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共点力作用下物体的平衡（二）
知识要点：
（一）处理共点力平衡问题的常见方法和技巧
物体所受各力的作用线（或其反向延长线）能交于一点，且物体处于静止状态或匀速直线运动状态，则称为共点力作用下物体的平衡。它是静力学中最常见的问题，下面主要介绍处理共点力作用下物体平衡问题的一些思维方法。
1. 解三个共点力作用下物体平衡问题的方法
解三个共点力作用下物体平衡问题的常用方法有以下五种：
（1）力的合成、分解法：对于三力平衡问题，一般可根据“任意两个力的合力与第三个力等大反向”的关系，即利用平衡条件的“等值、反向”原理解答。
[例1] 如图1所示，一小球在纸面内往返振动，当绳OA和OB拉力相等时，摆线与竖直方向的夹角  为（ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
图1
解析：对O点进行受力分析，O点受到OA绳和OB绳的拉力  和  及小球通过绳子对O点的拉力F三个力的作用，在这三个力的作用下O点处于平衡状态，由“等值、反向”原理得， 和 的合力  与F是等值反向的，由平行四边形定则，作出 和 的合力 ，如图2所示，由图可知  ，故答案是A。
图2
（2）矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，构成一个矢量三角形；反之，若三个力矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合成必为零，因此可利用三角形法，求得未知力。
[例2] 图3中重物的质量为  ，轻细线AO和BO的A、B端是固定的。平衡时AO是水平的，BO与水平面的夹角为  。AO的拉力  和BO的拉力  的大小是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
图3
解析：因结点O受三力作用而平衡，且 与  垂直，所以三力应组成一个封闭的直角三角形，如图4所示。由直角三角形知识得：  ， ，所以选项B、D正确。
图4
（3）正弦定理法：三力平衡时，三个力可构成一封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可用正弦定理列式求解。
[例3] 如图5（a）所示，质量为 的物体用一轻绳挂在水平轻杆BC的C端，B端用铰链连接，C点由轻绳AC系住，已知AC、BC夹角为 ，则轻绳AC上的张力和轻杆BC上的压力大小分别为多少？
 
（a） （b）
图5
解析：选C点为研究对象，受力情况如图5（b）所示。由平衡条件和正弦定理可得
即得  和 
所以由牛顿第三定律知，轻绳AC上的张力大小为 ，轻杆BC上的压力大小为 。
（4）三力汇交原理：假如一个物体受到三个不平行外力的作用而平衡，这三个力的作用线必在同一平面上，而且必为共点力。
[例4] 如图6所示，两光滑板AO、BO与水平面夹角都是  ，一轻质细杆水平放在其间，用竖直向下的力F作用在轻杆中间，杆对两板的压力大小为 。
图6
解析：选轻杆为研究对象，其受三个力而平衡，因此这三力必为共点力（汇交于  ），作出受力分析如图7所示。
图7
由图可知， 与 对称分布，所以  ，且这两力的夹角为 ，其合力  应与F相等，以 、 为邻边构成的平行四边形为菱形，其性质为对角线垂直且平分，根据三角形知识，有 
又因为 
所以 
2. 解多个共点力作用下物体平衡问题的方法
多个共点力作用下物体的平衡问题，常采用正交分解法。可将各力分别分解到  轴上和  轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件，即  、  求解，值得注重的是，对 、 方向选择时，要尽可能使落在 、 轴上的力多，且被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力。
[例5] 在机械设计中亦常用到下面的力学原理，如图8所示，只要使连杆AB与滑块m所在平面间的夹角 大于某个值，那么，无论连杆AB对滑块施加多大的作用力，都不可能使之滑动，且连杆AB对滑块施加的作用力越大，滑块就越稳定，工程力学上称之为“自锁”现象。为使滑块能“自锁”， 应满足什么条件？（设滑块与所在平面间的动摩擦因数为  ）
图8
解析：滑块 的受力分析如图9所示，将力F分别在水平和竖直两个方向分解，则：在竖直方向上  ，在水平方向上  由以上两式得：
因为力F可以很大，所以上式可以写成： 
故 应满足的条件为 
图9
3. 研究对象的灵活选择——整体法与隔离法
用整体法还是用隔离法，其实质就是如何合理选取研究对象，使受力分析和解题过程简化，对一个较为复杂的问题，两者应灵活选用、有机结合，才能达到迅速求解的目的。
[例6] 在粗糙水平面上有一个三角形的木块，在它的两个粗糙斜面上分别放有两个质量  和  的小木块，  ，如图10所示，已知三角形木块和两个小木块都是静止的，则粗糙水平面对三角形木块（ ）
A. 有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右
B. 有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左
C. 有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因 、 和  、  的数值并未给出
D. 以上结论都不对
图10
解析：因为三角形木块和两个小木块都静止，所以可将三者看成一个整体如图11所示，其在竖直方向受重力和水平面的支持力，合力为零。在水平方向没有受其他力的作用，所以整体在水平方向上没有相对水平面的运动趋势，因此粗糙水平面对三角形木块没有静摩擦力。
图11
[例7] 如图12所示，两块相同的竖直木板之间有质量均为 的四块相同的砖，用两个大小为F的水平压力压木板，使砖块静止不动。设所有接触面均粗糙，则第3块砖对第2块砖的摩擦力为（ ）
A. 0 B.  C. D. 
图12
解析：将4块砖为整体进行受力分析如图13所示，可知两侧木板对砖的静摩擦力均为竖直向上，且大小为 ；再把第1、2两块砖为整体进行受力分析如图14所示，由图可知木板对砖的静摩擦力与砖的重力 是一对平衡力，这表明第3块与第2块砖之间没有静摩擦力。所以选项A正确。
图13 图14
4. 求共点力作用下物体平衡的极值问题的方法
共点力作用下物体平衡的极值问题是指研究平衡问题中某个力变化时出现的最大值或最小值，处理这类问题常用解析法和图解法。
[例8] 如图15所示，物体的质量为2kg，两根轻细绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，且AC绳水平时，两绳所成角为  。在物体上另施加一个方向与水平线成  的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围。
图15
解析：作出A受力示意图，并建立直角坐标如图16所示，由平衡条件有
图16
 
由以上两式得：  ①
及  ②
要使两绳都能绷直，需有  ③  ④
由①③两式得F有最大值 
由②④两式得F有最小值 
综合得  的取值范围为 
[例9] 重量为G的木块与水平地面间的动摩擦因数为 ，一人欲用最小的作用力F使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？
解析：由于  ，所以不论  如何改变，  与 的合力 的方向都不会发生变化，如图17（甲）所示，合力 与竖直方向的夹角一定为  。
 
（甲） （乙）
图17
由木块做匀速运动可知F、F1和G三力平衡，且构成一个封闭三角形，当改变F的方向时，F和F1的大小都会发生改变，由图17（乙）知，当F和F1的方向垂直时F最小。故由图中几何关系得  。
5. 共点力平衡问题中的“变”与“不变”
物体在共点力作用下处于平衡状态时，即使在一些量变的过程中某些本质并不变。因此寻找变化中保持不变的部分，乃是解决平衡问题的一种重要方法。
[例10] 三个相同的支座上分别搁着三个质量和直径都相等的光滑圆球a、b、c，支点P、Q在同一水平面上，a球的重心  位于球心，b球和c球的重心  、  分别位于球心的正上方和球心的正下方，如图18所示，三球均处于平衡状态，支点P对a球的弹力为  ，对b球和c球的弹力分别为  、  ，则（ ）
A.  B. 
C.  D. 
图18
解析：本题的干扰因素是三个球的重心在竖直方向的位置发生了变化（a在球心、b在球心之上、c在球心之下）。但是三个球的质量和直径都相等，重力方向均竖直向下，而且支点的支持力方向也完全相同，所以它们受力情况完全相同，支持力大小也必然相同，所以选项A正确。
评析：在变化中求不变的思想是最普遍的物理思想，本题中圆球重心的高度虽然发生了变化，但问题的本质——圆球的受力情况并不变化，所以支点P对三球的弹力应相同。
（二）轻杆受力问题探讨
轻杆受力问题历来是教学的难点。同学们认为：杆的受力必定沿杆的方向，即使知道不一定沿杆的方向，也感到难以分析清楚，在此笔者就轻杆受力问题作以下探讨。
1. 杆受力处于平衡状态，一端可以自由转动，则另一端所受合力必沿杆方向。
[例11] 如图19所示，AB为水平轻杆，A端用绞链与墙壁相连，B端用轻绳CB拉着，且与AB成  角，下端挂一重为10N的物体，求AB杆受到的作用力？
图19
析与解：选择轻杆为研究对象，绳BC、重物对杆的合力必沿杆方向，所以轻易求得 。
此时要害是AB杆受力方向。因为A端用铰链相连，可以自由转动，若不沿AB，则杆将发生转动，如图20所示，故一端可以自由转动的轻杆，另一端所受合力必沿杆方向。
图20
2. 轻杆受力处于平衡状态，一端固定时，杆可以承受来自各个方向的力，从而杆的受力不一定沿杆方向，应具体问题具体分析。
[例12] 如图21，一轻杆A端固定在墙上，另一端B固定着一个重为G的小球处于静止状态。求轻杆对小球的力。
图21
析与解：此题中轻杆一端固定，所以杆受力不一定沿杆方向，或拉、或推、或撬，应根据实际情况分析。由于小球静止，受力平衡，所以杆对小球的力应竖直向上，与小球的重力平衡。
[例13] 水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端固定在墙上，另一端跨过滑轮后挂着一质量为 的物体，并与横梁夹角为 ，如图22所示，则滑轮受到作用力为（  ）（ ）
A. 50N B.  N C. 100N D.  N
图22
析与解：乍一看，此题与例1相似，很多学生认为滑轮受到绳的压力沿杆的方向，将重力沿绳、杆方向分解得到错误答案D。究其根本原因是没有熟悉到对于一段不计质量及摩擦的绳而言，绳中的张力处处相等，即BC段张力为100N；更没有主意到杆是插在墙壁里固定不动的，可以承受来自各个方向的力，即杆的受力不一定沿杆的方向，滑轮受到绳子的作用力实际上是上下两段绳拉力的合力，为100N。应选择C。
[例14] 如图23，AC为竖直墙面，AB为均匀横梁，其重为G，处于水平位置，BC为支撑横梁的轻杆，它与竖直方向成 角，A、B、C三处均用铰链连接，则轻杆受力为（ ）
A.  B.  C.  D. 
图23
析与解：显然此题应用杠杆平衡来求，难在判定轻杆BC对AB作用力的方向。我们现在选择BC为研究对象，由于杆的一端C用铰链连接，可自由转动，故杆B端受力一定沿杆方向，否则将不能满足平衡条件。判定出BC杆对AB横梁的作用力沿BC杆，利用杠杆平衡不难求得正确答案为D。读者不妨思考一下，若A端固定不能转动或C端固定不能转动，情况将变得很复杂。
综上所述，对于轻杆受力问题，首先应明确一端是否固定，若不固定，则另一端合力必沿杆方向，若固定，则可以受任何方向的力，应根据实际情况（如受力平衡等）加以分析。
（三）图解法解三力动态平衡问题
1. 一个力的方向不变，第二个力的方向变化，求两个力的大小变化情况。
[例15] 不可伸长的轻细绳AO、BO的结点为O，在O点悬吊电灯L，OA绳处于水平，电灯L处于静止，如图24所示。假如保持O点位置不变，改变OA的长度，使A点逐渐上升至C点，随A点逐渐上移，细绳OA的拉力大小如何变化？
图24
分析：取O点为研究对象，受灯的拉力F（大小等于电灯的重力G）、OA绳的拉力F1、OB绳的拉力F2，如图25所示，因为三力平衡，所以F1、F2的合力  与G等大反向；当A点逐渐上升时，拉力F2的方向不变，F1的方向发生变化，当F1变为  、  时， 变为  、  ，但两力的合力不变，即以 、 为邻边的平行四边形的对角线 始终不变，由图26可知，OA绳的拉力F1先减小后增大，OB绳的拉力F2一直减小。
 
图25 图26
2. 一个力的大小方向不变，第二个力的方向变化，求第三个力的变化情况。
[例16] 如图27所示，用A、B两只弹簧秤挟橡皮条的D端（O点固定），当D端到达E处时，  ；然后保持A的读数不变，当角 由图中位置逐渐减小时，欲使D端仍在E处，可采用的方法是（ ）
A. 增大B的读数，减小  角
B. 减小B的读数，减小 角
C. 减小B的读数，增大 角
D. 增大B的读数，增大 角
图27
分析：E点受三个力，橡皮绳的拉力  ；弹簧A的拉力F1，弹簧B的拉力 ，如图28所示。因为三力平衡，所以 、 的合力  与 等大反向。当 大小不变，由 变为 时， 变为 两个力的合力保持不变，由图28可以看出， 角减小， 减小，答案应选B。
图28
3. 一个力的大小方向不变，另两个力的方向都变化，求两个力的大小变化情况。
[例17] 如图29所示，建筑工人要将建筑材料运送到高处，常在楼顶装一个定滑轮（图中未画出），用绳AB通过滑轮将建筑材料提到某一高处，为了防止建筑材料与墙壁相碰，站在地面上的工人还另外用绳BC拉住材料，使它与墙面保持一定的距离  。若不计两根绳的重力，在建筑材料提起的过程中，绳AB和BC的拉力 和 的大小变化情况是（ ）
A. F1增大， 增大 B. 增大， 不变
C. 增大， 减小 D. 减小， 减小
图29
分析：B点受三个力，AB绳的拉力 ，BC绳的拉力 ，材料对B点的拉力F（大小等于材料的重力），如图30所示，因为三力平衡，所以力 、 的合力 与F等大反向。在建筑材料提起的过程中，AB绳与水平方向的夹角减小，BC绳与水平方向的夹角变大，拉力方向如图中 、 所示，但两力的合力保持不变，由图30可以看出拉力F1增大，F2增大，答案应选A。
图30
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 如图1所示，当绳子的悬点缓慢向右移到  点时，关于绳子AO和BO张力的合力变化正确的是（ ）
A. 数值变大，方向变化
B. 数值不变，方向变化
C. 数值变小，方向不变
D. 数值不变，方向不变
图1
2. 如图2所示，绳子MO与NO所能承受的最大拉力相同，长度MO NO，则在不断增加重物G的重力过程中（ ）
A. ON先被拉断
B. OM先被拉断
C. OM与ON同时被拉断
D. 无法确定哪条绳子先被拉断
图2
3. 如图3所示，OA为和电灯相连的电线，OB为水平细绳，为了降低电灯，把细绳重新固定在图中  点位置且保持细绳水平，设电线受的拉力为  ，细绳所受拉力为  ，则在此过程中 和 的大小变化是（ ）
A. 增大， 不变 B. ， 都减小
C. 减小， 不变 D. ， 都增大
图3
4. 如图4所示，斜面上放一物体A，恰能在斜面上保持静止，假如在物体A的水平上表面再轻放一重物，下列说法中正确的是（ ）
A. 物体A将开始加速下滑
B. 物体A可能保持静止
C. 物体A所受的摩擦力增大
D. 物体A所受的合力增大
图4
5. 如图5所示，一倾斜墙面下有一质量为M的物体A受到一竖直向上的推力F的作用，处于静止状态，则（ ）
A. A可能受到一个力的作用
B. A可能受到二个力的作用
C. A可能受到三个力的作用
D. A可能受到四个力的作用
图5
6. 人站在自动扶梯上，正随扶梯匀速上升，如图6所示，下述判定正确的是（ ）
A. 人所受合力方向如图中速度  的方向
B. 人在水平方向受向右的摩擦力作用
C. 人只在竖直方向受力的作用且合力为零
D. 人在竖直方向所受力的合力不为零，但在 方向上合力为零
图6
7. 如图7所示，在拉力F的作用下物体A向右运动过程中，物体B匀速上升，若A对地压力为 ，A所受摩擦力为 ，绳子对A的拉力为 ，那么在运动过程中，  、F、  的变化情况，正确的是（ ）
A. 增大，F增大， 增大
B. 减小， 减小， 减小
C. 增大， 增大， 不变
D. 增大，F减小， 不变
图7
8. 如图8所示，把球A夹在竖直墙和木板BC之间，不计摩擦。球对墙的压力为  ，球对板的压力为  ，在将板BC逐渐放至水平的过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 、 都增大
B. 、 都减小
C. 增大， 减小
D. 减小， 增大
图8
9. 如图9所示滑轮装置，滑轮组处于静止状态，如将悬点O右移，为了使滑轮组仍然保持静止，可以用的做法是（绳子和滑轮的质量不计，摩擦不计）（ ）
A. 适当增加 或减小
B. 适当增加 或减小
C. O点向右移得越多， 减小得越多
D. O点向右移得越多， 减小得越多
图9
10. 如图10所示，放在水平桌面上的木块A处于静止状态，所挂的砝码和托盘的总质量为0.6kg，弹簧秤读数为2N，滑轮摩擦不计。若轻轻取走盘中的部分砝码，使总质量减少到0.3kg，将会出现的情况是（ ）（ ）
A. 弹簧秤的读数将变小
B. A仍然静止不动
C. A对桌面的摩擦力不变
D. A所受的合力将要变大
图10
11. 如图11所示，A物体重2N，B重4N，中间用弹簧连接，弹力大小为2N，此时吊在A物体的绳的张力为 ，B对地的压力为 ，则 、 的数值可能是（ ）
A. 7N，0N B. 4N，2N C. 1N，6N D. 0N，6N
图11
12. 如图12所示，在绳下端挂一物体，用力F拉物体使悬线偏离竖直方向的夹角为 ，且保持平衡，若保持 角不变，当拉力F与水平方向的夹角 为多大时，F有极小值（ ）
A.  B.  C.  D. 
图12
二. 填空题：
13. 如图13所示，A物体的质量  ，B物体  ，各接触面间的摩擦系数均为  ，现用水平向右的力拉B匀速运动，此时拉力F应为 N。（  取  ）
图13
14. 如图14所示，台秤上的水和杯子共重0.5kg，水内浸没一质量为430g，体积为20cm2的物体，并且通过滑轮用质量为200g的 拉着静止不动，不计摩擦及绳子质量，台秤的读数为 kg。
图14
15. 如图15（a）所示，物体A重40N，物体B重20N，B用水平绳OC系住，A与B、A与地面的摩擦系数相同，若用32N水平力 拉A时恰能将A拉出，那么当绳子与水平方向夹角  时，要用倾角  的拉力  将A拉出，如图15（b），则F2的大小至少应为 N。
图15
16. 如图16所示，质量为 的均匀细杆AB静止在光滑的半球形容器中，设杆与水平方向的夹角为 ，则在A点给杆的支持力大小为 ，容器上C点给杆的支持力大小为
。
图16
【试题答案】
1. D 2. A 3. B 4. BC 5. BD 6. C 7. C 8. B
9. AD 10. B 11. BD 12. C 13. 50N 14. 0.73 15. 27.1
16.  ； 
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