万有引力定律在天体运动中的应用·典型例题精析

[例题1]　 两颗人造卫星的质量之比m1∶m2＝1∶2，轨道半径之比R1∶R2＝3∶1．求：

(1)两颗卫星运行的线速度之比；

(2)两颗卫星运行的角速度之比；

(3)两颗卫星运行的周期之比；

(4)两颗卫星运行的向心加速度之比；

(5)两颗卫星运行的向心力之比．

[思路点拨] 　将卫星的运动近似看成匀速圆周运动，其所需向心力系万有引力，即

应用时根据实际情况选用适当公式进行分析为求解此类问题的基本方法．

[小结] 　本题是典型地把天体(或卫星)的运动视为圆周运动，并应用万有引力等于向心力解题的题目．此方法主要用于计算天体的质量，讨论天体(或卫星)的速度、角速度、周期及半径等问题．在应用以上思路解题时，一般常采用比例计算法．

[例题2]　 飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T．假如飞船要返回地面，可在轨道上某一点A处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，如图6－2所示．试求飞船由A点到B点所需的时间(已知地球半径为R0)？

[思路点拨] 　设飞船沿椭圆轨道运动时的周期为T′，因椭圆轨道

故飞船由A点到B点所需的时间为

[小结]　 分析天体运动的问题，基本方法是把天体的运动看成匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供，依此分析和求解．但同时也应注重开普勒行星运动三大定律也是解决有关天体运动的重要方法．

[例题3] 　如图6－3所示，某行星围绕太阳C沿椭圆轨道运行．它的近日点A离太阳的距离为a，行星经过近日点时的速率为vA，行星的远日点B离太阳的距离为b，求它经过远日点时速度的大小．

[思路点拨]　 尽管该题是一个椭圆轨道问题，但我们仍可以利用太阳对行星的万有引力等于行星所需的向心力来解题．但此时要注重向心力公式中的r应为该点的曲率半径．

解：设A、B点的曲率半径为r，于是有

[小结] 由于受圆周运动计算半径的习惯影响，解题者往往误认为椭圆在A、B两点的曲率半径就等于A、B两点至太阳C的距离．其实，椭圆的外形是左右对称的，A点与B点的曲率半径应该相等．