北师大版初中数学九年级下册 教材分析

  一、教材总体思路分析

    1．本册书的主要内容主要有：二次函数；直角三角形的边角关系、圆；统计与概率。

    二次函数的学习是在学习一次函数、反比例函数基础上进行的，学生对于函数概念的认识、研究函数的方法已积累了一定的经验。通过学习，在丰富的现实背景中领会研究二次函数的重要性和必要性，经过探究认识二次函数的基本特性的过程，进一步积累研究函数的基本方法，为以后的学习打下必要的基础，同时，也感受数学与数学的其他内容、以及与其他学科的联系。关注用从函数的角度考察问题，在问题求解过程中领悟函数的应用价值。二次函数是一个重要的初等函数，对二次函数的讨论为进一步学习函数，体会函数思想奠定基础。
    在研究直角三角形的边角关系过程中，在锐角函数值与边的比值之间建立联系，形成概念，并用数学符号做出表示，便于说明和解决许多涉及三角形计算与测量的实际问题。教材把解三角形的知识融入到现实背景中，可以结合比、比例、图形相似等知识的综合运用和说理证明，加深理解，为进一步学习“三角函数”作好理论准备。
    对于圆的学习，则充分利用圆的对称性，用对称的观点观察图形，以“变换”为工具深入探索，获得一批几何事实。关注圆与直线形之间的内在联系，形成对圆和几何图形的整体性认识。探索活动中关注识别复杂图形中几何要素和基本图形（特别是直角三角形）之间的关系，关注图形的整体结构和运动变化（图形的位置关系），用已有的知识进行说理，确认有关结论。
    《统计与概率》一章中，主要目的是对前面学过的内容进行回顾与整理，进一步运用已有知识对现实问题和现象进行观察与思考，重新认识知识之间的联系，关注试验操作与理论计算之间的关系和概率与统计之间的内在联系。

    2．教材设计与内容组织的考虑

    （1）二次函数是一个重要的初等函数，对它的讨论是从最简单的二次幂函数开始的，研究它的图象和性质。一般的二次函数可通过配方变形做出解释，对图象的研究则是从最简情形的图象出发，经平移或轴对称变换（a﹤0时）得到（以顶点坐标为标志）一般情形下的函数图象。
    明确函数的三种表示形式，体现了“数学多重表示和多种意义”的特征，便于从不同侧面对函数性质的觉察和从不同角度的整合中对二次函数形成整体性认识。用图象法研究一元二次方程的近似解，主要目的是渗透数形结合思想、让学生了解研究一般方程解的基本方法，发展估算能力，帮助他们进一步从函数的角度认识方程的解的含义，这些都有重要教育价值。
教材引入具有挑战性的应用性问题，目的是开阔视野，培养“用数学眼光观察事物”的习惯，提高对问题深入分析并进行数学表示的能力，提高“用数学”意识和水平。

    （2）为了能够准确刻画物体的倾斜程度及对坐标平面中直线“斜率”几何意义的理解，在直角三角形中先引入“锐角的正切”更容易为学生所接受。接下来讨论正弦、余弦及“锐角三角函数”的概念，这是一个数学化的过程。此时的“三角函数”实际上是“三角比”。知识的发生是为了适应测量和计算的需要，教材通过三角函数的简单应用，巩固知识和加深理解，再现了“三角学”源起的历史进程。

    （3）教材把《圆》放在几何学习的最后，不仅仅是图形比较复杂。由于对圆的研究需要借助直线形的有关知识，希望从图形性质的研究和图形位置关系的讨论为载体，对整个初中阶段中的几何知识，特别是研究方法进行回顾与提升。
     几何学习有两条主线，有关图形性质的知识和研究图形的方法。知识的展开是由简单到复杂；研究方法可以是实验—论证，或从公理出发进行逻辑推演即演绎法。本套教材倾向于在实践探索的基础上进行归纳和论证，采取合情推理与逻辑推理相结合的方式，融几何方法于数学活动过程之中，关注学生创新能力的发展。
     在《圆》的学习过程中，充分利用圆的最本质特性——对称，用变换的方法进行探索与发现，将通过观察、试验、归纳、概括、说理、证明等活动积累的数学经验也纳入教学目标之中。

    （4）在初中阶段，概率的学习从实验概率为主线，并在体验随机性和统计规律性的基础上，用列表法或树状图进行理论计算。统计的学习定位于在统计活动的学习，形成统计的意识（用数据说话）和随机观念。因此对知识的回顾与整理不是采用罗列性的表述，而是在探究一些有趣的问题中加深体验，学会独立思考和质疑，学会理性的判断和决策。教材中还通过实例让学生感受平均收益的含义，渗透“数学期望”的概念。

二、教学中应注意的几个问题

    1．关注对数学知识的理解

    （1）对函数的认识是从七年级下学期开始的，引导学生关注变量之间的相依关系，八年级给出了函数的概念，介绍了一次函数和正比例函数，九年级学习了反比例函数和二次函数。重视对函数实质的理解和用函数的观点进行观察分析与运用。初中阶段对函数的定义（变量——对应）在二次函数最后的“读一读”中出现，明确的将函数从“关系”中分离出来。领悟函数的实质是教学的重点。

    （2）在学习《圆》的过程中，应加深对图形性质内在联系的理解，关注图形的位置关系和结构性关系的认识。在探究的基础之上，可以让学生进行适当的几何证明，但不作统一的要求。

    （3）在《统计与概率》一章中，讨论了生活中出现的一些现象和问题，也包括某些广告宣传中的误导。要学会理性的看待问题，用数据说话，学会用数学的眼光进行合理质疑和进行科学判断。体会随机现象背后的规律性和规律性中存在的随机性，体会概率与统计的内在联系。

    2．重视反思与知识的重组

    义务教育阶段所学的数学知识更贴近学生的生活经验。通过任务或问题驱动，教材提供了数学活动的线索，学生经历知识的发生和发展过程，个人的素质得到更为全面的发展。
    这种教材内容的呈现方式与系统的知识传授相比，显得知识的系统性不强。其实这正如数学历史上所发生的情形，知识的系统化是在知识产生之后进行的（如欧式几何、微积分）；更重要的，知识的系统性不应当简单地由老师（教材）告之学生，而应当让学生自己经历“系统化”的过程。因此，在初中阶段的最后学习过程中，尤其应重视反思与总结，对知识进行再组，形成符合逻辑的系统知识。这个活动要在教师指导下进行，力图使得客观的知识结构成为学生自己头脑中的主观结构，而重组的活动经历成为学生重要的学习经验，使得学生由“学会”发展到“会学”。