万有引力定律在天文学上的应用·典型例题解析

【例1】在天体运动中，将两颗彼此距离较近的行星称为双星，由于两星间的引力等于向心力而使它们在运动中距离保持不变，已知两个行星的质量分别为M1、M2，相距为L，求它们的角速度．

解析：如图44－2所示，设M1的轨道半径为r1，M2的轨道半径为r2，两个行星都绕O点做匀速圆周运动的角速度为ω；由于两个行星之间的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有

以上三式联立解得

点拨：双星之间的万有引力大小相等，方向相反，这两个行星之所以能在引力作用下不相互靠近而保持距离不变，是因为它们都绕着二者联线上的同一点(质心)做匀速圆周运动，并且它们的角速度相同．这就是双星的物理模型．

【例2】某星球可视为球体，其自转周期为T，在它的两极处，用弹簧秤测得某物体重为P，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，星球的平均密度是多少？

解析：设被测物体的质量为m，星球的质量为M，半径为R；在两

因星球自转物体做匀速圆周运动，星球对物体的万有引力和弹簧秤对物

根据密度的定义式可得星球的平均密度为

点拨：重力是由于地球对物体的吸引而产生的力，但是不能认为重力就是地球对物体的吸引力．严格地讲，只有在两极处，重力才等于地球对物体的万有引力；在地球的其他地方，重力都小于地球对物体的万有引力．由于重力与地球对物体的万有引力差别极小，所以通常近似视为重力等于地球对物体的万有引力．

【例3】宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离

L．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G．求该星球的质量M．

点拨：设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x，则有x2＋h2＝L2．由平抛运动规律得知，当初速增大到2倍，其水平射程也增

【例4】在地球某处海平面上测得物体自由下落高度h所需的时间为t，到某高山顶测得物体自由下落h同样高度所需时间增加了Δt，已知地球半径为R，试求山的高度H．

跟踪反馈

1．天体之间的作用力主要是_______力．

2．若已知行星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为r，运行周期为T，则太阳的质量M太＝_______．

3．在月球上以初速度V0竖直上抛一个小球，经过时间t落回到抛出点，已知月球的半径为R，试求月球的质量．

4．若已知太阳的一个行星绕太阳运转的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，则可求得

[ ]

A．该行星的质量

B．太阳的质量

C．该行星的平均密度

D．太阳的平均密度

参考答案