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万有引力定律在天文学上的应用
知识要点
（一）万有引力定律在天文学上的应用
1. 求天体质量M、密度  的方法：
通过观测天体卫星运动的周期T、轨道半径r，把卫星的运动看成匀速圆周运动，根据向心力来源于万有引力得：  ∴ 
假如知天体的半径R可得天体的体积为 
∴  （假如卫星在天体表面运行，  ，  ）。
2. 研究天体运动情况的一般方法：把天体运动看成匀速圆周运动，向心力来源于万有引力，即： 
根据研究的实际情况选用恰当的公式进行分析，必要时还可用到物体在天体表面时受到的引力等物体的重力。
即： 
3. 海王星及冥王星的发现：
（二）人造卫星、宇宙速度
1. 第一宇宙速度（环绕速度）：7.9km/s。是地球卫星的最小发射速度。
推导（1）：当卫星在地球四周运行时，  ，由  得 
推导（2）：当卫星在地球四周运行时，  ， 。
由  得 
2. 第二宇宙速度（脱离速度）：11.2km/s，使物体可以摆脱地球吸引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星（或飞到其他行星上去）的最小发射速度。
3. 第三宇宙速度（逃逸速度）：16.7km/s，使物体摆脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去的最小发射速度。
（三）卫星绕行速度、角速度、周期与半径的关系
1. 由  得：  即  ；（r越大v越小）
可见第一宇宙速度也可以说成是卫星环绕地球的最大速度。
2. 由 得：  即  ；（r越大  越小）
3. 由 得： 即  （r越大T越大）
（四）地球同步卫星
运转周期与地球自转周期相同（T=24h），所有的地球同步卫星的轨道平面均在赤道平面内，且轨道半径和环绕速度均相同。
推导：由 得：  ∵ T恒定 ∴ r恒定
（五）卫星的运行及规律
一般情况下运行的卫星，其所受万有引力不刚好提供向心力，此时，卫星的运行速率及轨道半径就要发生变化，万有引力做功，我们将其称为不稳定运行即变轨运动；而当它所受万有引力刚好提供向心力时，它的运行速率就不再发生变化，轨道半径确定不变从而做匀速圆周运动，我们称为稳定运行。
对于稳定运行状态的卫星，① 运行速率不变；② 轨道半径不变；③ 万有引力提供向心力，即  成立。其运行速度与其运行轨道处于一一对应关系，即每一轨道都有一确定速度相对应，而不稳定运行的卫星则不具备上述关系，其运行速率和轨道半径都在发生着变化。
（六）同步卫星的四定
地球同步卫星是相对地球表面静止的稳定运行卫星。
1. 地球同步卫星的轨道平面，非同步人造地球卫星其轨道平面可与地轴有任意夹角。而同步卫星一定位于赤道的正上方，不可能在与赤道平行的其他平面上。
2. 地球同步卫星的同期：地球同步卫星的运转周期与地球自转周期相同。
3. 地球同步卫星的轨道半径：据牛顿第二定律有  ，得  ，  与地球自转角速度相同，所以地球同步卫星的轨道半径为  其离地面高度也是一定的。
4. 地球同步卫星的线速度：地球同步卫星的线速度大小为  ，为定值，绕行方向与地球自转方向相同。
三. 有关行星运动的一些解题方法
1. 距离问题
已知地球半径约为  ，又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为 m。（结果保留一位有效数字）
解：月球绕地球运转一周的时间约为30天，合  。万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律  ①
对地球上质量为  的物体有  ②
①②联立解得  
2. 周期问题
组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，假如超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道四周的物体做圆周运动，由此能得到半径为r，密度为 ，质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T，下列表达式中正确的是：
A.  B.  C.  D. 
解析：万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律
解得
又质量  ，代入上式得
所以正确选项为A、D
3. 质量问题
为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M，已知地球半径  ，地球质量  ，日地中心的距离  ，地球表面处的重力加速度  ，1年约为  ，试估算目前太阳的质量M。
解析：地球绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有 ①
对地球表面处质量为 物体有  ②
①②联立解得 
4. 密度问题
中子星是恒星演化过程中一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观察到它的自转周期为  。问该中子星的最小密度应为多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。（引力常数  ）
解析：考虑中子星赤道一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体一起旋转所需的向心力时，中子星才不会瓦解。设中子星的密度为 ，质量为M，半径为r，周期为T，位于赤道处的小块物质质量为m，则有 ，又因为 ，由以上各式解得 
5. 速度问题
俄罗斯“和平号”空间站在人类航天史上写下了辉煌的篇章，因不能保障其继续运行，于2001年3月20号坠入太平洋，坠落时地面指挥系统使空间站在极短的时间内向前喷出部分高速气体，使其速度瞬间变小，在万有引力的作用下坠落。设该空间站在离地面高度为h的轨道上绕地球做匀速圆周运动，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R。求该空间站做圆周运动时的速度？
解析：空间站绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有  ①
又在地面表面四周质量为 物体有 ②
①②联立解得 
6. 加速度问题
经天文学家观察，太阳在绕着银河系中心圆形轨道上运行，轨道半径约为  ，转动一周的时间约为  。太阳做圆周运动的向心力是来自它轨道内侧的大量星体的引力，可以把这些星体的全部质量看作集中在银河系中心来处理问题。求：（1）从给出的数据来计算太阳轨道内侧这些星体的总质量M。（2）太阳在圆周运动轨道上的加速度a。
解析：
（1）设太阳质量为m，轨道半径为R，周期为T，由牛顿第二定律有 
所以 
（2）太阳在圆周运动轨道上的加速度就是太阳的向心加速度，所以有 
 。
通过以上分析可见，这五种题型表面上看各不相同，每种类型都是一个独立的个体，但在解法上都用了牛顿第二定律知识，即万有引力提供向心力，  。
四. 万有引力定律在圆周运动中的应用
高中阶段，万有引力定律主要应用于分析天体运动和人造卫星问题。处理此类问题的基本方法：（1）将天体运动和人造卫星的运动近似看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供，即  ，应用时根据实际情况选择不同的关系式。（2）物体在任何天体表面受到的重力近似等于万有引力，即 ，其中R是天体半径。在实际应用中，形形色色的问题又可以演化为下面三个模型。
1. “点”绕“点”的问题。
此类问题中做圆周运动的天体及提供向心力的天体，当两者间距远大于各自形体大小时，均视为质点。
有 
此时轨道半径r等于两天体间距离。
例1：已知地球绕太阳的公转轨道半径为  ，公转周期为  ，万有引力恒量 。试估算太阳的质量是多少？
解析：设太阳质量为M，地球质量为m，地球到太阳的距离为r，公转周期为T。
由万有引力提供向心力，对地球
解得 
2. “点”绕“球”的问题。
此类问题中做圆周运动的物体可视为质点，而提供向心力的天体不能视为质点。有 ，此时轨道半径  ，当物体在天体近表面飞行时，有  ， 。
例2：已知一颗近地卫星的周期约为5100s。今要发射一颗地球同步卫星，它离地面高度约为地球半径的多少倍？
解析：设地球质量为M，卫星质量为m，地球半径为R，同步卫星离地面高度为h，近地卫星、同步卫星的周期分别为T1、T2。
由万有引力提供向心力有
对近地卫星  （1）
对同步卫星  （2）
由  得  ，代入数据可得 
3.“点”在“球”上的问题
此类问题中物体处于天体表面，随天体而同步转动。有 
 ，此时轨道半径 ，并且两者具有相同的周期。
例3：某行星一昼夜运动时间  ，若用一弹簧秤去测量同一物体的重力，结果在行星赤道上是在两极处的90%。已知万有引力恒量 ，若行星能看做球体，则它的平均密度为多少？
解析：设行星质量为M，物体质量为m，行星半径为R。
在两极对物体有：  ①
在赤道对物体有：  ②
其中 
解得：  ，又有行星的体积 
所以密度  
【模拟试题】
1. 设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比（ ）
A. 地球与月球间的万有引力将变大
B. 地球与月球间的万有引力将变小
C. 月球绕地球运动的周期将变长
D. 月球绕地球运动的周期将变短
2. 地球同步卫星到地心的距离r可由  求出。已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则（ ）
A. a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度
B. a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度
C. a是赤道周长，b是地球自转的周期，c是同步卫星的加速度
D. a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度
3. 用m表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，h表示它离地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加速度， 表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受地球对它的万有引力的大小（ ）
A. 等于0 B. 等于 
C. 等于  D. 以上结果都不对
4. 中子星是由密集的中子组成的星体，具有极大的密度。通过观察已知某中子星的自转速度  ，该中子星并没有因为自转而解体，根据这些事实人们可以推知中子星的密度。试写出中子星的密度最小值的表达式为 ，计算出该中子星的密度至少为 kg/m3。（假设中子通过万有引力结合成球状星体，保留2位有效数字）
5. 假设站在赤道某地的人，恰能在日落后4小时的时候，观察到一颗自己头顶上空被阳光照亮的人造地球卫星，若该卫星是在赤道所在平面内做匀速圆周运动，又已知地球的同步卫星绕地球运行的轨道半径约为地球半径的6.6倍，试估算此人造地球卫星绕地球运行的周期为 s。
6. 三颗人造地球卫星A、B、C绕地球作匀速圆周运动，如图所示：已知  ，则三个卫星（ ）
A. 线速度关系：  B. 周期关系： 
C. 向心力大小：  D. 半径与周期关系： 
7. 宇航员在一行星上以速度为v0竖直上抛一个物体经t秒钟后落回手中，已知该行星半径为R，要使物体不再落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少应是（ ）
A.  B.  C.  D. 
8. 同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星（ ）
A. 它可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同的值
B. 它可以在地面上任一点的正上方，但离地心的距离是一定的
C. 它只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同值
D. 它只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的
9. 地球绕太阳公转的周期为T1，轨道半径为R1，月球绕地球公转的周期为T2，轨道半径为R2，则太阳的质量是地球的质量的 倍。
10. 已知地球的半径约为 ，又知月球绕地球的运动可以近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离为 m。（结果保留一位有效数字）
11. 若已知行星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引力恒量为G，则由此可求出（ ）
A. 某行星的质量 B. 太阳的质量 C. 某行星的密度 D. 太阳的密度
12. 假如地球自转速度加快到使赤道上的物体对地面正好没有压力，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，求地球的自转角速度？
【试题答案】
1. BD 2. AD 3. B 4.  ；  5. 
6. ABD 7. C 8. D 9.  10.  11. B
12. 
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