动力学中的图象问题、临界问题牛顿运动定律的适用范围·典型例题解析

【例1】如图25－1所示，木块A、B静止叠放在光滑水平面上，A的质量为m，B的质量为2m．现施水平力F拉B，A、B刚好不发生相对滑动，一起沿水平面运动．若改用水平力F′拉A，使A、B也保持相对静止，一起沿水平面运动，则F′不得超过

[ ]

A．2F 　　　　　　　　　　　　　　　　　B．F/2

C．3F 　　　　　　　　　　　　　　　　　D．F/3

解析：水平力F拉B时，A、B刚好不发生相对滑动，这实际上是将要滑动，但尚未滑动的一种临界状态，从而可知此时的A、B间的摩擦力即为最大静摩擦力．

先用整体法考虑，对A、B整体：F＝(m＋2m)a：

再将A隔离可得A、B间最大静摩擦力：fm＝ma＝F/3；

若将F′作用在A上，隔离B可得：B能与A一起运动，而A、B不发生相对滑动的最大加速度：a′＝fm/2m；再用整体法考虑，对A、B整体：F′＝(m＋2m)a′＝F/2因而正确选项为B．

点拨：“刚好不发生相对滑动”是摩擦力发生突变(由静摩擦力突变为滑动摩擦力)的临界状态．由此求得的最大静摩擦力正是求解此题的突破口．

【例2】在光滑的水平面上，一个质量为0.2kg的物体在1.0N的水平力作用下由静止开始做匀加速直线运动，2.0s后将此力换为方向相反、大小仍为1.0N的力，再过2.0s将力的方向再换过来……，这样，物体受到的力的大小虽然不变，方向却每过2.0s变换一次，求经过半分钟物体的位移及半分钟末的速度分别为多大？

解析：在最初2s内物体的加速度为a＝F/m＝1/0.2m/s2＝5m/s2，物体做初速度为零的匀加速直线运动，这2s内的位移为s＝at2/2＝1/2×5×22m＝10m

2s末物体的速度为v＝at＝5×2m/s＝10m/s

2s末力的方向改变了，但大小没变，加速度大小仍是5m/s2，但方向也改变了，物体做匀减速直线运动．到4s末，物体的速度为vt＝v0－at＝10m/s－5×2m/s＝0

所以，物体在前4s内的位移为s1＋s2＝20m．

可以看出，第二个4s物体将重复第一个4s内的运动情况：前2s内做初速度为零的匀加速直线运动，后2s内做匀减运动且后2s末的速度为零．依此类推，物体在半分钟内的v－t图线如图25－2所示，物体在半分钟内的位移为s＝7(s1＋s2)＋s1＝7×20m＋10m＝150m，半分钟末物体的速度为10m/s．

点拨：物体从静止开始，每经过4s，物体的运动状态重复一次．这一特点经过v－t图线的描述，变得一目了然，充分显示了借助于图象解题的优点．

【问题讨论】本题中，若物体在该水平力作用下由静止开始运动，第一次在1.0s后将力换为相反方向，以后，再每经过2.0s改变一次力的方向，则该题的答案又如何？

【例3】用细绳拴着质量为m的重物，从深为H的井底提起重物并竖直向上作直线运动，重物到井口时速度恰为零，已知细绳的最大承受力为T，则用此细绳子提升重物到井口的最短运动时间为多少？

点拨：(1)由题意可知，“最大”承受力及“最短”作用时间均为本题的临界条件．提重物的作用时间越短，要求重物被提的加速度越大，而细绳的“最大”承受力这一临界条件又对“最短”时间附加了制约条件．显然这两个临界条件正是解题的突破口．

(2)重物上提时的位移一定，这是本题的隐含条件．

(3)开始阶段细绳以最大承受力T上提重物，使其以最大加速度加速上升；紧接着使重物以最大加速度减速上升(绳子松驰，物体竖直上抛)，当重物减速为零时恰好到达井口，重物这样运动所需时间为最短．

答案：

【问题讨论】该题还可以借助速度图线分析何种情况下用时最短．

一般而言，物体可经历加速上升、匀速上升和减速上升三个阶段到达井口，其v－t图线如图25－3中的图线①所示；若要时间最短，则应使加速上升和减速上升的加速度均为最大，其v－t图线如图25－3中②所示．

显然在图线与坐标轴围成面积一定的条件下，图线②所需时间最短．

【例4】一个物体在斜面上以一定的速度沿斜面向上运动，斜面底边水平，斜面倾角θ可在0～90°间变化，设物体达到的最大位移x和倾角θ间关系如图25－4所示，试计算θ为多少时x有最小值，最小值为多少？

点拨：这是一道由图线给出的信息作为已知条件的习题．由图线可知，θ＝90°时，物体竖直上抛，所能达到的最大高度x1＝10m，以此求得上抛的初速度v0；

θ＝0°时，物体在水平面上作匀减速直线运动，最大位移x2＝

当斜面倾角为任意值θ时，物体上滑加速度的大小为：a＝gsinθ

＋μgcosθ，代入vt2－v02＝2ax讨论求解即可．

答案：

跟踪反馈

1．如图25－5所示，在粗糙平面上，物体在水平拉力作用下做匀加速直线运动．现使F不断变小，则在滑动过程中

[ ]

A．物体的加速度不断变小，速度不断增大

B．物体的加速度不断增大，速度不断变小

C．物体的加速度先变大再变小，速度先变小再变大

D．物体的加速度先变小再变大，速度先变大再变小

2．一个物体在水平面上受到恒定的水平力作用，从静止开始运动，经过时间t后撤去外力，物体继续运动，其v－t图线如图25－6所示，则在此过程中，水平拉力和滑动摩擦力的大小之比为F∶f＝________．

3．如图25－7所示，在光滑水平面上挨放着甲、乙两物块．已知m2＝2m1，乙受到水平拉力F2＝2N，甲受到一个随时间变化的水平推力F1＝(9－2t)N作用．当t＝________秒时，甲、乙两物块间开始无相互挤压作用．

4．甲物体由A地出发，从静止开始作加速度为a1的匀加速运动，后作加速度大小为a2的匀减速运动，到B地时恰好停止运动．乙物体由A地出发始终作加速度为a的匀加速运动，已知两个物体从A到B地所用的时间相同，求证：1/a＝1/a1＋1/a2

(提示：本题借助图象法求解较为简捷明了．根据习题所描述的物理过程，作出甲、乙两物体的v－t图线，如图25－8所示，再由题意及图线可知甲加速过程的末速度、减速过程的初速度及乙加速运动至B地的末速度相等，均为最大速度vm．由时间关系可知vm/a＝vm/a1＋vm/a2)

参考答案：1．D 2．3∶1 3．4s 4．略