一、赛车轮子问题：

例5：赛车的比赛场地如图所示：

（1）赛车跑一圈后，共经过了几段弯路？

（2）在弯道A和弯道B上，左右轮子分别比另一个多走了同样多的路程，可以相互抵消。还有哪些弯路可以相互抵消？这样的话（2）中的问题只需考虑哪几段弯路？完成一周后，哪个轮子走的路程多，多多少？（轮子的距离是2米）

分析与解：第一问：赛车跑一圈经过了A、B、C、D、E、F、G、H、K一共9段弯路。

第二问：经过观察发现弯道A和弯道B可以互相抵消，弯道E和弯道F可以互相抵消，弯道D和弯道H与弯道G可以互相抵消，这样只需要考虑弯道C和弯道K就可以了，注意到在这两段弯道上车都是向右转弯的，所以一定是左侧的轮子比右侧的轮子多走了一段路程，多走的路程应该是：（100+2-100）л+（150+2-150）л=4л。

例6：赛车比赛的场地如图所示，一量赛车左右轮子的距离为：2米。跑一圈后哪个轮子跑的路程多？多多少？

分析与解： 首先我们注意到弯道A向右转半圆，弯道B又向右转1/4圆周，弯道C向左转半圆，弯道D向右转半圆，弯道E向左转半圆，弯道F向右转半圆，弯道H向左转1/4圆周，弯道P向右转半个圆周，这样向左一共转了1.5个圆周，向右一共转了2.5个圆周，说明向右转的比向左转的多转了1周，根据“右转左多”的规律，左轮比右轮多走了一段路程，因与半径无关，所以左轮比右轮多走了4л米。

注意：其实本题图形不管行进过程中车子如何转弯，最后只要经过一个封闭图形，即终点又回到起点，那么外侧车轮就比内侧车轮多走4л米。

二、比赛场次问题：

比赛场次单循环比赛场次=人数（或队数）减去一后的中位数乘人数 (或队数)减一

淘汰赛：队数除以2=淘汰赛队数   淘汰赛队数乘以（队数减一）除以2

三、烙饼问题：

烙一面饼的时间乘以张数（1张除外）

四、鸡兔同笼问题：

　（一）、典型鸡兔同笼

　　这个问题，是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的："今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这就是鸡兔同笼的问题。

　　首先，我们分析下题意。这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？

　　鸡兔同笼问题共有四种解决办法：

　　1.列表法(五年级课本要求掌握)

　　解法：把鸡的头数、脚数与兔子的头数、脚数列表一一对应，最后查出鸡有多少，兔有多少。

　　这个办法属于基本方法，虽然老师称之为笨法，但是不影响解决问题，而且简明好理解。

　　缺点：不适合大数。如果七八十个头，一两百只脚，考试就不用算别的题了，光画表查鸡兔玩了。。。。。

　　2.假设与置换法（中国古代流传的方法）

　　解法：A。假设所有的头都是鸡20X2＝40足46-40＝6足（与实际相比，差六足）

　　B．置换，换一次增加两条腿4-2＝2足

　　C．6÷2＝3兔20-3＝17鸡

　　注意：这种办法的关键是要保证其中一个量（头）不变。

　　3.玻利亚跳舞法（西方解法）

　　解法：A。金鸡独立，兔子双腿倒立：腿少了一半变23足，头还是一样多：20头

　　B．鸡不动；兔子学鸡，一脚独立：足20，头20.

　　可以得出，有23-20＝3只兔子一脚独立了，所以鸡的数目可求。

　　心得：孩子认为这一方法好玩好记，解决问题速度最快。

　　4.方程法（一元一次方程，四年级课本要求掌握）

　　解：设鸡有X只，、则兔子有20-X只

　　列方程：2X+4（20－X）＝46

　　解得：X＝17兔子可求。

　　新型鸡兔同笼

　　某些问题中的量可能并不是鸡与兔,但是其本质仍是鸡兔同笼问题.比如下面两个问题.我们都采用第二种假设与置换法来解决.

　　例题：在一个停车场上，汽车、摩托车共停了60辆，一共有190个轮子。其中每辆汽车有4个轮子，每辆摩托车有2个轮子，求停车厂上汽车和摩托车各有多少辆？

　　解：假设60辆都是汽车，则有轮子（60×4=）240个，比已知条件多出（240-190=）50个，这是因为每一辆摩托车被假设为汽车时，就多出2个轮子，所以多出来的50轮子中包含多少个2个轮子，就是多少辆摩托车被假设为汽车的辆。

　　摩托车：（60×4-190）÷（4-2）=25（辆）　　汽车：60-25=35（辆）。

　　例题：某小学举行一次数学竞赛，共15道题，每做对一题得8分，每做错一题倒扣4分，小明得72分，他做对多少道题？

　　解：假设15道全对了，则得（8×15=）120分，比已知条件多（120-72=）48分，这是因为每一道错题假设为对题时，相差（8+4）=12分，所以求出来的48分中包含几个12，就是做错题的数量。

五、点阵规律问题：

1、 “1×1，2×2，3×3，4×4，……n×n”

2、“1，1＋3，……，1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1）

六、图形旋转、平移、密铺、对称规律：

1、滑滑梯、小朋友推车、小火车的直行、速滑这些物体都是沿着直线运动这样的现象叫做平移而摩天轮、小飞机、旋转木马，这些物体都绕着一个点或一个轴运动这样的现象，叫做旋转。

2、怎样画图形的旋转？归纳方法：可以转化成线段旋转的方法来画。

3、若用1种图形进行密铺，可以采用：

任意三角形、任意四边形、正六边形

拼接点处内角和是360度

若用2种图形进行密铺，可以采用：

正三角形＆正方形，正方形＆正八边形，正三角形＆正六边形

4、圆形有 ( 无数)条对称轴.长方形有( 2 )条对称轴.

正方形有(4 )条对称轴.五角星有(5 )条对称轴.等腰三角形有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴。

七、等差数列求和：

1+2+3+4+……+100=（1+100）×50=5050或者（1+99）×50+50=5050

八、最小的一位数是1还是0？

要回答这个问题须从“位数”和“数位”说起。位数是指一个整数所占有数位的个数。把占有一个数位的数叫一位数，占有两个数位的数叫两位数……例如，48076是五位数，因为它占有五个数位，这里“0”占有数位。

0能不能称为一位数呢？不能。因为记数法里有个规定：一个数的最高位不能是0。为什么要这样规定呢？因为若没有这样的规定，0就是一位数，由此可以得出最小的两位数是00，最小的三位数是000，这样的结论显然是不对的。不仅这样，若没有这样的规定，对一个数也就无法确定它是几位数了。例如，15是两位数，“015”就变成了三位数，“0015”就变成了四位数。这样，同一个数我们可以随意称它为几位数，“位数”这一概念的存在也就没有必要了。因此，一个数的最高位不能“0”。也就是说，最小的一位数是1，而不是0。

至于日常生活中、生产工作中遇到的数，如004785、043等，它是在特定条件下用来表示特定意义的。例如，电话号码0074816，它表示当地的电话容量不足一千万，最大号码是七个数字组成的，但不能说0074816是一个七位数。

转载二： 下面是人社社丁国忠老师在2003年4月9日的回复：

目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了国际交流的方便，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100~3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，我们的教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。

但是，在小学阶段的“整除”部分，仍然不考虑自然数0，因而在约数、倍数等概念中都不包括0。另外，一般情况下我们不说数0是几位数，所以最小的一位数是1

九、左右位置问题：

引自人教版:（1）观察的对象是无生命的物体（如下图），一般确定左右的标准是观察者。    圆的左边有（3）个三角形，右边有（4）个三角形。

（2）观察的对象是人或动物，有两种情况。

①当问及的问题涉及到人或动物身体的左右时（如下图），一般以人或动物为标准。

        他（右）手拿着计算器。　　小猫抬的是（左）爪。

②当问及的问题不涉及到人或动物身体的左右时（如下图），以谁为标准皆可。

      女孩的左边是谁？　　　　　　　　　　小狗的右边是谁？

如上左图，如果以观察者为标准，女孩的左边就是奶奶；如果以女孩为标准，女孩的左边就是爷爷。像这样判断照片中某人的左边或右边是谁时，以照片中的人或看照片的人为标准都是可以的。但为了避免不必要的麻烦，最好是标明参照的标准，如给下图中的某人或某动物加上标明参照标准的说话框，这样就没有异议了。

十、估算的方法：

（一）、用去尾法求商的近似值

例：（1）每套童装用布2.2米，50米布可以做多少套童装？

    根据题意列式为：50÷2.2=22.72（套），但是衣服的数量不可能是小数，因此此题的结果只能保留整数。如果根据“四舍五入”法求商的近似值，应是50÷2.2  23（套），通过验算式23×2.2=50.6（米），可以发现用50米布缝制23套衣服显然是不可能的，50米布不够。故而这题只能采用“去尾法”进行取值，即：50÷2.2  22（套），对于这种取值，学生很容易理解。制衣是贴近生活的事，学生不会紧扣“四舍五入”法取值，对怎样取商的近似值的思路也容易回到现实生活中。

（二）、用进一法求商的近似值

例：每个油桶最多能装油4.5千克，要装60千克的油，需要这样的油桶多少个？

    根据题意列式为：60÷4.5=13.3（个），但油桶的个数只能是整数，如果根据“四舍五入”法求商的近似值为13个，通过验算发现只能装13×4.5=58.5（千克），，还余下1.5千克的油需要另准备一个油桶。故此题既不能用“四舍五入”法求近似值，也不能用“去尾法”求近似值，而要应用“进一法”来求商的近似值才是正确的，即：60÷4.5  14（个）。

总之，在应用题中，取商的近似值不能局限于“四舍五入”法，而要根据题意，联系生活实际，

灵活采用取值方法。

估计餐费

进一法：                              凑十法：

16+13+8+23+6+3                        16+23≈40（元）

≈20+20+10+30+10+10                       13+8≈20（元）

=90（元）                             6+3≈10（元）

                                      40+20+10=70（元）

四舍五入法：                          去尾法：

16+13+8+23+6+3                        　16+13+8+23+6+3

≈20+10+10+20+10+0                        ≈10+10+0+20+0+0

=70（元）                             =40（元

十一、小数计算得数的写法：

得数写到横式上时，一般把小数末尾的0省略。

十二、数图形的规律

这类问题一般都要先寻求规律，而后按照这个规律去数图形。数图形时要有次序、有条理，才能不遗漏、不重复。因此，一般步骤应是：仔细观察、发现规律、应用规津。运用规律常能使解法简便。 例1：在∠AOB（图6－2）内有8条从O点引出的射线，可组成各种大小不同的角一共有多少个？

答 图中有45个角。解 　　10×9÷2=45（个）

例2下面两根线段中各有多少条线段？

解 （1）由一条基本线段构成的线段有：

 　AB、BC、CD、DE，共4条；

　　由两条基本线段构成的线段有：

AC、BD、CE，共3条；

　　由三条基本线段构成的线段有：

　　AD、BE，共2条；

 　　由四条基本线段构成的线段只有AE1条。

 　　因此共有线段：

　　　4+3+2+1

 　 =（4+1）×4÷2

 　 =10（条）

 　（2）可以采用（1）同样的解法：

 　　由一条基本线段组成的线段有6条，

 　　由两条基本线段组成的线段有5条，

 　　由三条基本线段组成的线段有4条，

 　　由四条基本线段组成的线段有3条，

 　　由五条基本线段组成的线段有2条，

 　　由六条基本线段组成的线段有1条，

 　　共有线段：　　　6+5+4+3+2+1=（6+1）×6÷2 　　=21（条）

 答 （1）中有10条线段。（2）中有21条线段。

　　这种先分类再排序的方法称为分类排序法。这样排序，不易遗漏和重复。

由以上例子可以推知，如果线段上有五个点，就构成了四条基本线段，总线段数为四个连续自然数的和：4+3+2+1。如果有n个点，线段总数为（n-1）+（n-2）+…+3+2+1=n×（n-1）÷2（条）。找到了这个规律，我们就可以运用这个公式来解答这类问题。

例3 数一数，图6－3一共有几个长方形？

分析 可以按照顺序去数长方形的个数，也可以通过分析研究，找出数长方形的规律。长方形是由长和宽组成的，　　图中共有3个长（横向线段）、3个宽（竖向线段），

解　　3×3＝9（个）答 图中共有9个长方形。

例4 如图6－4。

（1）如上图这样的形状，如果最底层有11个三角形，那么这堆小三角形共有多少个？

　（2）现在共有169个小三角形，按上图排列，那么最底层三角形有几个？

分析 根据图示可以得到规律，底层与总数有“2→4，3→9， 4→16”的关系。而 22＝4，33=9，44＝ 16，就是：“底层的个数的平方正好等于总数”。所以可得：（1）下层有11个小三角形，共有　11×11= 121（个）

 （3）因为13 ×13＝ 169，所以 169个小三角形如上图排列，底层有13个小三角形。

十三、包装的学问：

包装的学问：

1、            隐藏大面、隐藏拼摆后的大面、相同的正方体隐藏的面越多越省纸、将面积最大的两个面叠在一起,表面积自然最小。将十盒糖果叠放在一起时,两侧面长方条形的面积过大,应该将糖果盒再平均分成两组将较大的侧面重合再包装。

2、            2盒有3种包装方法，3盒有4种包装方法，4盒有6种方法

测量的数据：长、宽、高       包装纸的面积就是盒子的表面积

长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2

重叠面的面积越大越省材料

十字形包装彩带的长度=长×2+宽×2+高×4+打结的长度（依照长、宽、高的顺序去数）

3、将12盒火柴包成一包，火柴盒长5，宽3 ，厚1。怎样包最节省包装纸？

分析：本题中12盒火柴包成一包，怎样包最省包装纸？这个问题就比较复杂了，因为包装的方法比较多。下面我讲一种数学的方法来尽快的找到不同的包法：首先，把12分解因数：先分解成两个数的积（可以看成二维的）12=1×12=2×6=3×4，然后再分解成三个数的积（可以看成三维的）：12=2×2×3。这样从大体上我们得到4大类不同的包法；其次在每类大的包法里面又有几种小的不同包装方法，这时我们注意到通过上一个题已经得出的结论：几个小长方体拼成一个比较大的长方体，只要尽量多的让最大的面重合，那么拼成的大长方体的表面积就会越小。由此对于每类大的包装方法里的各种小的包装方法我们不必要一一列举出来，我们只要根据以上结论，通过理智的数学分析找到每类大的方法里面，哪种小的包装方法最省包装纸即可。具体可以这样做：在火柴盒最多的那一行中让最大面重合，其次在不同的两行之间让第二大的面重合，这样就作到了尽量多的让最小面漏在了外面，那么这种包法的表面积一定是这类大的包法里面最小的。例如：2×6这种包法，我们看成是2行6列，在每一行的6盒火柴让最大面重合，然后在两行之间让第二大的面重合，这种包法一定是2×6这种包法里最省包装纸的包法。

十四、比和比例方面：

1、正比例是两个数的比值一定，一个量随着另一个量的变化而变化；反比例是两个数的乘积一定，一个量随着另一个量的变化而变化。

正比例例子：单价一定，总价随着数量的变化而变化。

反比例例子：路程一定，时间随着速度的变化而变化。

2、正方形的边长和面积成正相关（也就是说正方形的边长越大面积也越大），但是不成比例（也就是说正方形的边长大一倍面积不是也大一倍），正方形的边长的平方和面积成正比例。

3、 圆的半径和面积不成正比例。应该说一个圆的面积和它的半径的平方成正比。

十五、常用的小学数学教学方法：

　　教学方法是指完成教学任务所使用的工作方法，它包括教师教的方法和学生学的方法。因此，教学方法应全面地理解为：是教与学的双边活动及其相互结合；是为完成教学任务和达到教学目的服务的；包括各种各样的具体方式和手段。

　　作为数学教师，应当对主要的一些数学教学方法有一个全面、系统的了解。这样，才能根据具体的教学内容、教学对象和不同的课型合理地选用不同的教学方法，而且还可以在这些教学方法的基础上，自己去探索和创立一些新的教学方法。

　　一般地认为，数学教学方法分为传统的教学方法和现代的教学方法两类。

　　一、传统的数学教学方法

　　传统的数学教学方法，是指在长期的数学教学实践活动中形成的、至今仍行之有效的各种教学方法，其中包括讲解法、谈话法、演示法、讨论法等。

　　1．讲解法

　　讲解法是由教师对教学内容进行有系统地讲述的一种教学方法。其特点是以教师为主导，利用口头语言作为传递知识的基本工具，学生是知识信息的接受者。

　　讲解法的基本要求：

　　(1)科学性。讲解的内容要准确无误，即讲概念要清楚，把握好概念的内涵与外延；阐述命题证明、推理要合乎逻辑，思路和方法要明确、清晰。

　　(2)系统性。讲解要条理清楚、层次分明，重点突出，注意学生理解问题的认识规律，使讲授内容系统化。

　　(3)启发性。讲授中要引起学生的求知欲，激发学生思维活动。运用讲解法不等于“满堂灌”、注入式。教师的讲解要善于提出问题、创设问题情境，激发疑问，使学生与教师积极配合，主动参与学习活动。

　　(4)艺术性。讲解的语言要清晰、洗炼、准确、生动，尽量做到深入浅出，通俗而不失严谨。讲解语言音量适当，抑扬顿挫，富有情趣，快慢适当。

　　(5)情感性。讲授课容易让学生产生枯燥无味之感，因此，情感因素的注入和喧染是提高讲授效果的最佳方法。

　　讲解法的优点：能够保持教师在教学中的主导地位，教学时间和进度便于教师控制，并且所授内容能保持流畅与连贯；便于重点内容的分析、难点的突破，易于帮助学生抓住问题的关键，节约教学时间。

　　讲解法的缺点：教学中学生参与少，容易造成被动接受知识的状态，不利于能力的培养；不易照顾学生中思维反应快与慢的两端，只能面向中等学生。

　　2．谈话法

　　谈话法是教师根据教学内容和学生的实际情况，提出设计好的若干问题，用谈话的方式启发引导学生积极思考、探索，从而获得知识的一种教学方法。

　　谈话法的主要特点是师生之间不像讲授法那样，教师讲，学生听，信息单项交流，而是信息的双向交流。在谈话中，师生之间都可以获得反馈信息，根据这些反馈信息可以及时地调整和改善教与学的活动。这种教学过程，既可以使学生融会贯通地掌握知识，又能发展学生的智力，而且，在经常问答的过程中还锻炼了学生的表达能力。

　　谈话法的基本要求：对学生而言，要积极思维，主动参与；勇于发现，积极应答。对教师的要求有下面几点。

　　(1)精心设计“问题系统”，对提问的对象及学生可能会怎样回答等要做到心中有数。教师在备课时应拟出提问的提纲、对谈话所需的时间、给学生能顺利地回答创造哪些条件等，都要做好准备。

　　(2)提出的问题，要难易适度。对某些有困难的学生，要善于由浅入深、由易到难的逐步引导。提出的问题要明确，应是学生所能理解的。

　　(3)要善于引导探讨、启发发现。对所提出的谈话内容，要具有启发性，教师要引导学生积极思考，层层深入，逐步地获得结论。

　　(4)要面向全体学生，因材施教。在谈话中要面向全体学生提出问题，并给他们一定的思考时间，使全体学生都处于积极思维的参与状态。要照顾优生和差生，鼓励学生大胆回答问题。

　　(5)及时小结。谈话中要对学生回答问题的情况及时小结，使学生明确是非，提高认识。

　　谈话法的优点：突出课堂教学中师生的双边活动，有利于信息反馈；课堂气氛活跃，有利于促进学生积极思维，有利于对学生能力的培养。

　　谈话法的缺点：教学组织比较困难，教学时间不易控制。

　　3．演示法

　　演示法是教师将教材内容用实物或教具演示出来，或做示范性实验来说明或印证所授知识的一种教学方法。在数学教学中，演示法主要用于概念(或部分命题)教学。

演示法大体可分为四种：①图片、图画、挂图的演示；②教具、实物模型的演示；③幻灯、录音、录像、教学电影的演示；④实验演示。运用演示法教学，对教师有如下具体的要求。

　　(1)演示要突出主题内容，尽量排除在演示过程中对学习内容产生干扰的无关因素。

　　(2)在演示时要与教师的讲解和谈话相结合，通过教师语言的启发，使学生不是停留在事物的外部表象上，而要使学生的认识上升到理性阶段，形成概念。

　　(3)教具的演示要适时、适当和适度。演示的目的在于帮助理解概念、掌握知识，但最终要逐步离开教具，上升为理性认识。因此，教学中演示教具要恰到好处，过多地依赖教具不利于学生数学思维的发展。

　　演示法的优点：可以使学生获得丰富的感性材料，加深对概念本质的理解，有利于培养学生的形象思维能力；能够激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性和主动性。

　　演示法的缺点：实用范围受教学内容、教学设施所限。

　　4．讨论法

　　讨论法是学生根据教师所提出的问题，在集体中，相互交流个人的看法，相互启发、相互学习的一种教学方法。

　　讨论法的主要特点是：信息交流既不同于讲解法的单向交流，也不同于谈话法的双向交流，而是讨论集体成员之间的多向信息交流。学生的发言可以及时获得反馈信息，调节自己的观点，课堂气氛活跃。

　　讨论法的基本要求：

　　(1)讨论前师生都要做好充分准备。教师要向学生提出讨论的课题，指出注意事项，布置一些阅读的参考资料，每个学生都应按要求做好讨论发言准备。

　　(2)讨论题需简要明确，有具体的目标，问题深浅适当。

　　(3)讨论中要鼓励学生大胆发言，勇于表达自己的观点。

　　(4)每个问题讨论结束时，教师要作小结。

　　讨论法的教学程序：

　　(1)学生自学。教师指定自学内容，提出学习目标、并指出重、难点。

　　(2)自行讲解。教师把要讨论的内容，按概念、命题、例题、习题等分成若干单元，把学生分成小组或全班一起进行讨论，讨论时可选出主讲人，以主讲人讲述为主，其余成员补充为辅。

　　(3)相互讨论。在教师启发下，对主讲的结果正确与否？有无不同解法等进行讨论。

　　(4)单元结论。在相互讨论之后，教师归纳出正确结论，进行单元小结。

　　(5)全课总结。待所设计的每个单元都讨论结束后，教师对全课内容进行总结，布置相应的练习、作业。

　　讨论法的优点：讨论活动是以学生自己的活动为中心，每个学生都有发言的机会，这对于培养学生的语言表达能力是十分有益的；讨论前需要学生自学并准备发言提纲，这既培养了学生的自学能力，又调动了学生学习的主动性和积极性；讨论中的发言固然要围绕讨论的中心，但又可以不受教材的限制，因而有利于发挥学生的独立思考和创造精神。

　　讨论法的缺点：课堂组织教学不易控制；比较耗费教学时间。

　　讨论法可使每个学生展示自己的思想，这样的交流可以促使他们认知结构的完善。另外，也可以发挥每个人的个性特征，增强他们的自信心和创造力。这种方法在国外是普遍采用的方法，而在我国却用之甚少，很值得深入研究。

二、国内教改中的几种数学教学方法

1．自学辅导法

自学辅导教学法是中国科学院心理研究所卢仲衡教授首先提出的。他运用有关学习的九条心理学原则，对初中数学自学辅导教学进行了深入研究，主编了初中数学自学辅导教材，从60年代起在全国许多地区展开了中学数学自学辅导的教学实验，取得了富有意义的成果。

自学辅导教学就是在教师的指导和辅导下，以学生自学为主的一种教学方法。它的优点在于能更多地调动学生学习的主动性，并且能较好地发挥教师的主导作用，有利于培养学生独立思考、独立学习的能力。自学辅导教学法的运用，需要有专门编写的一套适合于自学的教材、练习册和测验本。教学过程分为下面四个阶段。

 (1)领读阶段。主要是教给学生阅读方法。阅读分粗读、细读、精读，粗读是浏览一遍教材，知其大意；细读是对教材逐字句地读，钻研教材的内容、概念、公式和法则；精读是要概括内容，在深入了解教材的基础上记忆。领读阶段约需一至两周的时间。

 (2)启发自学。主要是使学生适应自学辅导教学这种教学方式，逐渐形成自学习惯。具体做法是：教师拟定启发自学提纲和小结检查提纲，让学生在课堂上自学35分钟，然后按小结检查提纲提问，训练口语表达，小结巩固收获。启发自学提纲和小结检查提纲要详细而浅显，使大部分学生都能完满答出。自学时，教师重点帮助一些差生。每节课一开始，教师可用几分钟时间规定学习进度，出示阅读提纲，对疑难处略作启发性引导；学生自学阅读课本，做练习，对答案。教师巡视课堂，了解学习情况，辅导答疑；下课前10分钟，教师按提纲提问，集体纠错，做小结。启发自学阶段约需两个月左右的时间。

 (3)自学辅导阶段。在初步形成自学习惯、掌握自学方法的基础上，加强学生自学过程中的独立性。这一阶段，教师不再给启发自学提纲，只是指出应注意之处，鼓励学生边自学边概括，写章节、单元总结，归纳知识之间的逻辑关系。教师着重帮助差生转化到一般水平或先进水平，同时注意发挥优秀生的潜力。这一阶段约需半年至一年。

 (4)独立自学阶段。这一阶段加大学生自学的独立性，一直延续到初中毕业。

在整个自学辅导学习阶段，教师应贯彻下列七条原则：①寓心理学原则于教学之中；②在教师指导下以学生自学为主；③强化动机；④班集体教学与个别指导相结合；⑤启、读、练、知相结合；⑥自检与他检相结合；⑦尽量采用变式复习以加深理解、巩固知识。

2．单元教学法

单元教学法就是根据知识整体的结构，把教学内容组织和划分为若干教学单元，并按教学单元分段进行教学的方法。

单元教学法的教学步骤是根据让学生主动学习知识和技能的认识程序来设计的。每当一个新单元开始，教师都把整个单元教学的目的、要求、步骤和方法给学生明确交代；在教学程序设计上，一般都是先由学生自己独立自学教材，然后师生共同讨论，最后在教师指导下，由学生自己得出结论，并自己进行单元学习总结。

单元教学的模式有下面三种。

 (1)六课型单元教学法

六课型单元教学法是由北京景山学校经长期试验探索提出的一种教学方法。这种教学方法是将教材分为若干教学单元，每单元按照“自学课→启发课→复习课→作业课→改错课→小结课”等六种前后紧密联系的课型进行教学。

自学课：教师向学生布置自学提纲，学生自学，并做练习。

启发课：教师重点讲解。

复习课：教师布置复习提纲，学生自己复习，最后教师点评。

作业课：教师指导学生独立作业。

改错课：师生共同在课堂上讨论和互相批改作业。

小结课：教师布置小结提纲，学生先自己进行小结，最后由教师小结。

小结课结束后，可以进行测验或考试。

 (2)三环节单元教学法

第一环节：设疑引疑。教师引导学生在课堂上自学，教师向学生说明本单元的教学目的、要求，并设计自学题目，设疑引疑，激发学生自学兴趣，教师巡回指导。

第二环节：辨疑解难。组织学生对疑难问题进行讨论，教师“集疑”、“布疑”、“辨疑”，学生动脑、动口、解难。

第三环节：释疑反馈。学生运用所学知识进行练习，检测学习效果。

 (3)单元循环五阶段教学法

第一阶段：基本原理阶段。教师讲授有关原理及直接应用；学生能理解简单问题，会直接套用基本原理。

第二阶段：基本方法阶段。教师讲解若干范例，揭示规律及一般法则；学生通过范例了解解题的一般程序，并进行基本训练。

第三阶段：方法分析阶段。教师着重讲解一些基本题之间的联系，安排好训练程序；学生按程序进行训练，能运用原理、方法，分析和解决较复杂的作业题。

第四阶段：系统总结阶段。教师进行系统总结。

第五阶段：综合提高阶段。教师评讲学生作业中的典型错误，选编有针对性的综合题，组织学生讨论，训练学生的思维，发展学生的能力。

3．尝试指导、效果回授教学法

 “尝试指导、效果回授”是上海青浦县所采用并取得很好效果的一种教学模式，这种模式得到教育行政部门和专家们的肯定。这种教学方法就是教师将教材组织成一定的尝试层次，学生通过尝试进行学习，同时，教师注意回授学习结果，以强化所获得的知识和技能的教学方法。它的教学步骤是：

 (1)启发诱导，创设问题情境。把问题作为教学的出发点，启发诱导学生，造成急于想解决而又不能利用已有的知识去解决问题的认知冲突，从而激发学生的学习动机。

 (2)探求知识的尝试。当学生进入问题情境后，教师组织学生通过阅读、实验、观察和讨论去尝试找出解决问题的策略和方法。

 (3)归纳结论，纳入知识系统。就是根据学生尝试所得，教师归纳出一般结论，通过必要的讲解，使之纳入教材的知识系统中。

 (4)变式练习的尝试。运用变式、背景复杂化和配置实际应用环境等手段，精心设计一组由简到繁、由易到难的变式练习题，让学生通过变式练习的尝试，去发展思维能力。

 (5)回授尝试效果，组织质疑讲解。课堂上，教师要随时收集与评定学生尝试探究学习的效果，及时调节教学进度和教学方法；在课后，教师要尽快地批改作业，了解学生掌握知识技能的情况，通过及时补授，帮助学生克服学习障碍。

 (6)阶段教学结果的回授调节。在某阶段教学完毕后，根据教学目标的分类细目，通过测试进行教学效果检测，由反馈信息去制定必要的补授措施。

在运用尝试指导、效果回授的教学方法时，要注意几点：①六个步骤是统一的整体，但不能作为固定模式去套用，要具体情况具体分析，有时可以侧重于某些方面；②尝试学习是教学的中心环节，教师应在探究知识和变式练习两方面投入更多的精力；③重视课内外结合，因材施教

三、国外教改中的数学教学方法

1．发现法

发现法又称探索法、研究法、现代启发式或问题教学法。指教师在学生学习概念、命题时，只是给他一些事实(例)和问题，让学生积极思考，独立探究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种教学方法。它的指导思想是以学生为主体，独立实现认识过程，即在教师的启发下，使学生自觉地、主动地探索；科学认识解决问题的方法及步骤；研究对象的起因和内部联系，从中找出规律，形成概念或解决问题。

发现法就其思想渊源来说，有着悠久历史，但是引起人们对发现法的重新关注和研究，是由于20世纪60年代布鲁纳的大力倡导。布鲁纳认为，要培养具有发明创造才能的科技人才，不但要使学生掌握学科的基本概念、基本原理，而且要发展学生对待学习的探索性态度，从而大力提倡广泛使用发现法。

使用发现法教学的一般步骤：

 (1)创设问题情境，激发学生的兴趣和学习的主动性。

 (2)推测问题结论，探讨问题解法。在教师的启发下，学生积极思考，回忆有关知识和方法，进行分析、综合、猜测结论，探索解决问题的途径和方法。

 (3)验证结论。采用反驳或论证去验证所得猜想。

 (4)完善问题的解答，总结思路方法，并对获得的知识用于应用和巩固。

发现法教学的基本要求：

 (1)教师要发挥主导作用，精心创设情境，引导学生有目的、有步骤地去发现问题。

 (2)学生要发挥主体作用，积极主动地参与发现过程，充分运用观察、试验、联想、类比、分析、归纳等方法，积极提出猜想，进行论证。

 (3)教师要突出强调发现问题的思维过程，使学生逐步掌握数学的思想方法。

发现法的优点：能使学生产生学习的内在动机，增强自信心；能使学生学会发现的试探方法，培养学生提出问题、解决问题的能力和创造发明的态度；利于学生自己将知识系统化和结构化，更好地理解和巩固知识。

发现法的缺点：花费学时太多；受学生思维发展水平限制，很多内容不适宜发现法；对教师的要求较高，如果教师没有较高水平，那么采用发现法进行教学是难以取得好效果的。

2．程序教学法

程序教学法来源于美国的鲁莱西设计的一种进行自动教学的机器，企图利用这种机器，把教师从教学的具体事务中解脱出来，节省时间和精力。这种设想，当时没有引起重视和推广。直至1945年，美国心理学家斯金纳重新提出，才引起广大心理学和教育界人士的重视。

程序教学法是指依靠教学机器和程序教材，呈现学习程序，包括问题的显示，学生的反映和将反映的正误情况，反馈给学生，使学习者进行个别学习的一种教学方法。程序教学主要有两类，即直线式的程序和分支式的程序。

直线式程序是斯金纳首创的。其教学过程是：把学习材料由浅入深地分为若干“小单元”，以直线式的编排，每一个小单元内容写在一张卡片上，依次呈现给学生。在呈现每一个单元时，要求学生进行对答反应，如果答对了，机器就呈现出正确答案，然后进入下一步，否则，继续思考回答。其模式为：①→②→③→…→(n)。

分支式程序是美国心理学家克洛德创立的。它是直线式程序的发展，采用多重选择反应，以适应个别差异的需要。其教学过程是：将教材内容依次分为若干单元呈现给学生，在学生阅读了一个单元的教材之后，立即对他进行测验(测验题有正、误的多项选择答案)，如果选对了，就引进新的内容，进入下一单元的学习；如果选错了，便引向一个适宜的单元，再继续学习，或者回到先前的单元再学习一遍，然后又进行问题回答，直到回答正确后进入下一单元的学习。

分支式程序的进一步发展，是利用计算机进行辅助教学(CAI)，这部分内容将在§ 5．4中作介绍。

程序教学法的优点：由于要求学生自己动手、动脑去独立完成学习任务，因此有利于培养自学能力和养成自学习惯；有利于因材施教；可以排除师资条件对教学的影响，保证教学质量的提高。

程序教学法的缺点：教学过程呆板、单调，缺乏灵活性，容易束缚学生创造思维的发展，不利于能力的培养；不利于发挥教师的主导作用，缺乏师生之间的情感交流；教师难以了解学生的学习心理过程，不能对学习障碍及时排除。

3．范例教学法

范例教学法是在德国教育家瓦·根舍于20世纪50年代创立的“范例教学”理论基础上发展起来的教学方法，指用典型范例去达到对事物一般属性认识和理解的教学方法。范例教学法要求教师在备课时对教学内容进行以下五个方面的分析。

 (1)基本原理分析。分析教材中哪些是带有普遍意义的内容，这些内容对今后教学起什么作用，选择哪些范例，通过探讨范例使学生掌握哪些原理、规律和方法。

 (2)智力作用分析。分析课题内容对学生智力活动所起的作用。

 (3)未来意义分析。分析课题内容对学生未来学习的意义。

 (4)内容结构分析。分析组成整个内容的基本要素，这些要素之间的关系在教材中所处的地位；分析课题内容的整个结构。

 (5)内容特点分析。分析这个课题有哪些特点，哪些内容能引起学生的兴趣，通过哪些直观手段引发学生提出问题，布置什么作业才能使学生有效地应用知识等。

范例教学法的教学步骤分为下面四个阶段。

 (1)以典型范例说明事物的特征。

 (2)通过对范例的认识，归纳出一类对象的普遍特征和本质属性。

 (3)认识事物的发展规律，掌握方法。

 (4)个体体会，即通过知识应用去进一步理解和掌握所学习的基本理论和方法。

范例教学法的优点：从个别到一般的认识过程，符合低年级学生的认知规律；能调动学生学习的主动性；有利于培养学生的概括能力。

范例教学法的缺点：思维方式单一，容易造成思维定势，不利于学生思维能力的全面发展；过份强调归纳，会削弱对学生演绎推理的训练。并不是所有内容都能通过“范例”去教学，因为要受具体的内容和教学时间限制。

四、国外小学数学教学方法改革情况简介

一 提出改革小学数学教学方法的原因

　　小学数学教学方法的改革，早在第二次世界大战以后，有些国家就在进行研究。例如，1956年英国就有人提出，教学方法要适应儿童不同能力的发展。但是大力地宣传和推进改革，还是六十年代以后的事。在提倡数学教育现代化运动的初期，主要是数学教学内容的改革。六十年代以后，由于小学数学教学目的的改变和教学内容的改革，传统的教学方法越来越不适应新形势的要求，纷纷提出要加以改革。归纳起来，主要有以下几点理由。

　　（一）传统的教学方法不能适应发展学生能力的要求

　　这不只是数学一科的问题。许多心理学家、教育学家指出，传统的教学方法主要特点，一是“单纯地传授知识”，忽视培养学生能力，特别是思维能力；二是把儿童的接受能力估计过低，“多次单调的重复”，不能调动学生的学习积极性。他们认为，在科学技术迅速发展、知识不断增加的情况下，单是传授知识已经不够了，必须培养学生的能力，“教会学生独立工作和创造性思考的本领。”根据这一新的要求，有必要对传统的教学方法做相应的改革。

　　（二）教材的改革必须伴随以教学方法的改革

　　实行数学教育现代化，中小学数学的教学内容增加很多。这些内容要提早教给儿童，再用传统的教学方法显然是不行的，必须相应地改革教学方法。瑞士心理学家皮亚杰提出，要“制定现代的教学方法来教现代数学”。美国心理学家布鲁纳说，“选择一定的教法，有可能把自然科学和数学的基本概念教给比传统年龄轻得多的儿童。”美国数学教育全国咨询委员会通过调查，认为数学教育现代化未能成功，不完全是教材问题，跟教法没有作相应的改革有很大关系。1980年第四届国际数学教育会议期间，有很多关于教学方法的专题讨论。

　　（三）现代教学技术有了很大的发展，也促进了教学方法的改革

　　很多数学教育工作者认为，现代教学技术（如幻灯机、录音机、电视机、计算器、计算机等）可以帮助学生理解和记忆数学概念，有助于思维，有助于提高学习效率，培养能力。传统的教学方法难以适应个别差异，而现代教学技术在发展高材生和补救差生方面却能发挥很大作用。近年来，国外对于在小学数学教学中如何使用现代教学手段问题进行了很多研究。

　　由于上述原因，现在国外越来越重视教学方法的改革。有些数学教育工作者已从数学课程增加新内容的研究转到数学教学方法的研究，如英国的纳菲尔德设计就是一例。

二 小学数学教学方法改革的趋向

　　根据所看到的一些材料，在小学数学教学方法改革方面，大致有以下几个趋向。

　　（一）强调提高教学效率

　　所谓教学效率，就是单位时间内所完成的教学任务。赞可夫曾不止一次地批评传统的教学方法是多次单调的重复，如10以内的数做了120次练习，讲了25节课，浪费很多时间。他提出教学方法要注意科学、有效；要重视理解，加强各部分知识间的联系，练习和复习要得法。在苏联，很强调要善于依据教学论、儿童心理学、教育心理学和逻辑学的基本原理选择一定条件下的最优教学方案。美国全国数学教师协会（NCTM）拟定的八十年代《行动计划》中第四条，明确提出：“必须把既讲效果又讲效率的严格标准应用于数学教学”。

　　（二）强调发挥学生的积极性，鼓励学生独立发现和探索

　　传统的教学法是灌输式，把学生看作容器，不注意发展学生的智力，不能适应时代的要求。因此一些教育学家、心理学家提出了新的教学理论。如皮亚杰提出：“一切真理都要由学生自己获得，或者由他重新发明，至少由他重建，而不是简单地传递给他。”布鲁纳也认为，学习重要的不是记忆事实，而是获得知识的过程。他提出“发现法”，强调“教数学……要让学生自行思考数学，参与到掌握知识的过程中去。”

　　发现法的一般过程是：确定学习课题（或提出假设），自己研究解决（或检验假设）的方法，收集必要的资料，找出问题的答案。关于发现法，在国外也有不同的看法。有人认为，这样做耗费大量时间只能解决一个细小问题，而教师用几分钟说明即可解决这个问题。也有人认为纯发现法，即自始至终由学生自己来做，在学习顺序和掌握数学结构方面都不会是合乎理想的；而采用有指导的发现法，即问题从外部提出，让学生在教师的必要的帮助下来进行，要比纯发现法效果好。还有人认为发现法是有局限性的，不一定对所有的数学课题和所有的儿童都适用，需要教师很好地制定计划。也有人认为至少要在小学高年级才能使用。

　　（三）强调通过多种活动来掌握数学

　　传统的教学方法是教师讲，学生听，除了做习题以外很少其他活动。1976年第三届国际数学教育会议曾提出这个问题，强调在教学时要通过各种活动，如画图、操作、制做、调查、收集周围环境的数字材料等，来组织教学。美国的八十年代《行动计划》中强调，要鼓励学生提问、实验、估算、探索、提出解释等等。苏联小学数学教学法中也提倡采用多种多样的教学活动和组织形式，并认为这样可为培养儿童的认识能力创造条件。在教学中注重提高实际作业的比重，特别是讲几何初步知识时，要让学生制做、画图、剪纸、叠纸、观察和认识周围环境的几何图形。还强调教应用题要结合儿童的活动，如公益劳动、旅行和其他活动收集编应用题的材料。指出解应用题的目的根本不是教儿童死记某些一定类型的应用题的解法，而是把所获得的理论知识应用于实践。同时也指出，传统的教法一直到现在还在继续发生消极的影响，如选用专门编的所谓“典型”应用题，使儿童死记各种类型应用题的解法，不可能保证学生达到现代条件下所要求的数学知识水平。

　　（四）面向全体，并适应个别差异

　　近二十年来，国外十分重视儿童的个别差异问题，认为长期以来所采用的班级教学，在组织形式上不容易适应个别差异。在数学教育现代化运动初期，强调培养尖端人才，提出个别化的教学方法，实际上只注意到优等生，忽视对差等生的教学。结果在数学教学中，发展了天才教育，而大多数学生的成绩下降。现在已开始注意面向全体学生，同时适应个别差异。近年来，国外在这方面进行了许多试验，提倡分组教学。例如，美国恩德希尔设计出一个教学范型，在教某一数学概念之前，先了解和估计一下有哪几个学生已经理解和掌握这个概念，教学时就让他们直接进入充实提高的活动；而大多数学生则由教师教学。经过大组、小组、个别教学以后进行检查诊断，掌握得好的学生也进入充实提高组，还需要再练习的进入练习组，还没掌握好的进入重授组。到适当时候，所有的学生又作为一个班级一起进入下一个数学概念的学习。日本的数学教学法中也提倡“个别化的指导”，强调在课堂上尽量减少一齐学习的时间，教师多看每个人的作业本，观察学生操作教具，及时发现练习中的错误，及早“治疗”。苏联小学数学教学法中也强调，把个别教学和集体教学巧妙地结合起来，对学生进行有区别的指导，是课堂教学的一个重要方面。并且提出，教师指导下的集体作业，应该跟各种形式的小组作业和个别作业交替进行。教师一般要准备几种差别作业，有的作业还要考虑到每个学生的程度特点，对于学习有困难的学生，还要准备专门的辅导材料。

　　（五）重视广泛应用直观教具和现代化教学手段

　　在国外，直观教具不仅广泛应用于知识的讲解，而且用于思考推理的练习；不仅用于课内，而且用于课外。例如，在美、英、苏等国，低年级都广泛使用彩色木条（《小学数学教师》丛刊第2期91页有介绍）来做四则运算，大数的计算，说明简单的分数等。为了讲几何形体，用硬纸板剪成形体的各个面，随时可以拼装。木制的各种几何形体，配以识图有助于发展空间观念；把它们放在表示不同集合的圆圈里又是很好的逻辑推理练习。现在国外的小学正开设数学实验室或实验角，准备各种各样的教具、操作用具，许多用发现法教学的课就在数学实验室中进行。

　　近年来，在一些较发达的国家和地区，还提倡应用电子计算器和电子计算机进行辅助教学。关于计算器的使用，各国尽管还有不少争论，特别是很多教师不赞成小学生使用计算器，担心会忘掉计算技能。但是不少实验调查报告都认为，计算器有助于掌握基本技能和数学概念以及解答应用题，不会损害学生的学习成绩。同时也考虑到小学的特点，一般认为宜于在高年级使用，在使用计算器之前应先掌握基本计算技能。至于使用计算器以后会带来什么样的影响，有些人认为还需要进一步研究。关于电子计算机，在美、英、日等国已有不少小学使用。计算机不仅用于计算、解应用题，而且用于辅导儿童、解答疑难问题、进行计算技能的训练，此外还用于记录和分析学生成绩并根据学生的进步情况制定学习计划。在美国已编有学习小学数学的成套的程序，根据需要随时可以把程序输入计算机来使用。