问题，常先求出已知图形中的一些特殊点的对称点的坐标，描出并连结这些点即可。
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