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[组图]机械能守恒定律及其应用·典型例题精析

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机械能守恒定律及其应用·典型例题精析

链,则当铁链刚挂直时速度多大?

[思路点拨]  以铁链和地球组成的系统为对象,铁链仅受两个力:重力G和光滑水平桌面的支持力N,在铁链运动过程中,N与运动速度v垂直,N不做功,只有重力G做功,因此系统机械能守恒.铁链释放前只有重力势能,但由于平放在桌面上与悬吊着两部分位置不同,计算重力势能时要分段计算.选铁链挂直时的下端点为重力势能的零标准,应用机械能守恒定律即可求解.

[解题过程]  初始状态:平放在桌面上的部分铁链具有的重力势能

mv2,又有重力势能

根据机械能守恒定律有E1=E2.所以Ep1+Ep2=Ek2+Ep2,故

[小结]  (1)应用机械能守恒定律解题的基本步骤由本题可见一斑.①根据题意,选取研究对象.②明确研究对象在运动过程中受力情况,并弄清各力做功情况,分析是否满足机械能守恒条件.③恰当地选取重力势能的零势能参考平面,确定研究对象在过程的始、末状态机械能转化情况.④应用机械能守恒定律列方程、求解.

(2)本题也可从线性变力求平均力做功的角度,应用动能定理求解,也可应用F-h图线(示功图)揭示的功能关系求解,请同学们尽可发挥练习.

[例题2]  如图8-54所示,长l的细绳一端系质量m的小球,另一端固定于O点,细绳所能承受拉力的最大值是7mg.现将小球拉至水平并由静止释放,又知图中O′点有一小钉,为使小球可绕O′点做竖直面内的圆周运动.试求OO′的长度d与θ角的关系(设绳与小钉O′相互作用中无能量损失).

[思路点拨]  本题所涉及问题层面较多.除涉及机械能守恒定律之外,还涉及圆周运动向心力公式.另外还应非凡注重两个临界条件:①要保证小球能绕O′完成圆周运动,圆周半径就不得太长,即OO′不得太短;②还必须保证细绳不会被拉断,故圆周半径又不能太短,也就是OO′不能太长.本题的研究中应以两个非凡点即最高点D和最低点C入手,依上述两临界条件,按机械能守恒和圆运动向心力公式列方程求解.

[解题过程]  设小球能绕O′点完成圆周运动,如图8-54所示.其最高点为D,最低点为C.对于D点,依向心力公式有

(1)

其中vD为D点速度,vD可由机械能守恒定律求知,取O点为重力势能的零势能位置,则

(2)

将(1)式与(2)式联立,解之可得

另依题意细绳上能承受的最大拉力不能超过7mg,由于在最低点C,绳所受拉力最大,故应以C点为研究对象,并有

(3)

其中vC是C点速度,vC可由机械能守恒定律求知

(4)

将(3)式与(4)式联立,解之可得

[小结]  (1)本题中小球在圆运动中,由于绳的拉力与运动方向相互垂直不会做功,只有重力做功,故机械能守恒.求解竖直面内的圆周运动问题是机械能守恒定律的重要应用之一,并由此可以推导出些有价值的结论.例如:从光滑斜面滑下的小球,进入竖直光滑的圆环(半径为R),

在细绳作用下在竖直面内做圆周运动,在最低点和最高点,绳上拉力的差,应等于6mg,等等.

(2)从本题的结论入手,我们还可以对本题进行挖掘,请考虑假如我们改变一下绳上所承受拉力的最大值,原题是否还一定有解呢?答案应是否定的.当Tm=6mg时,O′点的位置将不再是范围,而是一个定点;当Tm=5mg时,本题将根本无解.

[例题3]  如图8-55所示,半径为r,质量不计的圆盘盘面与地面垂直,圆心处有一个垂直盘面的光滑水平定轴O,在盘的右边缘固定

的小球B,放开盘让其自由转动.问:

(1)当A转到最低点时,两小球的重力势能之和减少了多少?

(2)A球转到最低点时的线速度是多少?

(3)在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少?

[思路点拨]  两小球重力势能之和的减少,可选取任意参考平面为零势能参考平面进行计算.由于圆盘转动过程中,只有两小球重力做功,根据机械能守恒定律可列式算出A球的线速度和半径OA的最大偏角.

[解题过程]  (1)以通过转轴O的水平面为零势能面,开始时两球重力势能之和为

当A球转至最低点时两球重力势能之和为

Ep2=EpA+EpB=-mgr+0=-mgr,

故两球重力势能之和减少了

(2)由于圆盘转动过程中,只有两球重力做功,机械能守恒,因此两球重力势能之和的减少一定等于两球动能的增加,设A球转至最低点,A、B两球的线速度分别为vA,vB,则

因A、B两球固定在同一圆盘上,转动过程中的角速度ω相同.由

(3)设半径OA向左偏离竖直线的最大角度为θ,如图8-56,该位置系统的机械能与开始时的机械能分别为

由系统机械能守恒定律E1=E3,即

两边平方得      4(1-sin2θ)=1+sin2θ+2sinθ,

所以            5sin2θ+2sinθ-3=0,

[小结]  系统的始态、末态的重力势能,因参考平面的选取会有所不同,但是重力势能的变化却是绝对的,不会因参考平面的选取而异.机械能守恒的表达方式可以记为

Ek1+Ep1=Ek2+Ep2,

也可以写作:ΔEk增=ΔEp减.本题采用的就是这种形式.

[例题4]  如图8-57所示,A、B两个物体放在光滑的水平面上,中间由一根轻质弹簧连接,开始时弹簧呈自然状态,A、B的质量均为M=0.1kg,一颗质量m=25g的子弹,以v0=45m/s的速度水平射入A物体,并留在其中.求在以后的运动过程中,

(1)弹簧能够具有的最大弹性势能;

(2)B物体的最大速度.

[思路点拨]  由题意可知本题的物理过程从以下三个阶段来分析:其一,子弹击中物体A的瞬间,在极短的时间内弹簧被压缩的量很微小,且弹簧对A的作用力远远小于子弹与A之间的相互作用力,因此可认为由子弹与A物体组成的系统动量守恒,但机械能不守恒(属完全非弹性碰撞).其二,弹簧压缩阶段,子弹留在木块A内,它们以同一速度向右运动,使弹簧不断被压缩.在这一压缩过程中,A在弹力作用下做减速运动,B在弹力作用下做加速运动.A的速度逐渐减小,B的速度逐渐增大,但vA>vB.当vA=vB时,弹簧的压缩量达最大值,弹性势能也达到最大值.以后随着B的加速,A的减速,则有vA<vB,弹簧将逐渐恢复原长.其三,弹簧恢复阶段.在此过程中vB>vA,且vB不断增大而vA不断减小,当弹簧恢复到原来长度时,弹力为零,A与B的加速度也刚好为零,此时B的速度将达到最大值,而A的速度为最小值.

根据以上三个阶段的分析,解题时可以不必去细致研究A、B的具体过程,而只要抓住几个非凡状态即可.同时由于A、B受力均为变力,所以无法应用牛顿第二定律,而只能从功能关系的角度,借助机械能转化与守恒定律求解.

[解题过程]  (1)子弹击中木块A,系统动量守恒.由

弹簧压缩过程.由子弹A、B组成的系统不受外力作用,故系统动量守恒且只有系统内的弹力做功,故机械能守恒.

选取子弹与A一起以v1速度运动时及弹簧压缩量最大时两个状态,设最大压缩量时弹簧的最大弹性势能为Epm,此时子弹A、B有共同速度v共,则有

代入数据可解得           v共=5m/s,Epm=2.25J.

(2)弹簧恢复原长时,vB最大,取子弹和A一起以v1速度运动时及弹簧恢复原长时两个状态,则有

代入数据可解出B物体的最大速度  vBm=10m/s.

[小结]  本题综合了动量守恒与机械能守恒定律的应用.A、B运动过程中受变力作用,除不断进行动能与弹性势能的相互转化外,还始终遵循系统动量守恒.选取非凡状态,建立两守恒方程是解决本题的要害.

关于这两个守恒之间的关系应加以注重,初学者常有人将两守恒的条件混淆、等同或企图用一个代替另一个.

例如有人认为:系统动量守恒,则系统的合外力为零;而合外力为零,合外力的功也为零,故系统的机械能也守恒.类似错误还可列举很多.

实际上它们是完全不同的守恒问题,各自具有严格的成立条件,绝不可等同或替代,请同学们在学习中认真理解.

来源:中国哲士网

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