机械能专题

（一）对功的熟悉

1. 做功与否的判定问题

物体受到力的作用，假如物体在力的方向上发生位移，我们就说力对物体做了功。可见做功与否的判定，依据的是功的两个要素：力与力的方向上的位移。

2. 做功多少的计算问题

做功多少是根据功的公式来计算的，功的公式为： ，其中各个物理量的含义如下：F是做功的力；s是力所作用的那个物体的位移；而 则是力F与位移s之间的夹角。

3. 做功快慢的描述问题

做功的快慢程度用功率来描述，功率的定义式是：

功率的导出式是：

前者用于计算某段时间内的平均功率，后者则用于计算某个时刻瞬时功率。

4. 对功的物理含义的理解

关于功我们不仅要从定义式 进行理解和计算，还应理解它的物理含义。功是能量转化的量度，即：做功的过程是能量的一个转化过程，这个过程做了多少功，就是多少能量发生了转化。对物体做正功，物体的能量增加。对物体做了多少正功，物体的能量就增加了多少；对物体做负功，也称物体克服阻力做功，物体的能量减少，做了多少负功，物体的能量就减少了多少。因此功的正、负表示能的转化情况，表示物体是输入了能量还是输出了能量。

[例1] 如图1所示，质量为m的物体静止于倾角为 ，质量为M的斜面体上，现对该斜面体施一水平向左的推力F，使物体随斜面体一起沿水平方向向左匀速运动，位移为s，求在此过程中物体所受重力、支持力、摩擦力各对物体做了多少功？

图1

析与解：物体的受力情况如图2所示，由于物体处于匀速运动状态，可由共点力的平衡条件得， ， ，且 与s间的夹角为 ， 与s间的夹角为 ，所以：

图2

说明：若力和位移不在一条直线，求力对物体做功时，可将力正交分解，使其一个分力与位移在一条直线上，另一个分力与位移垂直，也可以将位移按类似的方法正交分解。

（二）对功率的熟悉

1. 功率是描述做功快慢的物理量

由 可知，功率的大小只与其“比值”有直接联系，与做功多少和时间长短无直接关联，比较功率的大小就要比较功与完成这些功的所用时间之“比值”。“比值”大，功率就大，做功就快，“比值”小，功率就小，做功就慢。

物体做功功率是描述物体做功的一个状态；做功的多少是一个过程，所以不能说功率大，做功就多。物体做功多少是做功物体在做功过程中的一个积累，随着做功过程的积累时间越长，这个物体做功就越多， 就是一个积累的意思。即P在时间t上的积累就是物体做功的多少。

2. 对力的功率的熟悉

由 、 可得： ，此式中 为力F与速度 之间的夹角。把 当作整体来看是物体在力的方向上的分速度，即：作用在物体上的力与物体在力的方向上分速度的乘积叫做力的功率。

对一个动力机械，当功率P一定时，由 可知：降低运动速度可以增大牵引力；反过来，若阻力很小，可以加快运动速度。这一点在各种机械设备中有着广泛的应用。

任何机械都有一个铭牌，铭牌上所注功率为这部机械的额定功率。它是提供人们对机械进行选择、配置的一个重要参数，它反映了机械的做功能力或机械所能承担的“任务”。机械运行过程中的功率是实际功率。机械的实际功率可以小于其额定功率（俗称机械没吃饱），可以等于其额定功率（称满负荷运行），还可以在短时间内略大于其额定功率（称超负荷运行）。机械不能长时间超负荷运行，那样会损坏机械设备，缩短其使用寿命。

3. 机车的两种启动

（1）机车以恒定功率启动，牵引力随速度的增大而减小，机车做加速度逐渐减小的变加速运动。当加速度减小到零时速度最大，以后机车做匀速运动（牵引力等于阻力）。如图3所示机车以恒定功率启动的P—t图和v—t图。（机车在水平面运动，阻力视为恒定）

图3

图4

（2）机车匀加速启动，机车先做初速为零的匀加速运动。功率随时间正比例增大，当增大到额定功率时，开始做一段变加速运动，牵引力减小到等于阻力时，机车的速度增大到最大速度。如图4为机车以匀变速启动的P—t和v—t图。

例2：汽车发动机的额定牵引功率为60kW，汽车质量为 ，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重的 倍，试问（取 ）：

（1）汽车保持以额定功率从静止起动后能达到的最大速度是多少？

（2）若汽车从静止开始，保持以 的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？

析与解：

（1）汽车一开始就保持额定功率，牵引力随速度的增大而减小，汽车做加速度逐渐减小的变加速运动，当加速度减小到零时速度最大。

此时， ，

所以

（2）汽车以恒定加速度起动，先做初速为零的匀加速运动，功率随时间正比例增大，当增大到额定功率时，开始做变加速运动。设保持匀加速运动的时间为t，匀加速运动能达到的最大速度为 ，则：

，所以

（三）对动能的熟悉

1. 动能是一个状态量，它与物体的运动状态对应。动能也是标量，它只有大小，没有方向，而且物体的动能总是大于等于零，不会出现负值。

动能具有相对性，它与参照物的选取有关。如：在行驶中汽车上的物体，对汽车上的乘客，物体动能为零；但对路边的行人，物体的动能不为零。

2. 外力对物体做功与物体动能的关系：

外力对物体做正功，物体的动能增加，这一外力有助于物体的运动，是动力；外力对物体做负功，物体的动能减小，这一外力是阻碍物体的运动，是阻力，外力对物体做负功往往又称物体克服阻力做功。功是能量转化的量度，外力对物体做了多少功；就有多少动能与其他形式的能发生了转化。所以外力对物体所做的功就等于物体动能的变化量，即 。这就是动能定理。

3. 应用动能定理的注重点：

（1）明确研究对象、研究过程，找出初、末状态的速度情况。

（2）要对物体进行正确的受力分析（包括重力），明确各力做功的大小及正负情况。

（3）若物体运动过程中包含几个不同物理过程，解题时，可以分段考虑，也可视为一整体过程，列出动能定理求解。

4. 关于动能与动量的比较

（1）动能与动量都是由质量和速度共同决定的物理量；

（2）动能和动量都是用于描述物体机械运动的状态量；

（3）动能是标量，动量是矢量；

（4）动能决定了物体克服一定阻力能运动多远，动量则决定着物体克服一定阻力能运动多长时间；

（5）动能是从能量观点出发描述机械运动的，动量是从机械运动本身出发描述机械运动状态的。

例3：总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱钩，司机发觉时，机车已行驶了L距离，于是立即关闭油门撤去牵引力。设运动的阻力与质量成正比，比例系数为k，机车的牵引力恒定，当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？

析与解：设牵引力为F，脱钩前列车的速度为 ，脱钩后两部分的位移分别为 、 。对列车脱钩到静止的全过程，由动能定理： ，对末节车厢，脱钩后运动的全过程，由动能定理： ，由脱钩前列车匀速运动得： ，解得： 。

本题也可用补偿法进行分析。若末节车厢脱钩时司机关闭油门，则两部分运动情况完全相同，停止时它们的距离为0，脱钩后牵引力做了 的功，才使两部分拉开距离，这部分功补偿机车多行驶距离中克服阻力所做的功。 ，所以 。

点评：本题还可以用运动学知识与牛顿第二定律求解，但较繁杂，显然，用补偿法求解则简单快捷，所以平时做题要注重进行解题方法总结。

（四）对重力势能的熟悉

1. 重力势能是物体和地球这一系统共同所有，单独一个物体谈不上具有势能。即：假如没有地球，物体谈不上有重力势能，平时说物体具有多少重力势能，是一种习惯上的简称。

2. 重力势能是标量，它没有方向。但是重力势能有正、负。此处正、负不是表示方向，而仅表示比参考点的能量状态高还是低。势能大于零表示比参考点的能量状态高，势能小于零表示比参考点的能量状态低。参考点的选择不同虽对势能值表述不同，但对物理过程没有影响，即势能是相对的，势能的变化是绝对的，势能的变化与参考点的选择无关。

3. 重力做功与重力势能

重力做正功，物体高度下降，重力势能降低；重力做负功，物体高度上升，重力势能升高。可以证实，重力做功与路径无关，由物体所受的重力和物体初、末位置所在水平面的高度差决定，即： 。所以重力做的功等于重力势能增量的负值，即

例4：如图5所示，半径为r，质量不计的圆盘面与地面相垂直，圆心处有一个垂直于盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘，固定一个质量为m的小球A，在O点正下方离O点 处，固定一个质量也为m的小球B，放开盘，让其自由转动，试计算：

（1）当A球转到最低点时，两球的重力势能之和少了多少？

（2）A球转到最低点时的线速度是多少？

（3）在转动过程中，半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？

图5

析与解：

（1）重力势能之和减少了：

（2） ，

（3） ，即

解得：

点评：两球速度不同，搞清速度关系是本题解题的要害。

（五）对机械能守恒条件的熟悉

假如没有摩擦力和介质阻力，物体只发生动能和势能的相互转化时，机械能的总量保持不变，这就是机械能守恒定律。没有摩擦和介质阻力，这是守恒条件。具体的讲，假如一个物理过程只有重力做功，只是重力势能和动能之间发生相互转化，没有与其他形式的能发生转化，物体的动能和重力势能总和保持不变。假如只有弹簧的弹力做功，在弹簧与物体系统中就只有弹性势能与动能之间发生相互转化，不与其他形式的能发生转化，所以弹性势能和动能总和保持不变。分析一个物理过程是不是满足机械能守恒，要害是分析这一过程中有哪些力参与了做功，这一力做功是什么形式的能转化成什么形式的能，假如只是动能和势能的相互转化，而没有与其他形式的能发生转化，则机械能总和不变。假如没有力做功，不发生能的转化，机械能当然也不发生变化。

例5：如图6所示，一质量为 的半圆形槽内壁光滑，放在光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的木桩以阻止槽水平向左运动，槽的半径为R。今从槽左侧A端的正上方D处有一个质量为 的小球，球恰好从A点自由进入槽的内壁轨道。为了使小球沿槽的内壁恰好运动到槽的右端B点。试求D至A点的高度。

图6

析与解：此题若用常规法解答，复杂耗时且易出错。若构建能流图，利用整个过程机械能守恒，系统水平方向动量守恒，则易解此题，小球从D点落到O点再运动到B点，其能流图如下：

依题意有： ①

②

③

联立①、②、③得：

解之得：

点评：把握好机械能守恒的条件，利用能量流动图直观地分析物理过程是解答此题的要害。

【模拟试题】

1. 下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示。图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动，在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是（ ）

A B

C D

图1

2. 1999年10月31日，山东青年燕庆伟在济南杨庄险段蛇口处骑自行车飞越黄河，他沿长100m，起点到最高点高度差为40m的搭建跑道，从静止开始加速到脱离跑道端点时，速度达到 ，则他消耗的能量至少约为（ ）

A. B. C. D.

3. 行驶中的汽车制动后滑行一段距离，最后停下；流星在夜空中坠落并发出明亮的火焰；降落伞在空中匀速下降。上述不同现象中所包含的相同的物理过程是（ ）

A. 物体克服阻力做功

B. 物体的动能转化为其他形式的能量

C. 物体的势能转化为其他形式的能量

D. 物体的机械能转化为其他形式的能量

4. 用铁锤把小铁钉敲入木板。假设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比。已知第一次将铁钉敲入木板1cm，假如铁锤第二次敲铁钉的速度变化与第一次完全相同，则第二次铁钉进入木板的深度是（ ）

A. B. C. D.

5. 如图2所示是健身用的“跑步机”示意图，质量为m的运动员踩在与水平面成 角的静止皮带上，运动员用力后蹬皮带，皮带运动过程中受到阻力恒定为 ，使皮带以速度 匀速运动，则在运动过程中下列说法正确的是（ ）

A. 人脚对皮带的摩擦力是皮带运动的阻力

B. 人对皮带不做功

C. 人对皮带做功的功率为

D. 人对皮带做功的功率为

图2

6. 随着能源消耗增加，如何有效地提高能量利用率是人类所面临的一项重要任务。如图3所示是上海“明珠线”某轻轨列车车站的设计方案，与站台连接的轨道有一个小的坡度，列车进站时利用自身动能转化成 能，可以使列车很快停下来，出站时该能量又可以转化成列车的动能，从而起到节能作用。

图3

7. 如图4所示，一缆车系统将乘客送上和送下高40m，长80m的山坡，整个系统由一上一下两个车厢组成，它们通过山顶一个巨大的滑轮由钢索相连，滑轮由电动机驱动，设每个车厢运动中受到摩擦力恒为 ，则整个缆车系统在一次全行程中克服摩擦力做功是 J。

图4

8. 汽车的质量为 ，额定功率为30kW，运动中阻力大小为车重的0.1倍。汽车在水平路面上从静止开始以 的牵引力出发，求：

（1）经过多长的时间汽车达到额定功率；

（2）汽车达到额定功率后保持功率不变，运动中最大速度多大？

（3）汽车加速度为 时速度多大？

9. 如图5所示，一滑块由静止开始沿半径为R的光滑四分之一圆弧面的顶端A由静止滑下，A与圆心O在同一水平面上，经B点后进入粗糙水平地面，若滑块与地面间的动摩擦因数为 ，试求：① 滑块到达B点的速度；② 滑块在水平地面上能滑行的距离。

图5

【试题答案】

1. C 2. B 3. A 4. B 5. D 6. 势能 7.

8.

（1） （2） （3）

9.

（1） （2）