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万有引力定律在天文学上的应用1
1．（1997年全国）某行星的一颗小卫星在半径为r的圆轨道上绕行星运动，运行的周期是T，已知引力常量为G，这个行星的质量是________．
2．（2001年春季）两个星球组成双星,它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动,现测得两星中心距离为R,其运动周期为T,求两星的总质量．
3．行星的平均密度是ρ,靠近行星表面的卫星的周期是T,试证实ρT2为一个常数．
4．设想有一宇航员在某行星的极地上着陆时,发现物体在当地的重力是同一物体在地球上重力的0．01倍,而该行星一昼夜的时间与地球相同,物体在它赤道上时恰好完全失重．若存在这样的星球,它的半径R应多大?
5．质量为m的物体在离地某高处的重力是它在地表四周所受重力的一半,求物体所处的高度．（已知地球的平均半径为R）
参考答案:
1．分析:本题考查应用万有引力定律计算天体质量,行星对卫星的引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力．
解:由于 G  =m  r,得M=  ．
2．分析:此为天体运动的双星问题,除两星间的作用外,其他天体对其不产生影响．
两星球周期相同,有共同的圆心,且间距不变,其空间分布如右图所示．
解:设两星质量分别为M1和M2,都绕连线上O点做周期为T的圆周运动,两星到圆心的距离分别为L1和L2,由于万有引力提供向心力．
故有 G  ①
G  ②
由几何关系知：L1 L2=R ③
联立解得 M1 M2= 
3．分析：将行星看做一个球体，卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供．
解:设半径为R,则密度ρ与质量M、体积V的关系为
M=ρV=ρ  πR3
对卫星,万有引力提供向心力
整理得ρT2=  为一常量．
4．分析:题设条件指出,物体在赤道上恰好完全失重,这是由于该星球自转所造成的．在赤道平面物体所受星球的万有引力恰好等于它随星球
自转所需向心力．随物体向星球极地移动,其视重将增大．在极地位置,物体所需向心力为零．
解:设行星的半径为R,在赤道上质量为m的物体随星体自转,物体受力如右图所示,根据牛顿第二运动定律得mg′—FN=mω2R
依题FN=0,所以g′=ω2R．
在极地地区物体重力仅为地球上重力的0．01倍,可知g′=0．01g
自转周期与地球相同, 即T′=T=8．64×104 s,
可知该星球半径为
5．分析:本题考查地球表面物体所受重力的大小与万有引力之间的关系．物体所受的重力可近似看成等于地球对它的万有引力．
解:在地面四周有G1=G  ,
在离地h高度处有 G2=G  ,
由题意知  =2,
解得：h=（  —1）R．
万有引力定律在天文学上的应用2
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．有A、B两颗行星，它们各有一个运行高度不计的卫星a、b,两卫星环绕运行的周期分别为Ta、Tb,则两行星的平均密度之比ρa/ρb等于
A．Ta2/Tb2 B．Tb2/Ta2
C．Ta/Tb D． 
2．人造地球卫星在圆形轨道上环绕地球运转，它的运动速度、周期和轨道半径的关系是
A．半径越大，速度越大，周期越大
B．半径越大，速度越小，周期越大
C．半径越大，速度越大，周期越小
D．半径越大，速度越小，周期越小
3．有一双星之间的距离为L，质量分别为M1、M2，轨道中心距离双星分别是R1、R2，他们的角速度为ω，则下列说法中正确的是…
A．它们的周期之比为R2/R1
B．它们的质量之比为R22/R12
C．它们的线速度之比为M22/M12
D．它们的向心加速度之比为M2/M1
4．若已知某行星绕太阳公转的半径为r,公转周期T，万有引力恒量G，由此可求…
A．某行星质量 B．太阳的质量
C．某行星的密度 D．太阳的密度
5．下列说法中正确的是
A．天王星偏离根据万有引力计算的轨道，是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
B．只有海王星是人们依据万有引力定律计算轨道而发现的
C．天王星是人们依据万有引力定律计算轨道而发现的
D．以上均不正确
6．用m表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，h表示它离地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加速度，ω0表示自转的角速度，则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小:
①等于零 ②等于 
③等于m  ④以上结果都不对
以上说法中正确的是
A．①② B．②③ C．①③ D．④
7．地球表面上的物体随地球的自转做圆周运动，圆周运动的向心力是由地球对物体的引力提供的，假如地球自转的周期变小，用弹簧秤称量物体的重力，则弹簧秤的示数
Ａ．变小 Ｂ．变大
Ｃ．可能不变 Ｄ．一定不变
8．2001年10月22日，欧洲航天局由卫星观测发现银河系中心存在一个超大型黑洞，命名为MCG6－30－15，由于黑洞的强大引力，四周物质大量掉入黑洞，假定银河系中心仅此一个黑洞，已知太阳系绕银河系中心匀速运转，下列哪一组数据可估算该黑洞的质量
A．地球绕太阳公转的周期和速度
B．太阳的质量和运行速度
C．太阳质量和到MCG6－30－15的距离
D．太阳运行速度和到MCG6－30－15的距离
二、非选择题（共28分）
9．（6分）假如把地球绕太阳公转看做是匀速圆周运动，轨道平均半径约为1．5×108 km，已知万有引力常量G=6．67×10－11 N·m2/kg2，则可估算出太阳的质量大约是________ kg（结果取一位有效数字）．
10．（6分）（北京春季高考）地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%，经估算，地核的平均密度为______ kg/m3（结果取两位有效数字，引力常量G=
6．7×10－11 N·m2/kg2、地球半径R=6．4×106 m）
11．（8分）（2001年京、皖、蒙春季高考）两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量．
图6－3
12．（8分）如图6－3所示，铅球A的半径为R，质量为M，另一质量为m的小球B，两球球心的距离为d，若在铅球内挖一个半径为R/2的球形空腔，空腔的表面与铅球球面相切，则A、B之间的万有引力多大？
参考答案
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．解析：由万有引力提供卫星的向心力，则
F=G  =m  R，
得：G   =  ，
即ρ= ,即  = 
答案：B
2．解析：由F=G =m  ,得v=  所以A错，B正确，又由G =m ·R得T=2π  ,即R越大，T也越大，故C、D错，正确答案为B．
答案：B
3．解析：因为双星体是以其连线中的某点为圆心而做同步的圆周运动，故周期相等，万有引力提供向心力，则
G  =M1ω2R1=M2ω2R2
所以  ，故B错．
又因为G =M1  =M2 
 =  ,故C错．
G =M1a1=M2a2
所以  =
故D正确．
答案：D
4．解析：设M为太阳的质量，m′为行星的质量，行星绕太阳做匀速圆周运动所需的向心力为
F=m′ω2r=m′ r
而行星的向心力由万有引力提供，所以
G  =m′ r
由此可得：M=  ,故B正确．
答案：B
5．解析：1781年3月13日晚，恒星天文学之父——赫歇耳用自制的大望远镜发现天王星．海王星是继天王星之后发现的第二颗新行星，但与天王星不同，海王星的发现是神机妙算的结果．同理，冥王星也是天文学家分析推算出来的．所以本题A为正确答案．
答案：A
6．解析：由F引=G =mg，
得 
故通讯卫星受到的万有引力大小
F=mg=
通讯卫星的角速度等于地球自转的角速度，故
F引=mω02（R h）
由g0=  和G  =mω02（R h）
得：（R h）= 
所以它受到的引力也可以表示为：
F=m 
答案：B
7．解析：因物体所处的地理位置不详（纬度不知），则弹簧秤的示数可能变小，也可能不变，故C选项正确．
答案：C
8．解析：G  =m  ,M= ．故D选项正确．
答案：D
二、非选择题（共28分）
9．解析：地球绕太阳公转时所需的向心力由万有引力提供，轨道半径r=1．5×108 km=
1．5×1011 m,公转周期T=365×24×3600 s=3．2×107 s，则
G =m（  ）2r，其中m为地球质量
M= =2×1030 kg
答案：2×1030 kg
10．解析：题目中将地核的体积和质量分别与地球的体积和质量联系起来，本身就对解题思路作了明显的提示，即先求地球的密度再求地核的密度，由于是估算，可以利用地球表面的重力加速度与地球质量、半径的关系进而确定地球的密度，设g为地球表面的重力加速度，由mg=  得：g=G  =G πR3ρ/R2,ρ=  ．
ρ=  kg/m3
=5．5×103 kg/m3
据题设  =0．34即  =0．34
又  =0．16得地核平均密度
ρ1=  ρ= ×5．5×103 kg/m3=1．2×104 kg/m3
答案：1．2×104
点评：（1）在一些天体运行方面的估算题中，常存在一些隐含条件，应加以利用，如在地球表面物体受到地球的引力近似等于重力，地面四周的重力加速度g=9．8 m/s2；地球自转周期T=24 h，公转周期T′=365天，月球绕地球运动的周期约为30天等．
（2）在一般计算中常采用G =mg近似代换．
11．解析：设两个星球的质量分别为m1和m2，都绕连线上O点做周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O点的距离分别为L1和L2，如图所示，则万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得
G  =m1（ ）2L1①
G =m2（ ）2L2②
L1 L2=R③
由①②③式联立，解得两星的总质量m1 m2= 
答案：
12．解析：对本题，有的同学轻易这样求解：
先求出空腔A球的重心位置C，令O2C=r，然后用公式F=G  计算（M′为挖去空腔后球A的质量），这种做法是错误的，因为空腔球A即不能视作质点，也不是质量均匀分布的球体，故不能直接运用万有引力定律公式进行计算，正确的解法是：
设想将球A中被挖出的半径为R/2的小球放回A中，使之成为完整的整体，该小球的质量为m′,则
 ,即m′= 
据叠加原理，质量为M的实心球体与B之间的万有引力，应当等于半径为R/2（质量为M/8）的小球体及空腔球体（质量为7M/8）与B之间万有引力的矢量和，由此可得出
F=G －G·  =GMm 
答案：GMm
点评：（1）公式F=G  只适用于计算两个质点（或均匀球体）之间的万有引力．
（2）本题所用“填补法”是解决物理问题的一种常用方法．
万有引力定律在天文学上的应用3
1．若已知行星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引力恒量为G，则由此可求出（ ）
A．某行星的质量 B．太阳的质量
C．某行星的密度 D．太阳的密度
【解析】 根据万有引力充当行星的向心力，得GMm/r2＝m4π2r/T2，所以太阳的质量为M＝4π2r3／GT2．
要求太阳的密度还需要知道太阳的半径．
根据行星绕太阳的运动，既不能求行星的质量也不能求行星的密度．
【答案】 B
2．已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M地（引力常量G为已知）（ ）
A．月球绕地球运动的周期T及月球到地球中心的距离R1
B．地球绕太阳运行周期T2及地球到太阳中心的距离R2
C．人造卫星在地面四周的运行速度v3和运行周期T3
D．地球绕太阳运行的速度v4及地球到太阳中心的距离R4
【解析】 要求地球的质量，应利用围绕地球的月球、卫星的运动．根据地球绕太阳的运动只能求太阳的质量，而不能求地球的质量，B、D选项错．设地球质量为M，卫星或月球的轨道半径为R，则有G  R
所以，地球的质量为M＝ 
再由v＝  R得R＝  ，
代入上式得M＝ 
所以，A、C选项正确．
【答案】 AC
3．若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比M日／M地为（ ）
A．R3t2／r3T2 B．R3T2／r3t2
C．R3t2／r2T3 D．R2T3／r2t3
【解析】 无论地球绕太阳公转还是月球绕地球运转，统一的公式为
GMm/R2＝m·4π2R／T2
即M∝R3／T2，所以 
【答案】 A
4．两个行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，若它们只受太阳万有引力作用，那么，这两个行星的向心加速度之比为（ ）
A．1 B．m2r1／m1r2
C．m1r2／m2r1 D．r22／r12
【解析】 行星绕太阳做匀速圆周运动，设M为太阳质量，m为行星质量，r为轨道半径．
则GMm/r2＝ma向，即a向∝  ，
所以a1／a2＝r22／r12，故D正确．
【答案】 D
5．设行星绕恒星的运动轨道是圆，则其运行周期T的平方与其运动轨道半径R的三次方之比为常数，即T2／R3＝k，那么k的大小决定于（ ）
A．只与行星质量有关
B．只与恒星质量有关
C．与行星及恒星的质量都有关
D．与恒星的质量及行星的速率有关
【解析】 由G  ＝m  R得T2／R3＝  ＝k，所以，k只与恒星质量有关．
【答案】 B
6．设地球为一密度均匀的球体，若将地球半径减为1/2，则地面上的物体受到的重力变为原来的________倍．
【解析】 当半径减小为原来的  时质量变为原来的1/8，根据万有引力公式F＝  ，R变为原来的1/2，故物体受的万有引力为原来的1/2，而在地球表面重力约等于万有引力，因此，重力变为原来的1/2．
【答案】
7．宇宙飞船进入一个围绕太阳运行的近乎圆形的轨道上运动，假如轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（ ）
A．3年 B．9年 C．27年 D．81年
【解析】 宇宙飞船或地球绕太阳做匀速圆周运动的向心力是太阳对宇宙飞船或地球的万有引力，则
G r
解得T＝2π  所以，宇宙飞船与地球绕太阳运动的周期之比为
 ＝27
则宇宙飞船绕太阳运动的周期是地球公转周期的27倍，即为27年．故选项C正确．
【答案】 C
8．某球状行星具有均匀的密度ρ，若在赤道上随行星一起转动的物体对行星表面的压力恰好为零，则该行星自转周期为（万有引力恒量为G）（ ）
A．  B． 
C．  D． 
【解析】 物体对行星压力为零，也即物体只受万有引力，万有引力提供向心力，且其运动周期与行星运动周期相同．设物体质量为m，运动周期为T，行星质量为M，半径为R．
则:F＝  R
T2＝  由于ρ＝ 
故T＝ ．C为正确选项．
【答案】 C
9．地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%．经估算，地核的平均密度为_______kg/m3．（已知地球半径为6．4×106 m，地球表面重力加速度为9．8 m/s2，万有引力常量为6．7×10－11N·m2/kg2，结果取两位有效数字）
【解析】 要计算地核密度，就要计算地球密度，由条件知ρ核＝  ρ＝2．125ρ
而要求地球密度只有R和g为已知量，可以根据地球表面重力近似等于万有引力来求:
即:g＝  而ρ＝ 
即:ρ＝  ＝5．46×103 kg/m3
ρ核＝1．2×104 kg/m3
【答案】 1．2×104
10．有两个行星A、B，在这两个行星表面四周各有一颗卫星，假如这两颗卫星运动的周期相等，则下列说法正确的是（ ）
A．行星A、B表面重力加速度之比等于它们的半径之比
B．两卫星的线速度一定相等
C．行星A、B的质量和半径一定相等
D．行星A、B的密度一定相等
【解析】 卫星在行星表面四周绕行星做圆周运动的向心力，由行星对卫星的万有引力提供，则G R．
其中M为行星的质量，R为行星的半径，则行星的质量为M＝
由此可知，行星A、B半径相同时，质量才相同，半径不同时，质量也不同，C选项错．
行星表面的重力加速度为g＝ 
所以，A、B两行星表面的重力加速度之比为
  ．选项A正确．
由卫星的线速度v＝ R得，两卫星的线速度之比为 
选项B错．
行星的密度为ρ＝ 
所以，行星A、B的密度一定相同，选项D正确．
【答案】 AD
11．一物体在某星球表面时受到的吸引力为在地球表面所受吸引力的n倍，该星球半径是地球半径的m倍，若该星球和地球的质量分布都是均匀的，则该星球的密度是地球密度的________倍．
【解析】 由mg＝G ，得：
M＝  ，ρ＝ 
由于 
所以  ．
【答案】 
12．设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上．假定经过长时间开采后，地球仍可看做是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动，则与开采前相比（ ）
A．地球与月球间的万有引力将变大
B．地球与月球间的万有引力将变小
C．月球绕地球运动的周期将变长
D．月球绕地球运动的周期将变短
【解析】 设地球的质量为M、月球的质量为m，月球轨道半径为r．月球和地球间的万有引力为F＝G  ．
在把月球上的矿藏搬到地球上的过程中，M＞m且M增大，m减小，而（M m）不变，所以Mm减小，F减小．B选项正确．
月球绕地球运动的向心力为地球对月球的万有引力，则G ＝m r
月球运动的周期为T＝2π
由于地球质量M在增大，所以月球周期在减小，D选项正确．
【答案】 BD
13．（2002年上海）一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g行，行星的质量M与卫星的质量m之比M/m＝81，行星的半径R行与卫星的半径R卫之比R行/R卫＝3．6，行星与卫星之间的距离r与行星的半径R行之比r/R行＝60．设卫星表面的重力加速度为g卫，则在卫星表面有：
G ＝mg卫
…
经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600．上述结果是否正确？若正确，列式证实；若错误，求出正确结果．
【解析】 所得的结果是错误的．
G ＝mg卫中的g卫并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度．
正确解法是：
卫星表面重力加速度 G  ＝g卫
行星表面重力加速度 G  ＝g行
 所以g卫＝0．16g行
【答案】 所得结果错误；正确结果为g卫＝0．16g行
14．行星的平均密度是ρ，靠近行星表面的卫星运转周期为T．试证实:ρT2是一个常量，即对任何行星都相同．
【答案】 略
万有引力定律在天文学上的应用4
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．设在地球上和在x天体上，以相同的初速度竖直上抛一物体，物体上升的最大高度比为K（均不计阻力），且已知地球和x天体的半径比也为K，则地球质量与x天体的质量比为
A．1 B． K C．K2 D．1/K
2．（1988年·全国高考）设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R（R是地球的半径）处，由于地球的作用而产生的加速度为g,则g/g0为
Ａ．1 Ｂ．1/9 Ｃ．1/4 Ｄ．1/16
3．对于万有引力定律的数学表达式F=G ,下列说法正确的是
Ａ．公式中G为引力常数，是人为规定的
Ｂ．r趋近于零时，万有引力趋于无穷大
Ｃ．m1、m2之间的万有引力总是大小相等，与m1、m2的质量是否相等无关
Ｄ．m1、m2之间的万有引力总是大小相等方向相反，是一对平衡力
4．地球的半径为R，地球表面处物体所受的重力为mg，近似等于物体所受的万有引力．关于物体在下列位置所受万有引力大小的说法中，正确的是
Ａ．离地面高度R处为4mg
Ｂ．离地面高度R处为  mg
Ｃ．离地面高度2R处为  mg
Ｄ．离地心 R处为4mg
5．物体在月球表面的重力加速度是在地球表面的重力加速度的  ，这说明了
A．地球的半径是月球半径的6倍
B．地球的质量是月球质量的6倍
C．月球吸引地球的力是地球吸引月球的力的
D．物体在月球表面的重力是其在地球表面的重力的
6．关于天体的运动，下列叙述正确的是
A．地球是静止的，是宇宙的中心
B．太阳是宇宙的中心
C．地球绕太阳做匀速圆周运动
D．九大行星都绕太阳运动，其轨道是椭圆
7．太阳表面半径为R1，平均密度为ρ′，地球表面半径和平均密度分别为R和ρ，地球表面四周的重力加速度为g0 ,则太阳表面四周的重力加速度g′
A．  B．  g0
C．  g0 D．  g0
8．假设火星和地球都是球体，火星质量M火和地球质量M地之比为M火/M地=p，火星半径R火和地球半径R地之比为R火/R地=q，那么火星表面处的重力加速度g火和地球表面处的重力加速度g地之比g火/g地等于
A．p/q2 B．pq2
C．p/q D．pq
二、非选择题（共28分）
9．（4分）已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，万有引力恒量为G，用以上各量表示地球质量M=________．
10．（4分）已知地球半径约为6．4×106 m，又知月球绕地球的运动可近似看做圆周运动，则可估算出月球到地心的距离为______m．（结果保留一位有效数字）
11．（5分）火星的半径是地球半径的一半，火星质量约为地球质量的1/9，那么地球表面质量为50 kg的物体受到地球的吸引力约是火星表面同质量的物体受到火星吸引力的______倍．
12．（5分）假如地球自转速度达到使赤道上的物体“飘”起来（即完全失重），那么地球上一天等于多少小时？（地球半径取6．4×106 m）
13．（5分）飞船以a=g/2的加速度匀加速上升，由于超重现象，用弹簧秤测得质量为10 kg的物体重量为75 N．由此可知，飞船所处位置距地面高度为多大？（地球半径为6400 km, g=10 m/s2）
14．（5分）两颗靠得很近的恒星，必须各以一定的速率绕它们连线上某一点转动，才不至于由于万有引力的作用而将它们吸引到一起．已知这两颗恒星的质量为m1、m2,相距L，求这两颗恒星的转动周期．
参考答案
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．解析：mg=G ，g=G H=  ，g=
两式联立求解得：M∶M′=K∶1
答案：B
2．解析：本题考查万有引力定律的简单应用．地球表面处的重力加速度和在离地心高4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有
F=G =mg,
所以  =1/16．
答案：D
3．C
4解析：F=mg=G ,F′=mg′=G  ,F′= F= mg．故C选项正确．
答案：C
5．D
6．D
7．解析：mg0=G ,g0=G =G πR3ρ/R2，g0= πGρR．同理可得g′= πGρ′R′．故g′= g0,则C选项正确．
答案：C
8．解析：由G =mg,得g= 
所以，  =  ·（  ）2=P/q2
答案：A
二、非选择题（共28分）
9．解析：地球表面上物体重力等于地球对物体的万有引力，即mg=G
所以 M=
答案：
10．解析：地球对月球的万有引力提供月球绕地球运转所需的向心力，月球绕地球运转的周期为27天，即
G =m ·r ①
T=27×24×3600 s
G  =m′g ②
由①、②两式可得
r= =  =4×108 m
答案：4×108
11．解析：物体受地球的吸引力为
F=G ①
物体受火星的吸引力为
F′=G  ②
两式相除得 
答案： 
12．解析：由万有引力提供向心力，则
G =mg=mω2R=m ·R
所以T=2π  =2π 
=2π  s
=16π×102 s=  h=1．396 h=1．4 h
答案：1．4 h
13．解析：该题应用第二定律和万有引力的知识来求解，设物体所在位置高度为h,重力加速度为g′，物体在地球表面重力加速度为g,则
F－mg′=ma ①
g′=G  ②
g=G ③
由①式得：
g′=  －a=  －  = 
由②、③得：
所以h=R=6400 km．
答案：6400
14．解析：由万有引力定律和向心力公式来求即可．m1、m2做匀速圆周运动的半径分别为R1、R2，它们的向心力是由它们之间的万有引力提供，所以
G  =m1 R1 ①
G =m2 R2 ②
由①②得：
 ，得：R1=  L
代入①式
T2= 
所以：T=2π 
答案：2π
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