力学中的皮带模型

“皮带”模型中的动力学问题

物体在皮带上运动时摩擦力是静摩擦力还是滑动摩擦力、是动力还是阻力，判定的要害在于能否正确判定物体相对于皮带的运动。

[例1] 水平传送带被广泛地应用于机场和火车站，用于对旅客的行李进行安全检查。如图1所示为一水平传送带装置示意图，绷紧的传送带AB始终保持 的恒定速率运行，一质量为 的行李无初速地放在A处，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动，随后行李又以与传送带相等的速率做匀速直线运动。设行李与传送带间的动摩擦因数 ，AB间的距离 = ， 取 。

（1）求行李刚开始运动时所受的滑动摩擦力大小与加速度大小；

（2）求行李做匀加速直线运动的时间；

（3）假如提高传送带的运行速率，行李就能被较快地传送到B处，求行李从A处传送到B处的最短时间和传送带对应的最小运行速率。

图1

解析：

（1）由“物体无初速地放在A处”可知物体相对传送带运动，滑动摩擦力方向向右，大小 ，将题给数值代入，得 。

由牛顿第二定律得 ，代入数值得：

（2）设行李做匀加速运动的时间为 ，行李加速运动的末速度为 ，则 ，代入数值得 。

（3）行李从A匀加速运动到B时，传送时间最短。则 ，代入数值，得

传送带对应的最小运行速率 代入数值，解得 。

[例2] 如图2所示传送带与地面间倾角 ，以 的速度逆时针转动，在传送带上端A放上一个质量 的物体，它与传送带之间的滑动摩擦因数 ，已知传送带从A到B的长度L=16m，则物体从A到B所需的时间为多长？

图2

解析：物体放在A端后，相对传送带沿斜面向上运动，所以受到沿斜面向下的摩擦力而加速运动，直到两者速度相同，此时由于物体受到的合外力不为零，且

，所以物体继续加速运动，因物体的速度大于传送带的速度，故摩擦力沿斜面向上。

设上述两个过程的加速度分别为 、

物体速度从零增大到与传送带同速所用的时间：

物体下滑的位移：

接着物体下滑的速度大于传送带的速度，此时加速度：

余下部分满足：

解得 （ 负值舍去）所以物体下滑的总时间为 。

[例3] 如图3所示，AB是一段位于竖直平面内的光滑轨道，高度为 ，末端B处的切线方向水平。一个质量为 的小物体P从轨道顶端A处由静止释放，滑到B端后飞出，落到地面上的C点，轨道如图中虚线BC所示，已知它落地时相对于B点的水平位移OC= 。

现在轨道的下方紧贴B点安装一水平传送带，传送带的右端E与B端的距离为 。当传送带静止时，让P再次从A点由静止释放，它离开轨道并在传送带上滑行后从右端E点水平飞出，仍然落在地面上的C点，当驱动轮转动带动传送带以速度 匀速向右运动时（其他条件不变），P的落地点为D（不计空气阻力）。试求：

（1）P滑至B点时的速度大小；

（2）P与传送带之间的动摩擦因数 ；

（3）设传送带轮半径为 ，顺时针匀速旋转，当转动的角速度为 时，小物体P从E端滑落后运动的水平距离为 。若皮带轮以不同的角速度重复以上动作，可得到一组对应的 值与 值，讨论 值与 值的关系。

图3

解析：

（1）物体P在AB上滑动时机械能守恒：

所以P滑到B点的速度大小 。

（2）没有传送带时，P离开B后做平抛运动，运动时间为：

有传送带且传送带静止时，P从传送带的右端水平抛出，在空中运动的时间仍为 ，水平位移 ，因此P从传送带的右端抛出速度：

P在传送带上滑行时，根据动能定理有：

解得P与传送带之间的动摩擦因数为

（3）本题因传送带顺时针转动，皮带运动方向与小物体P的初速度方向相同，小物体相对传送带运动的方向是判定摩擦力方向的要害。现分以下几种情况讨论。

A. 传送带的运行速度小于或等于 ，小物体在传送带上的情况与传送带静止时相同，所以 ，水平射程 ， ；

B. 传送带的运行速度等于小物体滑上皮带的初速度 时，两者无相对运动，没有摩擦力，旅行包在皮带上做匀速运动，到达E端以 做平抛运动，水平射程大于A中的结果，为 ，则 ；

C. 传送带的运行速度大于 而小于 时，旅行包相对传送带向右运动而受到向左的摩擦力，做匀减速运动，直到两者速度相同，再做匀速运动，所以到达E端继而平抛后的水平射程将大于A中的结果而小于B中的结果。

D. 传送带的运行速度大于小物体滑上皮带的初速度 时，旅行包相对皮带向左运动而受到的摩擦力与皮带运动方向相同，所以做匀加速运动，直到两者速度相同，再做匀速运动，所以达到E端继而平抛后的水平射程将大于B中的结果。

E. 传送带的运行速度大于某一速度时，旅行包将一直做匀加速运动，达到E端时速度达到最大值，水平射程也将为最大值。计算过程为：

解得 ，其对应的角速度 ，水平射程 ，

根据以上分析不难看出皮带转动的角速度满足 ，旅行包从B端滑落后的水平距离由 决定。

“皮带”模型中的功能问题

摩擦力做功 ；物体与皮带间摩擦生热 。

[例4] 一传送带装置示意如图4，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为 的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速度为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为 。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的小滑动）。已知在一段相当长的时间T内，共运送小箱子的数目为N，这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的输出功率 。

图4

解析：以地面为参考系（下同），设传送带的运行速度为 ，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力的作用下做匀加速运动，设这段路程为 ，所用的时间为 ，加速度为 ，则对小箱有：

，

在这段时间内，传送带运行的路程为：

由以上可得

用 表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为：

传送带克服小箱对它的摩擦力做功：

两者之差就是克服摩擦力做功发生的热量：

可见，小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与热量相等。T时间内，电动机输出功率为 ，此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即：

已知相邻两小箱的距离为L，所以

联立求解得

[例5]（2004年济南调研）如图5所示，许多工厂的流水线上安装有传送带，用传送带传送工件，可以大大提高工作效率，传送带以恒定的速率 运送质量为 的工件，工件从A位置放到传送带上，它的初速度忽略不计。工件与传送带之间的动摩擦因数 ，传送带与水平方向夹角是 ，传送带AB长度是 。每当前一个工件在传送带上停止相对滑动时，后一个工件立即放到传送带上，取 ，求：

（1）工件放到传送带后经多长时间停止相对滑动；

（2）在正常运行状态下传送带上相邻工件间的距离；

（3）在传送带上摩擦力对每个工件做的功；

（4）每个工件与传送带之间由于摩擦产生的内能；

（5）传送带满载工件比空载时增加多少功率？

图5

答案：

（1） ，

， ，停止滑动前，工件相对地移动的距离：

（2）

（3）在传送带上摩擦力对每个工件做的功：

（4）

（5） 个

【模拟试题】

1. 物块先后两次从传送带的A点由静止开始下滑，然后到达B点，第一次传送带静止不动，第二次传送带的皮带轮顺时针转动，如图1所示，比较两次物块通过AB所用的时间 、 的大小应是（ ）

A. B. C. D. 无法确定

图1

2. 水平传送带以速度 匀速传动，一质量为 的小木块A由静止轻放在传送带上，若木块与传送带间的动摩擦因数为 ，如图2所示，则小木块从放到传送带上开始到与传送带相对静止的过程中，转化为内能的能量为（ ）

A. B. C. D.

图2

3. 一皮带传动装置，轮A、B均沿同方向运动，设皮带不打滑， 、 为两轮边缘上的点，某时刻 、 、 、 位于同一水平面上，如图3所示，设该时刻 、 所受摩擦力分别为 、 ，则下列说法正确的是（ ）

A. 、 都是动力，而且方向相同

B. 、 都是阻力，而且方向相反

C. 若是动力，则 一定是阻力，而且方向相反

D. 若是阻力，则 一定是动力，而且方向相同

图3

4. 将物体轻轻放到以V前进的水平传送带上（物体刚要接触传送带以前就将手移开），则物块经一段时间后便随传送带一起匀速前进，物块在落到传送带上达到速度V前后受到摩擦力情况是（ ）

A. 先受静摩擦力，后受滑动摩擦力

B. 先受滑动摩擦力，后不受摩擦力

C. 先受滑动摩擦力，后受静摩擦力

D. 先受静摩擦力，后不受摩擦力

图4

5. 如图5所示，物体与水平传送带一起向右运动，两者相对静止，则（ ）

A. 物体相对传送带无运动趋势

B. 物体相对传送带有向前运动趋势

C. 物体相对传送带有向后运动趋势

D. 条件不足，无法判定

图5

6. 如图6所示皮带轮装置，P为主动轮，Q为从动轮，整个皮带按顺时针方式转动，试讨论主动轮上A点及轮边缘皮带上B点，以及从动轮上C点，及轮边缘皮带上D点所受摩擦力情况。

图6

7. 一质量为 的物体以一定的速度 滑到传送带上，物体与传送带间的动摩擦因数为 。 、B间距为L，若传送带静止时，物体滑到B点，所用时间为 ，讨论下列几种情况下物体滑到B所用时间：

① 与 反向

② 与 同向，但 时

③ 与 同向，但 时

④ 与 同向，但 时

图7

8. 如图8所示，一质量为 的木块，放在倾角为 的传送带上，随带一起向上或向下作匀加速运动，加速度为 ，物体与皮带间的动摩擦因数为 ，试求两种情况下物体所受的摩擦力为 。

图8

9. 水平传送带以4m/s的速度匀速运动，将一物体轻轻地放在传送带的A端上，经过6秒物体被传送到B端，若AB之间相距为20m，求：物体与传送带之间的动摩擦因数 等于多少？（g取 ）

图9

10. 如图10所示，在工厂的流水线上，水平传送带正在传送工件，若传送带的速度恒为 ，运送的工件完全相同，质量均为 ，工件都是从A位置以 的初速度滑上传送带，每当前一个工件在传送带上停止相对滑动时，后一个工件立即滑上传送带。已知工件与传送带之间的动摩擦因数 ，取 ，求：

（1）工件经多长时间停止相对滑动；

（2）摩擦力对每个工件做的功；

（3）每个工件与传送带之间的摩擦产生的内能。

图10

【试题答案】

1. C 2. D 3. D 4. B 5. D

6. A点D点所受摩擦力的方向为逆时针方向即与运动方向相反；B点C点所受摩擦力的方向为顺时针方向即与运动方向相同。

7. ① 当 与 反向时物体滑到B所用时间为 ；② 当 与 同向但 时物体滑到B所用时间为 ：若物体滑到B点物体的速度仍大于或恰等于传送带的速度则所用时间为 ；若物体还没滑到B点即与传送带相对静止则所用时间小于 ；③ 当 与 同向且 时物体滑到B一直做匀速直线运动故所用时间为 ；④ 当 与 同向且 时物体滑到B一直做匀加速直线运动或先做匀加速运动后做匀速运动则所用时间小于

8. 若 向上，则物体所受的摩擦力方向向上，大小为 ；若 向下，则分三种情况① 若 则物体所受的摩擦力方向向下，大小为 ；② 若 则物体不受摩擦力的作用；③ 若 则物体所受的摩擦力方向向上，大小为 。

9.

10.（1） （2） （3）