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可能涉及的公式：
（1）一组数据 的方差:
其中 为这组数据的平均数值
（2）线性回归方程： ，其中
一、填空题（本大题共16小题，每小题5分，共80分。不需要写出解答过程，请把正确答案填写在答题纸上填空题的相应位置）
1.某学校有小学生125人，初中生280人，高中生95人，为了调查学生的身体状况，需要从他们当中抽取一个容量为100的样本，采用 方法较为恰当。(填简单随机抽样、系统抽样、分层抽样)
2.当 时，下面算法输出的结果是 。
3.命题“ ”的否定是 。
4.某射手射击一次，命中环数及其概率如下表：
命中环数
10环
9环
8环
7环
7环以下
概率
0.15
0.26
0.21
0.20
0.18
则该射手射击一次，至少命中7环的概率为________。
第5题
30
40
50
60
70
80
时速(km/h)
0.005
0.010
0.018
0.028
0.039
5.有100辆汽车在一个时段经过某一雷达测速区，这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量约为 辆。
Read x
If x < 10 Then
y←2x
Else
y←x2
Print y
第2题
S←1
For I from 1 to 19 step 2
S←S I
End for
Print S
6．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合A＝{1，2，3，4，5}内取值的点中任取一个点，此点正好在直线 上的概率为________。
7.五个数1，2，3，4， 的平均数是4，这五个数的方差是________。
8.右面是一个算法的伪代码，按这个伪代码写出的程序在计算机上执行，最后运行的结果为 。
10
11
12
734
0251
023
9. A是圆上固定的一点，在圆周上等可能地任取一点与A连结，弦长超过半径的概率为 。
10.已知某工厂10个工人加工的零件个数的茎叶图如右图所示（以零件个数的前两位为茎，后一位为叶），那么这些工人生产零件的平均个数是 。
11.已知条件 ，条件 ，则 是 的 条件。
(填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)
12.给出下列命题： = 1 \* GB3 ①掷两枚硬币，可出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”三种等可能结果； = 2 \* GB3 ②某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，任取一球，那么每种颜色的球被摸到的可能性不相等； = 3 \* GB3 ③分别从3名男同学、4名女同学中各选一名代表，男、女同学当选的可能性相同；
其中所有错误命题的序号为______ _。
13.一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形的内部爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为 。
开始
S¬0
输入Gi，Fi
i¬1
S¬ S＋Gi·Fi
i≥5
i¬ i＋1
N
Y
输出S
结束
14.为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常将考试分数转化为标准分，转化关系式为 （其中 是某位学生的考试分数， 是该次考试的平均分，s是该次考试的标准差，Z称为这位学生的标准分），转化成标准分后可能出现小数或负数，因此，又常常再将Z分数作线性变换转化成其他分数。例如某次学业选拔考试采用的是T分数，线性变换公式是： ，已知在这次考试中某位考生的考试分数是80，这次考试的平均分是70，标准差是25，则该考生的T分数为 。
15.某地区为了解 岁的老人的日平均睡眠时间（单位： ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：
序号
分组
(睡眠时间)
组中值（ ）
频数
(人数)
频率（ ）
1
6
2
10
3
20
4
10
5
4
在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为 。
16.为激发学生学习兴趣，老师上课时在黑板上写出三个集合: ,
， ；然后请甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“[]”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于6的正整数；乙：A是B成立的充分不必要条件；丙：A是C成立的必要不充分条件．若三位同学说的都对，则“[]”中的数为 。
二、解答题：（本大题共6小题，满分80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分12分）
已知命题 “若 则二次方程 没有实根”.
(1)请分别写出命题 的逆命题、否命题、逆否命题；
(2)判断命题 的否命题的真假, 并证明你的结论.
18．（本小题满分12分）
某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
日 期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温差x(°C)
10
11
13
12
8
6
就诊人数y(个)
22
25
29
26
16
12
②
结 束
i←i 1
①
开 始
是
输出s
否
i←1
p←1
s←0
s←s p
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.
(Ⅰ) 若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程 ；
(Ⅱ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
19.（本小题满分12分）
设数列 满足 ， ，右图是求数列 前30项和的算法流程图．
(ⅰ)把算法流程图补充完整：
①处的语句应为_____________________________，
②处的语句应为_____________________________．
(ⅱ)根据流程图写出伪代码．
20.（本小题满分14分）
将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
（1）两数之和为6的概率；
（2）两数之积是6的倍数的概率；
（3）若第一次向上的点数记为 ，第二次向上的点数记为 ，求 的概率。
输出
输入
结 束
开 始
i←0
No
Yes
i←i 1
21.（本题满分14分）
对任意函数 ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据 ，经数列发生器,输出 ：
②若 ，则数列发生器结束工作；若 ，则将 反馈回输入端，再输出 ，并依此规律继续下去，现定义 .
（Ⅰ）若输入 ，则由数列发生器产生数列 。请写出数列 的所有项：
（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据 的值；
22. （本题满分16分）
已知 ，函数
（I） 当 时，若对任意 都有 ，
证明： ；
（II）当 时，对任意 ，
求证： 是 成立的必要条件；
（III）当 时，讨论：对任意的 ， 的充要条件．
2008-2009常州市第二中学期中考试高二数学
参考答案
1．分层抽样 2.6 3. 4. 0.82 5. 38 6.
7. 10 8. 101 9. 10. 112.7 11. 必要不充分 12. = 1 \* GB3 ① = 3 \* GB3 ③
13. 14. 76 15. 6.42(注:6.42h不对) 16. 1
17.解:(1) 命题 的逆命题：“若二次方程 没有实根，则 ”
否命题:“若 则二次方程 有实根”；
逆否命题：“若二次方程 有实根，则 ” ……………6分
(2)命题 的否命题是真命题…………………8分
证明如下: 二次方程 有实根.
∴该命题是真命题. …………………12
18．（本小题满分14分）
解：(Ⅰ) 由数据求得 ………(2分)
由公式求得 ……………………(4分)
再由 …………(6分)
所以 关于 的线性回归方程为 ……… (7分)
(Ⅱ)当 时, , ； ……… (9分)
同样, 当 时, , …………(11分)
所以,该小组所得线性回归方程是理想的. ……………(12分)
19．解：（i）① ② ……………6分
（ii）伪代码： ……………12分
20. 解：含有36个等可能基本事件
（1） 记“两数之和为6”为事件A，则有 共5个等可能基本事件， 所以
答：两数之和为6的概率为 ； …………………4分
（2） 记“向上的两数之积是6的倍数”为事件B，则由下面的列表可知，事件B中含有其中的15个等可能基本事件，
所以P（B）= ，
第一次
两次点数的
差的绝对值
第 2次
_
1
_
0
_
0
_
1
_
1
_
2
_
2
_
1
_
0
_
1
_
2
_
3
_
3
_
2
_
1
_
0
_
1
_
2
_
3
_
4
_
5
_
4
_
3
_
2
_
4
_
3
_
2
_
1
_
0
_
0
_
1
_
2
_
3
_
4
_
5
_
1
_
6
_
5
_
4
_
3
_
2
_
1
_
6
_
5
_
4
_
3
_
2
_
1
答：两数之积是6的倍数的概率为 。 …………8分
（3） 记“ ”为事件C，则由下列的列表可知，事件B中含有其中24个基本等可能基本事件，∴ ，
答： 的概率为 。……………14分
21.解（１）∵ f(x)的定义域D＝（－∞，－１）∪（－１，＋∞），
∴ 数列｛xn｝只有三项：
…………6分
（2）∵ ，…… 10分
即
∴ x＝1，或x＝2
即当x0=1或2时，
故当x0=1时，xn=1; 当x0=2时，xn=2 (n∈N). ……（14分）
22. （I）证：依设，对任意 都有 ，
∵f(x)= ，∴ ，
∵a＞0，∴ 。…………4分
（II）证： 必要性
对任意x∈[0，1]， Þ ，据此可以推出 ，
即 a－2≥－1，∴a≥1…………6分
对任意x∈[0，1]， ≤1 Þ f(x)≤1，因为b=2，可以推出 ≤1，
即a· －1≤1， ∴a≤2 ；…………8分
∴1≤a≤2 …………9分
（III）解：因为a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈[0，1]；
f(x)= ax－bx2≥－b≥1，即f(x)≥－1；
f(x)≤1 Þ f(1)≤1Þ a－b≤1，即a≤b＋1，…………12分
a≤b＋1Þ f(x)≤(b＋1) x－bx2≤1，即f(x)≤1。…………15分
所以，当a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈[0，1]， ≤1的充要条件是
a≤b＋1…………16分
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