验证机械能守恒定律典型例题

例1　 如图5-47，一个质量为m的小球拴在长l的细线上做成一个单摆，把小球从平衡位置O拉至A，使细线与竖直方向成θ角，然后轻轻释放．若在悬点O′的正下方有一颗钉子P，试讨论，钉子在何处时，

(1)可使小球绕钉往返摆动；

(2)可使小球绕钉做圆周运动．

分析 　小球摆动过程中，只有小球的重力做功．当不考虑细线碰钉时的能量损失时，无论小球绕钉往返摆动，或绕钉做圆周运动，小球的机械能都守恒．

解　 (1)小球绕钉往返摆动时，只能摆到跟开始位置A等高的地方，因此，钉子P的位置范围只能在过A点的水平线与竖直线OO′的交点上方(图5-48)，即钉子离悬点O′的距离h应满足条件0≤h≤lcosθ．

(2)设钉子在位置P′时刚好使小球能绕钉做圆周运动，圆半径R=P′O，设小球在最高点C的速度为vC，并规定最低处O为重力势能的零位置(图5-49)，由A、C两位置时的机械能守恒EA=EC，即

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又因为刚好能越过C点做圆运动，此时绳中的张力为零，由重力提供向心力，即

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

所以钉子P′离悬点O′的距离

假如钉子位置从P′处继续下移，则小球将以更大的速度越过圆周的最高点，此时可由绳子的张力补充在最高点时所需的向心力，仍能绕钉子做圆周运动．所以，在绕钉做圆运动时，钉子离悬点的距离h′应满足条件

说明 　由本题的解答可知，位置P是小球能绕钉往返摆动的最低位置；位置P′是小球能绕钉做圆周运动的最高位置．如钉子在PP′之间，则悬线碰钉后，先绕钉做圆运动，然后将在某一位置上转化为斜抛运动．

例2　 一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R(比细管的半径大得多)．在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点)．A球的质量为m1，B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是____．

分析　 A球运动到最低点时，由外壁对它产生的弹力NA和A球重力m1g的合力作为向心力，即

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

A球对外壁产生的压力NA′大小等于NA，方向沿半径背离圆心(图 5-50)．

要求对圆管的合力为零，B球在最高点时也必须对外壁(不可能是内壁)产生一个等量的压力NB′．因此，B球在最高点有向外壁挤压的作用，由外壁对它产生的弹力NB和球重m2g的合力作为向心力(图5-51)．设B球在最高点的速度为vB，据向心力公式和机械能守恒有

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

根据题意 NA′=NB′，即要求

例3 　如图5-52所示，半径为r，质量不计的圆盘盘面与地面相垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘固定有一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B．放开盘让其自由转动，问：

(1)当A球转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？

(2)A球转到最低点时的线速度是多少？

(3)在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？

分析　 两小球势能之和的减少，可选取任意参考平面(零势能位置)进行计算．由于圆盘转动过程中，只有两小球重力做功，根据机械能守恒即可列式算出A球的线速度和半径OA的最大偏角．

解　 (1)以通过O的水平面为零势能位置，开始时和A球转到最低点时两球重力势能之和分别为

EP2=EPA EPB=-mgr＋0＝-mgr．

所以两球重力势能之和减少

(2)由于圆盘转动过程中，只有两球重力做功、机械能守恒，因此，两球重力势能之和的减少一定等于两球动能的增加．设A球转到最低点时，A、B两球的速度分别为vA、vB，则

因A、B两球固定在同一个圆盘上，转动过程中的角速度(设为ω)

得 vA=2vB．

(3)设半径OA向左偏离竖直线的最大角度为θ(图5-53)，该位置的机械能和开始时机械能分别为

由机械能守恒定律E1=E3，即

即 2cosθ=1＋sinθ．

两边平方得 4(1-sin2θ)＝1＋sin2θ＋2sinθ，

5sin2θ＋2sinθ-3=0，