机械能（一）功和功率

知识要点

（一）功

1. 功的概念：一个物体受到力的作用，假如在力的方向上发生一段位移，力就对物体做了功。

2. 功的两个不可缺少的因素：力和在力方向发生的位移。

3. 功的计算公式：

（1）F和s同方向情况：

（2）F和s不同方向的情况： （ 为F与s的夹角）

4. 功的单位：焦耳（牛·米），符号J，（N·m）

5. 功的正负判定方法：功是表示力对空间积累效果的物理量，只有大小没有方向，是标量，功的正负既不是描述方向也不是描述大小而有另外意义。

（1）当 时， ，W为正值，力对物体做正功，力对物体的运动起推动作用。

（2）当 时， ， ，力对物体不做功，力对物体的运动既不推动也不阻碍。

（3）当 时， ，W为负值，力对物体做负功或者说物体克服力F做功，力对物体的运动起阻碍作用。

6. 在曲线运动中，功的正负判定方法：看力F与速度v的夹角 。

7. 注重：讲“功”，一定要指明是哪个力对那个物体的功，功是标量。

8. 恒力做功的求法： 中的F是恒力，求恒力所做的功只要找出F、s、 即可。

9. 合力做功（总功）的求法：一种方法是先求出合力再用 求总功，另一种方法是 即总功等于各个力做功的代数和，这两种方法都要求先对物体进行正确的受力分析，后一种方法还要求把各个功的正负号代入运算。

10. 一些变力（指大小不变，方向改变，如滑动摩擦阻力，空气阻力），在物体做曲线运动或往复运动过程中，这些力虽然方向变，但每时每刻与速度反向，此时可化成恒力做功，方法是分段考虑，然后求和。

（二）功率

1. 功率的概念：功跟完成这些功所用时间的比值叫功率。功率是表示做功快慢的物理量，是标量。单位是瓦（W）。

2. 功率的计算方法（平均功率和瞬时功率的求法）

是平均功率，对功率 ，当v为平均速度时，P为平均功率，当v为瞬时速度时，P为瞬时功率，因此求功率时要分清是求平均功率还是瞬时功率。对于力F与速度v不在同一直线时，不能直接用 而应用 。

3. 机械额定功率概念：机械正常工作时输出的最大功率。

4. 机车以恒定功率起动情况：P一定，v变大，F变小，a变小，当a=0时，v不变，机车匀速运动，这时 ，而 为机车行驶的最大速度。

5. 机车以加速度a匀加速起动情况：a一定，F也一定，P随v增大而增大，当P达到 后，F、a不能维持，开始减小，但速度还要增大，直到a=0，v达最大 。

要维持汽车加速度不变，就要维持其牵引力不变，汽车功率将随v增大而增大，当P达到额定功率 后，不能再增加，即汽车就不可能再保持匀加速运动了。

【典型例题分析】

[例1] 在水平粗糙地面上，使同一物体由静止开始做匀加速直线运动，第一次是斜上拉力，第二次是斜下推力，两次力的作用线与水平方向的夹角相同，力的大小也相同，位移大小也相同，则（ ）

A. 力F对物体做的功相同，合力对物体做的总功也相同

B. 力F对物体做的功相同，合力对物体做的总功不相同

C. 力F对物体做的功不相同，合力对物体做的总功相同

D. 力F对物体做的功不相同，合力对物体做的总功也不相同

分析和解答：正确答案是B。根据恒力做功的公式 ，由于F、s、 都相同，故力F做功相同。求合力功时，先进行受力分析，受力图如图所示，下面用两种方法求合力做的功。

方法一：由于斜上拉和斜下推物体而造成物体对地面的压力不同，从而使滑动摩擦力 的大小不同，因而合力 不同

∴ 由 知 不相同

方法二：因重力和支持力不做功，只有F和f做功，而F做功 相同，但摩擦力做功 因f不同而不同

∴ 由 知 不相同

[例2] 电动机能过一绳子吊起质量为8kg的物体，绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1200W，要将此物体由静止起用最快的方式吊高90m（已知此物体在被吊高接近90m时，已开始以最大速度匀速上升）所需时间为多少？

此题可以用机车起动类问题的思路，即将物体吊高分为两个过程处理：第一过程是以绳所能承受的最大拉力拉物体，使物体匀加速上升，第一个过程结束时，电动机刚达到最大功率，第二个过程是电动机一直以最大功率拉物体，拉力逐渐减小，当拉力等于重力时，物体开始匀速上升。

在匀加速运动过程中加速度为

末速度

上升的时间

上升高度为

在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速率为

外力对物体做的总功 ，动能变化量为

由动能定理得

代入数据后解得 ，所以 所需时间至少为7.75s。

三. 疑难辨析

对功的公式 的探讨

功是物理学中十分活跃的一个物理量，它的计算是物理学中最基本的问题之一。在力学、电学、热学、光学、原子物理学中均出现，单就力学范围来讲，它的计算也是个不容忽视的问题。下面几例，仅就力学部分依据公式 计算功时应注重的问题进行探讨。

1. 位移是相对的，随参照物的不同而不同。

运动是相对的，位移也是相对的。在确定功的计算式中的位移时，需要选用参照物，这样位移才能确定，计算才有着落。

例1：如图1（a）所示，小物块A位于光滑的斜面B上，斜面位于光滑的地面上，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中斜面对小物块的作用力（ ）

A. 垂直于接触面，做功为零 B. 垂直于接触面，做功不为零

C. 不垂直于接触面，做功为零 D. 不垂直于接触面，做功不为零

图1（a）

错解：大部分学生认为答案是A。他们的根据是“支持力的方向垂直于支持面，指向被支持的物体”，物体沿斜面下滑时，位移方向沿斜面向下，与支持力方向夹角为90°（等于把斜面选为参照物），从而由功的计算公式可判定 。

正解与分析：根据支持力的特点，“其方向垂直于支持面，指向被支持的物体”，这一点毫无疑问。支持力做功与否要由 来决定，这里 ， ，要害是 是否为90°。上述错解不符合题目“从地面上看”的要求，故选支持力做功为零是不符合题意的。从地面上看时，由题设条件“光滑斜面”及“光滑水平面”的情境，小物块A下滑时，斜面体会反冲。这样以地面为参照物时，物体的位移就是如图1（b）中的s段，而不是沿斜面方向，由于位移方向与支持力方向夹角大于90°，故支持力做负功。

上述错解的根源在于对位移的相对性注重不够，一般来说，在功的计算中都是取匀速运动的物体或静止的物体作为参照物来确定物体的位移，即所谓惯性参照系。

图1（b）

2. 位移是指力的作用点的位移

功的计算中的位移，是指相应的力的作用点的位移。一般情况下，它与运动物体的位移相同，但也有不同的情况，计算功时要非凡注重这一区别。

例2：如图2所示，人通过一动滑轮提升一重物，人向上的拉力是700N，重物的质量为50kg，求把重物提升1m的过程中人和重力分别做的功。（g=10m/s2）

图2

错解：由 知①对于人的拉力来说 ，

所以

② 对于重力

正解与分析：显然上述计算中 的结论是错误的。根源就是把物体的位移当作力的作用点的位移，其实在物体提升1m时，人要用700N的力把绳子向上拉2m，因而正确的结果是

力的作用点的位移和物体的位移相同的情况是常见的，但二者有差别也是常出现的，计算功时不可以掉以轻心。

3. 是指力的作用点的位移与力的方向之间的夹角，确定时应慎重。

例3：如图3（a）所示，某人用100N的恒力通过滑轮把放在粗糙水平面上物体拉动了1m，用力方向始终与水平面的夹角为60°，那么此人做的功是多少？

错解：由 ，物体前进1m，绳子拉动2m，即 ， 已知，因而 。

图3（a）

正解与分析：上面计算中除对力的作用点的位移确定有误外，对于 的确定也是错误的。正确的关系如图3（b）所示，设力F的作用点在绳子的A点，当物体沿水平方向移动s0时，A点沿着 方向位移也为s0，力的作用点的位移沿着 的方向移动s。

图3（b）

而由图中几何关系得 ，为力的作用点的位移方向与力的方向之间的夹角。

所以 ，为力的作用点的位移，所以

当然上题也可以由定滑轮省力不省功原理来计算，即：

上面几例是对功的公式 的探讨和剖析，可见记住一个公式很轻易，要理解它并非易事，用好它更不是轻而易举的事情，教学中应加强对学生这方面能力的培养。

【模拟试题】

（答题时间：40分钟）

1. 静止在水平地面上的物体，在恒力F的作用下发生位移s，在地面光滑和不光滑两种情况中（ ）

A. 无摩擦时，力F对物体做的功多 B. 有摩擦时，力F对物体做的功多

C. 无摩擦时，物体获得的动能大 D. 不论有无摩擦物体获得的动能一样大

2. 一质量为m的木块静止在光滑的水平地面上，用大小为F方向与水平成 角的恒力作用在该木块上，经过时间t，力F的即时功率为（ ）

A. B. C. D.

3. 一个水平力F作用在物体上，使它在力的方向上移动了一段距离S，力F做的功为W1，功率为P1；若减小物体与水平面间的摩擦力，仍用水平力作用于该物体，使它在力的方向上移动同样的距离S，做的功为W2，功率为P2，则以下结论正确的是（ ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

4. 飞机在飞行时受到的空气阻力与速率的平方成正比，若飞机以速率v匀速飞行时，发动机的功率为P，则当飞机以速率 匀速飞行时，发动机的功率为（ ）

A. B. C. D.

5. 质量为 的机车，以恒定的加速度从静止出发，经5min行驶2.25km，速度达到最大值54km/h，则机车的功率为 W。

6.（2002年上海春考）铁路提速，要解决许多技术问题。通常，列车阻力与速度平方成正比，即 。列车要跑得快，必须用大功率机车来牵引。试计算列车分别以120km/h和40km/h的速度匀速行驶时，机车功率大小的比值。（提示：物理中重要公式有 ， ， ， ）

7. 额定功率为80kW的汽车，在平直的公路上行驶的最大速度为20m/s。已知汽车的质量为 ，若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度的大小为 。假定汽车在整个运动过程中阻力不变。求：

（1）汽车受到的阻力 ；（2）汽车在3s末的瞬时功率；

8. 质量为 的汽车发动机的额定功率 ，汽车从静止开始，以 的加速度做匀加速直线运动，所受阻力恒为 ，求：（1）汽车匀加速运动所用的时间t；（2）汽车可达的最大速度 ；（3）汽车速度为 时的加速度 。

9. 汽车质量为5t，其发动机额定功率为37.5kW，汽车在水平道路上从静止开始起动，开始一段时间内，以加速度 做匀加速运动，最后匀速运动的速度为 。求：

（1）汽车做匀加速运动的时间；（2）汽车匀速运动后关闭发动机，还要滑多远？

【试题答案】

1. C 2. A 3. A 4. D 5. 6.

7.

（1）

（2） ， ，

8.（1） （2） （3）

9.（1） （2）