（二）平抛运动的常见问题及求解思路

关于平抛运动的问题，有直接运用平抛运动的特点、规律的问题，有平抛运动与圆周运动组合的问题、有平抛运动与天体运动组合的问题、有平抛运动与电场（包括一些复合场）组合的问题等。本文主要讨论直接运用平抛运动的特点和规律来求解的问题，即有关平抛运动的常见问题。

1. 从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度

求解一个平抛运动的水平速度的时候，我们首先想到的方法，就应该是从竖直方向上的自由落体运动中求出时间，然后，根据水平方向做匀速直线运动，求出速度。

[例1] 如图1所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在A处越过 的壕沟，沟面对面比A处低 ，摩托车的速度至少要有多大？

图1

解析：在竖直方向上，摩托车越过壕沟经历的时间

在水平方向上，摩托车能越过壕沟的速度至少为

2. 从分解速度的角度进行解题

对于一个做平抛运动的物体来说，假如知道了某一时刻的速度方向，则我们经常是“从分解速度”的角度来研究问题。

[例2] 如图2甲所示，以9.8m/s的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角 为 的斜面上。可知物体完成这段飞行的时间是（ ）

A. B. C. D.

图2

解析：先将物体的末速度 分解为水平分速度 和竖直分速度 （如图2乙所示）。根据平抛运动的分解可知物体水平方向的初速度是始终不变的，所以 ；又因为 与斜面垂直、 与水平面垂直，所以 与 间的夹角等于斜面的倾角 。再根据平抛运动的分解可知物体在竖直方向做自由落体运动，那么我们根据 就可以求出时间 了。则

所以

根据平抛运动竖直方向是自由落体运动可以写出

所以

所以答案为C。

3. 从分解位移的角度进行解题

对于一个做平抛运动的物体来说，假如知道了某一时刻的位移方向（如物体从已知倾角的斜面上水平抛出，这个倾角也等于位移与水平方向之间的夹角），则我们可以把位移分解成水平方向和竖直方向，然后运用平抛运动的运动规律来进行研究问题（这种方法，暂且叫做“分解位移法”）

[例3] 在倾角为 的斜面上的P点，以水平速度 向斜面下方抛出一个物体，落在斜面上的Q点，证实落在Q点物体速度 。

解析：设物体由抛出点P运动到斜面上的Q点的位移是 ，所用时间为 ，则由“分解位移法”可得，竖直方向上的位移为 ；水平方向上的位移为 。

又根据运动学的规律可得

竖直方向上 ，

水平方向上

则 ，

所以Q点的速度

[例4] 如图3所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度 同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和B，两侧斜坡的倾角分别为 和 ，小球均落在坡面上，若不计空气阻力，则A和B两小球的运动时间之比为多少？

图3

解析： 和 都是物体落在斜面上后，位移与水平方向的夹角，则运用分解位移的方法可以得到

所以有

同理

则

4. 从竖直方向是自由落体运动的角度出发求解

在研究平抛运动的实验中，由于实验的不规范，有许多同学作出的平抛运动的轨迹，经常不能直接找到运动的起点（这种轨迹，我们暂且叫做“残缺轨迹”），这给求平抛运动的初速度带来了很大的困难。为此，我们可以运用竖直方向是自由落体的规律来进行分析。

[例5] 某一平抛的部分轨迹如图4所示，已知 ， ， ，求 。

图4

解析：A与B、B与C的水平距离相等，且平抛运动的水平方向是匀速直线运动，可设A到B、B到C的时间为T，则

又竖直方向是自由落体运动， 则

代入已知量，联立可得

5. 从平抛运动的轨迹入手求解问题

[例6] 从高为H的A点平抛一物体，其水平射程为 ，在A点正上方高为2H的B点，向同一方向平抛另一物体，其水平射程为 。两物体轨迹在同一竖直平面内且都恰好从同一屏的顶端擦过，求屏的高度。

图5

解析：本题假如用常规的“分解运动法”比较麻烦，假如我们换一个角度，即从运动轨迹入手进行思考和分析，问题的求解会很轻易，如图5所示，物体从A、B两点抛出后的运动的轨迹都是顶点在 轴上的抛物线，即可设A、B两方程分别为

，

则把顶点坐标A（0，H）、B（0，2H）、E（2 ，0）、F（ ，0）分别代入可得方程组

这个方程组的解的纵坐标 ，即为屏的高。

6. 灵活分解求解平抛运动的最值问题

[例7] 如图6所示，在倾角为 的斜面上以速度 水平抛出一小球，该斜面足够长，则从抛出开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离的达到最大，最大距离为多少？

图6

解析：将平抛运动分解为沿斜面向下和垂直斜面向上的分运动，虽然分运动比较复杂一些，但易将物体离斜面距离达到最大的物理本质凸显出来。

取沿斜面向下为 轴的正方向，垂直斜面向上为 轴的正方向，如图6所示，在 轴上，小球做初速度为 、加速度为 的匀变速直线运动，所以有

①

②

当 时，小球在 轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离达到最大。

由①式可得小球离开斜面的最大距离

当 时，小球在 轴上运动到最高点，它所用的时间就是小球从抛出运动到离开斜面最大距离的时间。由②式可得小球运动的时间为

7. 利用平抛运动的推论求解

推论1：任意时刻的两个分速度与合速度构成一个矢量直角三角形。

[例8] 从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度大小分别为 和 ，初速度方向相反，求经过多长时间两小球速度之间的夹角为 ？

图7

解析：设两小球抛出后经过时间 ，它们速度之间的夹角为 ，与竖直方向的夹角分别为 和 ，对两小球分别构建速度矢量直角三角形如图7所示，由图可得 和

又因为 ，所以

由以上各式可得 ，解得

推论2：任意时刻的两个分位移与合位移构成一个矢量直角三角形

[例9] 宇航员站在一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间 ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为 ，若抛出时初速度增大到两倍，则抛出点与落地点之间的距离为 。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G，求该星球的质量M。

解析：设第一次抛出小球，小球的水平位移为 ，竖直位移为 ，如图8所示，构建位移矢量直角三角形有

若抛出时初速度增大到2倍，重新构建位移矢量直角三角形，如图9所示有，

由以上两式得

令星球上重力加速度为 ，由平抛运动的规律得

由万有引力定律与牛顿第二定律得

由以上各式解得

推论3：平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。

证实：设平抛运动的初速度为 ，经时间 后的水平位移为 ，如图10所示，D为末速度反向延长线与水平分位移的交点。根据平抛运动规律有

水平方向位移

竖直方向 和

由图可知， 与 相似，则

联立以上各式可得

该式表明平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。

图10

[例10] 如图11所示，与水平面的夹角为 的直角三角形木块固定在地面上，有一质点以初速度 从三角形木块的顶点上水平抛出，求在运动过程中该质点距斜面的最远距离。

图11

解析：当质点做平抛运动的末速度方向平行于斜面时，质点距斜面的距离最远，此时末速度的方向与初速度方向成 角。如图12所示，图中A为末速度的反向延长线与水平位移的交点，AB即为所求的最远距离。根据平抛运动规律有

， 和

由上述推论3知

据图9中几何关系得

由以上各式解得

即质点距斜面的最远距离为

图12

推论4：平抛运动的物体经时间 后，其速度 与水平方向的夹角为 ，位移 与水平方向的夹角为 ，则有

证实：如图13，设平抛运动的初速度为 ，经时间 后到达A点的水平位移为 、速度为 ，如图所示，根据平抛运动规律和几何关系：

在速度三角形中

在位移三角形中

由上面两式可得

图13

[例11] 一质量为 的小物体从倾角为 的斜面顶点A水平抛出，落在斜面上B点，若物体到达B点时的动能为35J，试求小物体抛出时的初动能为多大？（不计运动过程中的空气阻力）

图14

解析：由题意作出图14，根据推论4可得

，所以

由三角知识可得

又因为

所以初动能

[例12] 如图15所示，从倾角为 斜面足够长的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为 ，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为 ，第二次初速度 ，球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为 ，若 ，试比较 和 的大小。

图15

解析：根据上述关系式结合图中的几何关系可得

所以

此式表明 仅与 有关，而与初速度无关，因此 ，即以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。

推论5：平抛运动的物体经时间 后，位移 与水平方向的夹角为 ，则此时的动能与初动能的关系为

证实：设质量为 的小球以 的水平初速度从A点抛出，经时间 到达B点，其速度 与水平方向的夹角为 ，根据平抛运动规律可作出位移和速度的合成图，如图16所示。

图16

由上面推论4可知

从图16中看出

小球到达B点的速度为

所以B点的动能为

[例13] 如图17所示，从倾角为 的斜面顶端平抛一个物体，阻力不计，物体的初动能为9J。当物体与斜面距离最远时，重力势能减少了多少焦耳？

图17

解析：当物体做平抛运动的末速度方向平行于斜面时，物体距斜面的距离最远，此时末速度的方向与初速度方向成 角，如图17所示

由 可得

所以当物体距斜面的距离最远时的动能为

根据物体在做平抛运动时机械能守恒有

即重力势能减少了3J

平抛运动是较为复杂的匀变速曲线运动，有关平抛运动的命题也层出不穷。若能切实把握其基本处理方法和这些有用的推论，就不难解决平抛问题。因此在复习时应注重对平抛运动规律的总结，从而提高自己解题的能力。

【模拟试题】

1. 关于曲线运动，下列叙述正确的是（ ）

A. 物体之所以做曲线运动，是由于物体受到垂直于速度方向的力（或者分力）的作用

B. 物体只有受到一个方向不断改变的力，才可能做曲线运动

C. 物体受到不平行于初速度方向的外力作用时，物体做曲线运动

D. 平抛运动是一种匀变速曲线运动

2. 关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ）

A. 合速度的大小一定比每个分速度的大小都大

B. 合运动的时间等于两个分运动经历的时间

C. 两个匀速直线运动的合运动一定也是匀速直线运动

D. 只要两个分运动是直线运动，合运动一定也是直线运动

3. 游泳运动员以恒定的速率垂直河岸横渡，当水速忽然增大时，对运动员横渡经历的路程、时间发生的影响是（ ）

A. 路程增加、时间增加

B. 路程增加、时间缩短

C. 路程增加、时间不变

D. 路程、时间均与水速无关

4. 从同一高度、同时水平抛出五个质量不同的小球，它们初速度分别为 、 、 、 、 。在小球落地前的某个时刻，小球在空中的位置关系是（ ）

A. 五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面平行

B. 五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面垂直

C. 五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面既不平行，也不垂直

D. 五个小球的连线为一条曲线

5. 如图1所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体与圆筒一起运动，物体相对桶壁静止。则（ ）

A. 物体受到4个力的作用

B. 物体所受向心力是物体所受的重力提供的

C. 物体所受向心力是物体所受的弹力提供的

D. 物体所受向心力是物体所受的静摩擦力提供的

图1

6. 一物体做平抛运动，在两个不同时刻的速度分别为 和 ，时间间隔为 ，那么（ ）

A. 和 的方向一定不同

B. 若 是后一时刻的速度，则

C. 由 到 的速度变化量 的方向一定竖直向下

D. 由 到 的速度变化量 的大小为

7. 一个物体在光滑水平面上以初速度 做曲线运动，已知物体在运动过程中只受到水平恒力的作用，其运动轨迹如图2所示，那么，物体在由M点运动到N点的过程中，速度大小的变化情况是（ ）

A. 逐渐增大

B. 逐渐减小

C. 先增大后减小

D. 先减小后增大

图2

8. 以下关于物体运动的几个论述，其中正确的是（ ）

A. 物体做匀速圆周运动的周期一定与线速度成反比

B. 物体做匀速圆周运动的周期一定与角速度成反比

C. 不计空气阻力，水平抛出的物体的运动是匀变速运动

D. 汽车关闭发动机后，继续滑行时的加速度方向与速度方向相同

9. 如图3所示，在河岸上用细绳拉船，为了使船匀速靠岸，拉绳的速度必须是（ ）

A. 加速拉 B. 减速拉 C. 匀速拉 D. 先加速后减速

图3

10. 将甲、乙、丙三个小球同时水平抛出后落在同一水平面上，已知甲和乙抛射点的高度相同，乙和丙抛射速度相同，下列判定中正确的是（ ）

A. 甲和乙一定同时落地

B. 乙和丙一定同时落地

C. 甲和乙水平射程一定相同

D. 乙和丙水平射程一定相同

11. 一辆汽车的质量为M，当它通过拱形桥时，可能因为速度过快而飞离桥面，导致汽车失去控制。所以为了车内车外人的安全，我们应该限制汽车的车速。这辆汽车要想安全通过拱形桥，在桥顶处车速不应该超过 。（已知拱形桥的曲率半径为R）

12. 如图4所示，圆弧形轨道AB是在竖直面内的 圆周，在B点，轨道的切线是水平的，一物体自A点滑下，到达B点时的速度为2.8m/s，已知轨道半径为0.4m，则在小球刚到达B点时的加速度大小为 m/s2，刚滑过B点时的加速度大小为 m/s2。

图4

13. 一根长为 的轻绳悬吊着一个质量为 的物体沿着水平方向以速度 做匀速直线运动，忽然悬点碰到障碍物停下来，小球将做 运动。此刻轻绳受到小球的拉力大小为 。（ ）

14. 某同学在做“研究平抛物体运动”的实验中，忘记了记录小球做平抛运动的起点位置O，A为物体运动一段时间后的位置，根据如图5所示，求出物体做平抛运动的初速度为

m/s。（ ）

图5

15. 如图6所示，有一倾角为 光滑斜面，斜面长 ，一小球从斜面顶端以 的速度在斜面上沿水平方向抛出，求：

（1）小球沿斜面滑到底端时水平位移；

（2）小球到达斜面底端时的速度大小。（ ）

图6

16. 如图7所示，在竖直面内有一个半径为R的光滑圆轨道，一个质量为 的小球在圆轨道上做圆周运动且恰能通过最高点C，求：

（1）小球在最低点A的速度大小；

（2）小球在最低点A时对轨道的压力。

图7

17. 如图8所示，在竖直平面内固定着光滑的 圆弧槽，它的末端水平，上端离地面高H，一个小球从上端无初速下滑，问圆弧槽的半径R为何值时小球的水平射程最大？求此水平射程。

图8

18. 如图9所示，一个光滑圆筒竖立于水平桌面上，圆筒的直径为 。一条长也为 的细绳一端固定在圆筒中心轴线上的O点，另一端拴一质量为 的小球。当小球以速率 绕中心轴线 在水平面内做匀速圆周运动时（小球和绳在图中都没有画出），求：

（1）当 时，绳对小球的拉力；

（2）当 时，绳对小球的拉力。

图9

【试题答案】

1. ACD 2. BC 3. C 4. A 5. C 6. ABCD 7. D 8. BC 9. B 10. A

11. 12. 19.6；9.8 13. 圆周； 14. 2.0

15.（1） （2）

16.（1） （2）

17. 时，S有最大值；

18.（1） （2）