陈文灯数学提高班例题
高等数学
Published by CruSH Studio
2001.9.1
kaoyan.n3.net
重要信息
名称陈文灯提高班例题
科目高等数学
主讲陈文灯
地点西安电子科技大学礼堂
时间2001.8.19-2001.8.25
课时48 课时
笔记Pely Gan Momo Yanzi
录入Pely Gan
排版Pely Gan
Pack Pely Gan
发布时间2001.9.1
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补充说明有几道题大家都没有记全所以我这里也没有讲得太快了答案也是好多
题的答案都没有给我现在刚开学又在上任汝芬政治实在是没有时间所以只能用***
来代替了如果大家有什么问题可以给我发信mailto:pely@china.com?subject=关于数学
例题
废话
本来是打算在8.30 日发布的为了更快我使用了服务器哈哈真的很快的但是古
人说的好欲速则不达服务器的硬盘坏了数据也取不出来还好在保修期内否则一
块硬盘5000 我就惨了幸亏还有备份只能用我的PC 来搞了今天才弄完
也许是老天为了补偿我吧哈哈搞到了一块30G 的硬盘今天服务器的硬盘也换好了联
想的服务还算好吧就是慢了一些
祝大家考研成功
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第一讲 极限与连续
一概念定理公式
eg1.1 设f(x),g(x)均连续且
0 0
lim ( ) lim ( ) 1
x x
f x g x
→ →
= = 令
2
0 0
( ) ( ) , ( ) ( ) x x F x=∫ f x dx G x=∫t . g x .t dt 则当x→0 时F(x)与G(x)是[ ]
[A]F(x)比G(x)高阶的无穷小 [B]G(x)比F(x)高阶的无穷小
[C]F(x)比G(x)是等价无穷小 [D]F(x)比G(x)同阶且非等价无穷小
例1.2 当0, ( ) 2 sin 1 sin 2
2
x→ fx=x. x. x是x 的几阶无穷小
例1.3 当x > 0 时1.2x～1+ax+bx2 确定a b 的值
例1.4 求2
( ) ln )
2 3
f x x
x x
= .
. .
的间断点并判断其类型
例1.5 设0 3 0 2
lim sin 6 ( ) lim 6 ( ) ?
x x
x xf x C f x
→ x → x
+ = 求+ =
例1.6 求
1
0
lim n 3
n
x x dx
→∞
∫ +
例1.7 求2 2 2
lim( 1 2 )
n 1 1 1
n
→∞ n n n n n n
+ +...+ +
+ + + + + +
例1.8 求
2
lim 1 ( )
2
n n n
n
x x
→∞
+ +
例1.9 求limsin 2 1
n
n π
→∞
+
1 的极限的求法
例1.10 求2
lim( ) ( )
( )
x a x b
x x a b
x a x b
x a b
+ +
→∞ + +
+ +
+ +
例1.11 1 求
1
1
sin
0
lim[(1 ) ]
x
x
x
x
→ e
+ 1∞ 型
2 求
100
10 2
lim ln(100 2 3)
x ln( 3 2)
x x
→∞ x x
+ +
+ +
∞
∞
型
例1.12 设f(x)为多项式
3
2
lim ( ) 5 4lim ( ) 3
x x
f x x f x
→∞ x →∞ x
. = =
二各类极限的求法
极限式中参数的确定
例1.13 lim( 3 3 1 ) 0
x
x λxμ
→∞
+ + + = 求λ
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例1.14 设0 3
lim sin , ( 0)
x b ln(1 )
x
ax x C C
f t dt
t
→
+ = ≠
+ ∫
确定a b c
例1.15 设
2 1
2 lim ( ) , a b
1
n
n n
f x x ax bc
x
.
→∞
= + +
+
出处处类型联系连续确定与的值[x 为参数]]
未定式定值法法
0
0
型
例1.16 计算下列极限
0 3 0
(1) lim arcsin (2) lim 1 cos
ln(1 ) (-cos )
(3) ( ) 1 (1) 0, '(1) 6
x x
fx x x
x x x
f x x f f
→ →
. .
+
设在项=的邻域内具有一阶连续导数= =
求1 1
1 3
( () )
lim
( 1)
x t
x
t f udu dt
→ x .
∫ ∫
2
1
0 100
(4) lim
x
x
e
x
.
→
例1.17 设a,b,
.. ..
为三维变量| | 1, ^
3
b a b
π
= =
.. .. ..
求
0
lim| | | |
x
a xb a
→ x
+ .
.. .. ..
∞
∞
型的方法与相似
∞.∞型通过通分或分式有理化转换成0
0
or ∞
∞
例1.18 求下列极限
2 2
0 2
(1) lim(1cot tan ) (2) lim[ ln(11)]
x x
x x x
→x →∞ x
. .. +
0.∞ 型转化成0
0
or ∞
∞
例1.19 求下列极限
(1) lim ln(1 2x ) ln( 3) (2) lim [sin ln(13) sin ln(1 1)]
x x
x x
→+∞ x →∞ x x
+ . + + . +
00,1 , 0 0 0
0
∞ ∞ . .∞. or ∞
∞
例1.20 求下列极限
ln(1 )
0
1
2 2
(1) lim(1 cos )
(2) lim( 1 )
x
x
x
x
x x
+
→
→+∞
.
+ +
函数的极限
利用函数极限求下列极限
例1.21 求下列极限
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2
(1) lim( ) ( 0, 0, 0)
3
(2) lim( sin 1)
n n n
n
n
n
n
a b c a b c
n
n
→∞
→∞
+ + > > >
利用单增单减有上界下界数列必有极限定理求极限
例1.22 设1
1
1
1, 1
1
n
n
n
x x x
x
.
.
= =++
求lim( ) n n
x
→∞
n 项和当n→∞的极限
例1.23 求下列极限
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 2
(1) lim(1 1 1 1 ... 1 )
1 1 1 2 1 2 3 1 2 ...
(2) lim( 1 1 1 ... 1 )
1 2 3
(3) lim( 1 2 3... 1)
(4) lim(3 3 ... 3 ) 1 1 1
2
n
n
n
n
n n n
n
n
n n n n n
n n n n n
n n n n
n n n
n
→∞
→∞
→∞
→∞
+ + + + +
+ + + + + + +
+ + ++
+ + + +
++ ++ +++ +.
+ + + +
+ + +
n 项乘积当n→∞时的极限
例1.24 求下列极限
( )
2 4 2
2 2 2
2 2
2 2 2
1 lim(1 )(1 )(1 )...(1 )
(2) lim 1 1 1 1 1 1
2 3
1 3 5 2 1
(3) lim
2 4 6 2
(4) lim 1 1 1 2 1
n
n
n
n
n
x x x x
n
n
n
n
n n n
→∞
→∞
→∞
→∞
< + + + +
.. ... ...... . .. .... .. .. ..
. . ... .
. . ...
.. .. . . .. ..+ ..+ .....+ .. .. .. . . ..
(1)当x 时
第二讲 导数与微分
基本概念
例2.1 设f(x)在X0 处可导则
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( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0
0 0
0
0 0
0
f 3 f
(1) lim ________
f f 5
(2) lim ________
f 2 f 4
(3) lim ________
x
x
x
x x x
x
x x x
x
x x x x
x
Δ →
Δ →
Δ →
. Δ .
=
Δ
. +Δ
=
Δ
. Δ . . Δ
=
Δ
例2.2 设f(x)连续且( )
1
f
lim 3
x 1
x
→ x
. .
. .= . . .
求f’(1)
例2.3 ( )
2
'
cos 1 , 0
f( ) 0 F f( ( )) F (0).
f( ), 0
x
x x
x x x x x
x x
. .
. ≠ =. = = .
.. =
设在处可导令求
例2.4 求下列导数
'
'
(1) f( ) ( 1)( 2) ( 100), f ( 1)
(2) f( ) 1 f (0).
1
x xx x x
x x x
x
= + + ... + .
= .
+
求
求
例2.5 '
0 f( ) 1
f( ) 0 lim1 cos f (0) x x
x x x
→ e +
设在= 处可导且. =1 求
例2.6 设f x 在[0,+∞) 内有定义f'(1)=a(a≠0) , 且对于
.x,y∈[0,+∞),有f (xy)=yf (x)+xf (y) 求f (x). 概念性很强可能考
例2.7 设f(x)在x = 0 的邻域内有连续的导数令F(x)=f (x)(1+|sinx|) 则f (0) = 0 是F(x)
在x 0 处可导的
A 充分非必要条件 B 必要而非充分 C 充分必要 D 既非充分也非必要
例2.8 设F(x)在 (.∞,+∞)内有定义且f(x+1)=2f(x) 当0 x 1 时f(x)=x(1.x2)
问f(x)在x 0 处可导吗
例2.9 设y= f(x) 三阶可导且f '(x) ≠ 0 用f '(x), f ''(x), f '''(x) 表示y= f(x) 的反函数
x=.(y)的三阶导数. '''( y)
二各类函数导数的求法
例2.10 设2
2 3 sin ,
( ) ( )
y x dy dy
d x d x
= 求
例2.11 设2
0
(2 1), '( ) arctan ,
2 1 x
y f x f x x y'
x =
= . =
+
求
例2.12 求下列导数
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0
1
0
0
(1) ( ) ( ) '( )
(2) ( ) ( ) '( )
(3) ( ) ( ) '( ), ''( )
x
x
F x f x dy F x
F x f xt dt F x
F x t f x t dt F x F x
=
=
= . .
∫
∫
∫
求
求
求
例2.13 设有方程
2
2
0 2
2 tan( ) sec , x x y x y tdt dy d y
dx dx
. . . =∫ 求
例2.14 设Z xy y
x
= + 由方程x2+y2=1确定y 为x 的函数求dZ
dx
例2.15 设y=x3x+xx+ex x 求y'
例2.16 设2
2
2
2
2
0
cos( )
,
sin t u
x t dy d y
y uedu dx dx
. = .
.
= . .. ∫
求
例2.17 设
0 4 2
2
1
1
(2 )
,
, | | 1
2 2
t
n
n
n
x y dy
u dy d y
n t dx dx y t
∞
.
=
. = . . .
.
. = < ..
∫
Σ
求
例2.18 设f(x)连续且
1
0
0
2
( ) 0
lim ( ) 2 ( ) 0 0 '( )
sin 0
x
f xt dt x
f x F x x F x
x
x x
x
→
.
< .
.. = = = .
.
.
. > .
∫
令求
例2.19 设
2 ( 1)
( 1) ( ) lim
1
x x
n x x
f x x e ax b
e
.
→∞ .
= + +
+
处处可导确定常数a 和b
例2.20 设
( ) cos , 0
( )
, 0
g x x x
f x x
a x
. . ≠ = ..
.. =
g(0) 1 g(x)具有二阶连续导数求
a 为何值时f(x)连续
求f '(x)
讨论f '(x) 的连续性
三高阶导数
例2.21 求
3
2 2 3
y x
x x
=
. .
的n 阶导数n 2
例2.22 设y= sinxcos 2xcos3x 求y(n)
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第三讲 不定积分
一基本概念和重要公式
二第一换元积分法凑微法
例3.1 求下列积分
2 2 2 2 2 3/2
1 1 arctan ln(1 ) ln sin 2 (1) ln (2) (3) (4)
1 1 (1 ) (1 ) ( cos sin )
x x x x x dx dx dx dx
x x x x x x a x b x
. . .
. + + + + ∫ ∫ ∫ ∫
例3.2 计算
2
3
[( ) ''( ) ( )]
'( ) ' ( )
I f x f x f xdx
f x f x
=∫ .
例3.3 求下列积分
5
5 4 2
(1) 1 (2) 1 (3) 1 ln (4) 1
(1 ) 1 (ln ) (1 x )
xdx dx xdx x dx
x x x x x xe
. . +
∫ + ∫ + ∫ ∫ +
三第二换元积分法
例3.4 求下列积分
2 2 2 2
4 2 2 2
(1) a x dx (2) x a dx (3) 1 dx
x x x x a
. +
. ∫ ∫ ∫
四分部积分法
例3.5 求下列积分
(1)∫(2x2.3x+1)e.2xdx (2)∫x2 cos3xdx
例3.6 求下列积分
2
2
2
(1) arctan (2) (arcsin ) (3) arctan
1
x
x
x xdx x dx edx
∫+x ∫ ∫e
例3.7 求下列积分
2 2
2 3/2 2
(1) sin(ln ) (2) ln( 1 ) (3)
(1 ) ( 2)
x x x xex x dx dx dx
x x
+ +
∫ ∫ + ∫+
例3.8 计算ln[( 1) 1( 2) 2] 1
( 1)( 2)
x x x x dx
x x
+ + + + .
∫ + +
五有理函数积分
例3.9 设积分
2
3( 1)2
ax bx c dx
x x
+ +
∫ . 为有理函数是确定a b c 的关系
例3.10 求下列积分
2 11 3 1
100 8 4 2 2
(1) 3 2 4 (2) (3)
( 2) 2 3 (1 )
n
n
x x dx x dx x dx
x x x x
+ + .
∫ . ∫. . ∫ +
六简单无理函数积分
例3.11 求下列积分
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3
1 ( 1) 1 (1) (2) (3)
1 1 1 1 1
x x x dx dx dx
x x x x x
+ +
+ + + + + + + ∫ ∫ ∫
7 三角有理函数的积分
例3.12 求下列积分
(1) 1 sin (2) sin (3) 1 (4) sin
1 cos 1 cos 1 sin cos 1 sin
xdxdx x xdx x dx
x x x x x
+ +
∫. ∫+ ∫ + + ∫ +
例3.13 求下列积分1 的活用
3
(1) 1 sin (2) 1
sin cos
xdx dx
x x
∫ . ∫
第四讲 中值定理( )
一连续函数在闭区间上的性质
例4.1.1 设f(x)在[a,b]上连续且f(x)>0
证明存在一个ξ ∈(a,b) 使得( ) ( ) 1 ( )
2
b b
a a
f x dx f x dx f x dx ξ
ξ
∫ =∫ =∫
例4.1.2 设f(x)在(.∞,+∞)内连续且lim ( ) lim ( ) 0
x x
f x f x
→.∞ x →+∞ x
= =
证明存在一个ξ∈(.∞,+∞) 使得ξ+ f(ξ)=0
例4.1.3 设f(x)在(.∞,+∞)内连续且f[f(x)]=x
证明至少存在一个0 0 0 x∈(-∞,+∞) 使得f(x )=x
例4.1.4 设f(x)在[a,b]上连续1 2 0( 1, 2 ) n a<x <x < ... <x <b Ci> i= ...n
证明存在一个ξ ∈[a,b] 使得1 1 2 2
1 2
( ) ( ) ( ) n ( n)
n
f C f x C f x C f x
C C C
ξ = + +...
+ +...+
例4.1.5 设1 2 , , ,n a a ... a 这些实数满足关系式2 3 1
1 ( 1) 0
3 5 2 1
n n a a a a
n
. + ....+ . . =
.
证明方程1 2 cos cos3 cos(2 1) 0 (0, )
2 n a x+a x+...+a n.x=在π 内存在一个实根
二微分中值定理
例4.2.1 设f(x)在[0,1]上二阶可导f(0)=f(1) |f''(x) |≤A
证明| '( )|
2
f x < A
题型1 验证给定函数f(x)满足某定理
例4.2.2 验证
3 2 1
( ) 2
1 1
x x
f x
x
x
. . ≤ .. =.
.
. > .
在[0,2]内满足拉氏定理
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题型2 f (n)(ξ) =0的证明
例4.2.3 设f(x)在[0,2]上连续在(0,2) 内二阶可导且
3/ 2
1
f(0)=f(1), f(2)=∫ f(x)dx
证明存在一个ξ∈(0,2) 使f ''(ξ)=0
例4.2.4 设f(x)在[a,b]上可导且f '(a) f '(b) 0 + . . <
证明存在一个ξ 使得f '(ξ) = 0
题型3 由a,b, f(a), f(b),ξ, f(ξ), f '(ξ)所构成的代数式的证明使用辅助函数
例4.2.5 设f(x)在[a,b]上连续在(a,b)内可导且f(a)=0,a>0
证明f( ) b f'( )
a
ξ = .ξ ξ
例4.2.6 设f(x)在[0,1]上连续在(0,1) 内可导f (0) = 0 当x∈(0,1),f(x)≠0
证明对于一切自然数n 存在一个(0,1) '( ) '(1 )
( ) (1 )
f f
f f
ξ ξ ξ
ξ ξ
∈ . = .
.
使得n
例4.2.7 设f(x)在[0,1]上连续且
1 2
0 0
∫f (x)dx =∫xf (x)dx
证明存在一个(0,1) f(x)dx 0 ξ ξ∈ ∫ = 0
使得
例4.2.8 设f(x)在[0,1]上连续在(0,1) 内可导且1/3 1 2
0
f(1) = ∫e.xf(x)dx
证明存在ξ∈(0,1) 使f'(ξ)=2ξf(ξ )
例4.2.9 设f(x)在[a,b]上连续在(a,b)内可导
证明存在一个(a,b) bf (b) af (a) f ( ) f '( )
b a
ξ∈ . =ξ+ξ ξ
.
使
题型4 命题.ξ,η∈(a,b) 使得关于ξ ,η 的关系式成立使用两次拉氏或两次柯西
或一次柯西一次拉氏
例4.2.10 设f(x)在[a,b]上连续在(a,b)内可导又f(a)=f (b)=1
证明.ξ,η 使得eη.ξ[f(η)+f'(η)] =1
例4.2.11 设f(x)在[a,b]上连续在(a,b)内可导又f '(x) ≠ 0
证明 , ( , ) '( )
'( )
f eb ea a b e
f ba
ξ η ξ η
η
. ∈ = . . .
.
使得
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第五讲 定积分
性质及其应用
估值
例5.1 设f(x)在[0,1]上连续f(0)=3 且当x, y都是∈[0,1] 时有有| f(x).f(y)|≤|x.y|
对
1
0
∫ f(x)dx进行估值
证明不等式
例5.2 设f(x)在[1,+∞)内连续且单减
证明
1
1 1
1
( ) ( ) (1) ( )
n n n
k
f x dx f k f f x dx +
=
∫ Σ +∫
例5.3 证明ln( 1) 1 1 1 1 1 ln
2 3
n n
n
+ < + + +...+ < +
例5.4 设f(x)在(.∞,+∞)内有连续的导数
求0 2
lim 1 [ ( ) ( )]
4
a
a a
f t a f t a dt
→ + a .
∫ + . .
例5.5 设b>a>0 证明
2 2
[ , ] 2
3
.一个ξ∈a b 使ξ =a + +ab+b
例5.6 计算
0
1 sin2 n I xdx π =∫ .
定积分的计算
利用牛莱公式
例5.7 计算
4
1
1
( 1)
I dx
x x
=
+ ∫
定积分的换元法
例5.8 求下列积分
1
0 2 2 0 2
(1) 1 (2) ln(1 )
1
a dx x
x a x x
+
+ . + ∫ ∫
分部积分法
例5.9 求下列积分
1 3
0 2 0
(1) ln(1 ) (2) arcsin
(2 ) 1
xdx xdx
x x
+
∫ . ∫ +
特殊类型的定积分的计算
分段函数的定积分计算
例5.10 设
ln , 1
( ) 1, 1
1 x
x x
f x
x
e
> .
. = . ≤ .. +
求
0
( ) ( ) x F x = ∫ f t dt
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例5.11 设
1 , 0
( ) 1
x, 0
x
f x x
e x
. ≥ = . + .
.. <
计算
3
1
I=∫ f(x.2)dx
含有绝对值符号的定积分计算先求零点
例5.12 求下列积分
42 1
1 5 1
(1) | ln | (2) | 2 3 | (3) | | ,| | 1 e x
e
x dx x x dx x y e dx y
. .
∫ ∫ . . ∫ . <
含有变上限变下限的积分的计算
例5.13 设(2 )
0
( ) f x a xey a y dy = ∫ . . 计算
0
( ) a ∫ f x dx
例5.14 设2 2
1
( ) y
x
f x e. dy
+
= ∫ 计算
3
1
I= ∫ f(x)dx
例5.15 设f(x)在[0,1]上连续
1
0
∫ f (x)dx . A 计算
1 1
0
( ( ) ( ) )
x
I =∫ ∫ f x f y dy dx
例5.16 设f(x)在(.∞,+∞)内连续且对.x,y有f(x+y)=f(x)+f(y) 计算
(2 cos ) ( ) l
l
I xf x dx
.
=∫ +
例5.17 设f(x),g(x)均为连续函数g(x)为偶函数f(x)+f (.x)=A
证明( ) ( ) ( ) ( )( ) a a
a a
f x g x dx A f t g t dt
. .
∫ =∫ . . .
例5.18 求
/ 2
0 2002
1
1 (tan )
I dx
x
π =
∫ +
定积分等式的证明
例5.4.1 设f(x)在[0,1]连续证明2
0 0
xf (sin x)dx f (sin x)dx
π π ∫ =π∫
例5.4.2 设f(x)在(.∞,+∞)内连续证明
4 4
2 2
( 3) (9 )
( 3) (9 ) ( 3) (9 )
f x dx f x
f x f x f x f x
+ = .
∫ + + . ∫ + + .
并计算
4
2
ln( 3)
ln( 3) ln(9 )
x
dx
x x
+
+ + . ∫
例5.4.3 证明
2 2
2
2 4 4
0 0
x x x x ext tdt e e dx ∫ . = ∫.
例5.4.4 证明
1 1/
2 2
1 1
1 1
x
x x
dx dx
x x
=
∫+ ∫ +
例5.4.5 设f(x)可导且单增f(0)=0,f(a)=b,g(x)是f(x)的反函数
证明
0 0
( ) ( ) a b ∫f x dx+∫g x dx=ab
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例5.4.6 证明
0 0 0
∫a(∫u f(t)dt)du=∫a(a.u)f(u)du
例5.4.7 设f(x)在[0,1]上二阶导数连续
证明
1 1
0 0
( ) (0) (1) 1 (1 ) ''( )
2 2
∫f x dx=f +f .∫x . x f x dx
例5.4.8 设f(x)具有二阶连续的导数
证明存在一个
( )2 ( , ) ( ) ( ) ( ) ''( )
2 24
ξ∈a b ∫ f x dx=b.a f a+b + b.a fξ b
a
使
例5.4.9 设f(x)在[.a,a]上有二阶连续的导数且f (0) = 0
证明3
[ , ] ''( ) 3 ( ) a
a
a a f f x dx
a
ξ ξ
.
.一个∈. 使得= ∫
定积分不等式的证明
利用单调保号性证明
例5.5.1 设f(x)在[a,b]上单增证明( ) ( )
2
b b
a a
xf x dx a+b f x dx ∫ ∫
利用辅助函数证明
例5.5.2 设F(x)在[a,b]上连续可导证明( ( ) )2 ( ) 2( ) b b
a a
∫f x dx b . a∫f x dx
例5.5.3 设f(x)在[a,b]上连续且为正函数即f(x) >0
证明( ) 1 ( )2
( )
b b
a a
f x dx dx b a
f x
∫ .∫ .
告知被积函数f(x)在[a,b] 上连续在(a,b) 内可导又知f(a)=0 or f (b)=0
or f(a)=f (b)=0 有关命题的证明
例5.5.4 设f(x)在[a,b]上连续在(a,b)内可导又f(a)=0, f '(x)≤M
证明( ) 1( )2
2
b
a
∫ f x dx b . a M
例5.5.5 设f(x)在[a,b]上不恒为0 f '(x)在[a,b]上连续f(a)=f (b)=0
证明存在一个ξ ∈[a,b] 使得2
| '( )| 1 ( )
( )
b
a
f fx dx
b a
ξ >
. ∫
例5.5.6 设f(x)在[a,b]上连续在(a,b)内可导又f(a) =0
证明
2
2( ) ( ) '2( )
2
b b
a a
∫f x dx ≤ b.a∫f x dx
利用台劳公式证明不等式
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例5.5.7 设f(x)处处二阶可导且f''(x) ≥ 0 u(t)处处连续a > 0
证明
0 0
1 [ ( )] (1 ( ) ) a a f u t dt f u t dt
a a
∫ ≥ ∫
六广义积分
例5.6.1 讨论广义积分I (|x| α )exdx ∞ .
.∞
=∫ + 的敛散性收敛时求其和
例5.6.2 计算1 1 3
1
x x I dx
e e
+∞
+ . =
∫ +
例5.6.3 计算
2
1 2 2
[ 1 1 ]
ln ( 1)
I dx
x x x
= .
∫ .
第六讲 一元函数微积分的应用
一函数增减性的判别
例6.1 设f(x)在[0,a]上连续f (0) = 0 在(0, a) 内可导且f '(x) 单增令F(x) f(x)
x
=
证明F(x)在(0, a) 内单增
例6.2 求
1
( ) (1 1 ) x f x dt
t
=∫ . 的单减区间(x >0)
例6.3 证明当x >1时(x2.1)lnx>(x.1)2
二函数的极值与最值
例6.4 设f(x)在x = 0 的邻域内连续且f (0) = 0 又
0
lim ( ) 2
x 1 cos
f x
→ x
=
.
则f(x)在x = 0 处
是[ ] [A]不可导 [B]可导但f '(0) ≠ 0 [C]极大值 [D]极小值
例6.5 设有方程3f(x) 4x2 f( 1) 7 0
x x
+ . + = 求f(x)的极值
例6.6 在抛物线x2 = 4y上求一点使之到y 轴上一定点P(0,b) 的距离最小
三图形的凹凸性及拐点
例6.7 设函数.(x)在[.a,a]上连续且.(x) >0 令( ) | | ( ) a
a
f x x t . t dt
.
=∫ . 判别f(x)在
[.a,a]上的凹凸性
例6.8 求函数y=f(x)=x3 x.1的拐点
四渐近线
例6.9 设
1
2
2
( ) ( 2 3)
( 1)arctan
x x ex y f x
x x
= = . .
.
求其渐近线
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例6.11 设实数a0,a1,...,an 满足关系式1
0 0
2 1
n a a a
n
+ +...+ =
+
证明方程2
0 2 2 n 0 (0,1)
n a +ax+ax +...+ax = 在内有一个实根
例6.12 研究方程
0
lnxx 1 cos 2xdx
e
π . .∫ . 的根的个数
例6.13 设函数f(x)在[a,+∞)上连续在(a,+∞)内f'(x) >k>0 k 为常数且f(a)<0
证明f(x) 0 [a,a | f (0) |]
k
=在+ 有且仅有一个实根
例6.14 设f(x)在[1,+∞)上连续f''(x)≤0,f(1)=2,f '(1)=.3
证明 f(x)=0在(1,+∞)上有且仅有一个实根
例6.15 求由曲线y=f(x)(≥0)与直线x=a,x=b及x 轴所围图形绕y 轴旋转所得的旋转体
的体积绕x 轴所得的旋转体的体积
例6.16 求曲线y=3.|x2.1|于x 轴所围成的封闭图形绕直线元
旋转所得的旋转体的体积
例6.17 过P(1, 0) 作抛物线y= x.2 的切线PQ 求以该切线PQ 与抛物线及x 轴所围成的
图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积
例6.18 求双曲线x2.y2=2与直线x+y=2x=y=3 2及直线y=x所围成的图形绕直线
y=x旋转所得旋转体的体积
第七讲 函数方程与不等式的证明
一函数方程求解
例7.1 设z= y+f(3x.1),当y=1时z=x 求z及f(x)的表达式
例7.2 设有方程af (x) b(f (1) cx,| a| |b|, f (x)
x
+ = ≠ 求
例7.3 设函数f(x)连续且有
0 0
( ) ( ) ( ) x x ∫f t dt=x+∫tf x.t dt 求f x
例7.4 设f(x)在[1,+∞)上连续
1 1
(1) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) xy x y
x
f = 且有∫f t dt=y∫f t dt + x∫f t dt 求f x
例7.5 设f(x)二阶可导且有
0 0
( ) ( ) ( ) x x x=∫ftdt+∫t.ft.xdx 求fx
例7.6 设f(x)在[ .π,π]上连续且有2 ( ) ( )sin
1 cos
f x x f x xdx
x
π
.π
= +
+ ∫ 求( ) f x
例7.6-1 设f(x)在[0,1]上连续且有
2 1 2
0
f(x)=3x. 1.x ∫ f (x)dx 求f(x)
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例7.6-2 设
1
lim ( )
x
f x
→
存在且有3 2 1
1
( ) 5 2 x lim ( )
x
f x x x e . f x
→
= + . 求f(x)
例7.6-3 设f(x,y) 在平面区域D:由y=x2与直线x=1及x轴所围图形且有
( , ) ( , )
D
f x y =xy+∫∫ f x y dδ 求f(x)
例7.7 设f(x)在(-∞,+∞)上可导
1 0 1
(0) 0 '(ln ) ( )
1
x
f f x fx
x x
≤ ≤ .. = =.
.. >
且求
例7.8 设
3
u f(xyz) z u x2y2z3f'''(xyz)
x y z
= =
. . .
求???
例7.9 设f(x)二阶可导L 为平面上任一光滑的闭曲线且
[ ( ) ( ) ] [ '( ) 2 ] 0
L
..∫ xy x+y .f x y dx+ f x +x y dy= 求f(x)
二不等式证明
利用微分中值定理证明
例7.2.1 设2 2
0 1 arctan arctan 1
1 1
b a a b a
b a
> > . < . <
+ +
证明
例7.2.2 设在[0,a]上|f''(x)|≤M 且f(x)在(0,a) 内取得最大值
证明|f'(0)|+|f'(a)|≤Ma
利用函数的增减性
例7.2.3 证明当0 arctan 1
2
x x
x
>时+ > π
例7.2.4 证明当0 1 1 ln(1 )
1 arcsin
x x x
x x
< < . < +
+
时
例7.2.5 证明b a 0 lnb 2(b a)
a a b
> > > .
+
时
利用函数的极值或最值证明
例7.2.6 .∞ < x < +∞ 证明1+xln(x+1+x2)≥ 1+x2
例7.2.7 证明当0<x<2时4xlnx.x2.2x+4>0
利用台劳公式证明不等式
例7.2.8 设f'''(x)在[a,b]上存在f '(a)=f '(b)=0
证明( , ) | ( ) ( )| 2 a b f'' f a f b
(b - a)
. ξ∈ ξ ≥ . . 4
一个使| ( )|
第八讲 常微分方程
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一一阶微分方程
可分离变量方程
例8.1 解下列方程
(1)xdy x sin(x y) 0 (2)xy' y[ln(xy) 1] 0
dx
+ + + = . . =
齐次方程dy (y)
dx x
=.
例8.2 解下列方程
(1)(1 ) ( ) 0 (2)( ' ) arctan 1
x
e y ydx y x dy y y y
x x
.
+ + . = . =
一阶线性微分方程
例8.3 解下列方程
1 2
2
(1)( 1) ' ( 1) (2) ' 1 tan (3) '
cos 2
x y ny x n xex y y y x
y xy
+ . = + + . = . =
.
贝努里方程
例8.4 解方程 y' 4y yx3
x
. =
全微分方程
例8.5 解下列方程
2 2
2 2
3 4
(1) (2xey 3x )dx (x ey 2 y 1)dy 0 (2)2xdx y 3xdy 0
y y
. + + . = + . =
二可降阶的二阶方程
三高阶线性微分方程
例8.6 解下列方程
2
(1) ''1' sin (2) ''1 ' (3) ' '2 2ln
2
y y x y y yy y y y
x y
+ = = + . =
例8.7 设1 2 3 y (x),y (x),y (x)是如下方程
1 2 y''+P(x)y'+P(x)y=f(x) (1)
的三个线性无关解1 2 c ,c 为两个任意常数则方程的通解为[ ]
[A] 1 1 2 2 3 c y (x)+c y (x)+y (x) [B] 1 1 2 2 1 2 3 c y (x)+c y (x).(c+c )y (x)
[C] 1 1 2 2 1 2 3 c y (x)+c y (x)+(1.c.c )y (x) [D] 1 1 2 2 1 2 3 c y (x)+c y (x).(1.c.c )y (x)
例8.8 设q(x)<0 证明y''+q(x)y=0的任一非零解至多有一个零点
四高阶线性常系数微分方程
例8.9 设2 2
1 2 3 y (x)=x, y (x)=x+ex, y (x) =x(1+ex)是一二阶方程1 2 y''+ay'+a =f(x) 的
三个线性无关解求通解及方程的具体形式
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例8.10 设y''+2my'+n2y=0,y(0)=a,y'(0)=b, 求
0
y(x)dx. +∞ ∫ (其中a,b,m,n均为常数,
m>n>0)
例8.11 解方程x2y''+3xy'.sy=xlnx
第九讲 多元函数微分学
一概念定理
例9.1 求
3 3 2
0
0
lim 3 2
x
y
x y x y xy
→ x y
→
+ + .
+
二各类函数偏导数的求法
显函数的偏导数
例9.2 <TO BE FIXED>
例9.3
例9.4 设x2+y2+z2=xyf(z2) 其中f 可微求' '
x y xz + yz
例9.5 设f(x,y,z)为k次齐次函数即f(tx,ty,tz)=tk f(x,y,z) 求x f y f z f
x y z
. + . + .
. . .
例9.6 设z=f(x2+y2,xsiny) f 具有连续的二阶导数求
2 2
2 z, z
x xy
. .
. ..
例9.7 设通过变换
u x 2y
v x ay
= . .
.
. = +
将方程
2 2 2 2
2 2 6 z z z0 z 0
x xy y uv
. +. .. = . =
. .. . ..
变为确定常数a
二阶偏导连续
隐函数微分法
例9.8 设有方程( , ) 0 ' ' x y
F x z y z xz yz
y x
+ + = 求+
例9.9 设y= f(x,t2) t由方程F(x2,y,t)=0确定为x,y的函数求dy
dx
三偏导数在几何中的应用填空
四多元函数的极值
例9.10 设z=f(x,y)=x2y(4.x.y) D为由直线x+y=6及x轴,y轴围成的封闭区域求
z 在D 上的极值
例9.11 在抛物线y=x2 上求一点使其到直线y=x.4 的距离最短
例9.12 求两球面x2+y2+z2=16与x2+y2+z2+2x+2y+2z=24 的交线的最高点与最低点
例9.13 设x>0,y>0,z>0 求函数u=lnx+2lny+2lnz在球面x2+y2+z2=6R2上的最大
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值并由此证明对任意a>0,b>0,c>0 有2 3 108( )6
6
ab c ≤ a+b+c
第十讲 重积分
一二重积分的几何意义及其性质
例10.1 计算下列积分不考虑变量替换
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 (1) : (2) ( ) :
D D
x yd D x y a x y d D x y a
a b
∫∫ +δ + ≤ ∫∫ + δ + ≤
例10.2 计算
0
sin( ) :
0 D
x m
I xyd D
y
. < ≤
= . δ . ≤ ≤π . ∫∫
二二重积分计算
例10.3 <TO BE FIXED>
例10.4 极坐标系下的累次积分
cos
2
0 0
I d f(M)d
π θ =∫ θ∫ ρ ρ在直角坐标系为[ ]
[A]
1 1 2
0 0
( , ) y dy f x y dx . ∫ ∫ [B] 1
0 0
( , ) y ∫dy∫ f x y dx
[C]
1 2
0 0
( , ) x x dx f x y dy . ∫ ∫ [D] 1
0 0
( , ) x ∫dx∫ f x y dx
例10.5 更换下列积分次序
2
1 1 2 2
2
1 1 1 0 2
4 2 2
(1) ( , ) ( , ) (2) ( , ) ( 0) y y a ax
y ax x
I dy f x y dx dy f x y dx I dx f x y dy a
.
=∫ ∫ +∫ ∫ =∫ ∫ >
例10.6 计算下列积分
1 2 4 2
0 1 2
(1) ( 0, 0) (2) sin sin
ln 2 2
b a x
x x
x x dx a b I dy xdx dx xdy
x y y
∫. > > =∫∫π+∫ ∫ π
例10.7 <TO BE FIXED>
例10.8
例10.9 求两锥面z= x2+y2,z=2. x2+y2公共部分的体积并求形体表面积
例10.10 计算2 | | 1
| | :
0 2 D
x
I y xdxdy D
y
. ≤
= . . ≤ ≤ . ∫∫
例10.11 设f(x)连续
2 2 2
2 2
( 0)
( ) ( )
x y t t
F t f x y dxdy
+ ≤ >
= ∫∫ + 求F'(0),F''(0)
第十一讲 无穷级数
例11.1 判别下列级数的敛散性收敛时求其值
(1) 1 (2)
1 ( 1)!
n
n+ + n n + Σ Σ
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例11.2 求lim2 !
n
n n
n
→∞ n
.
二数项级数
例11.3 判别下列级数的敛散性
( 1)
1 1 1
1
3 0 2
12 1 1
(1) 2 (2) (2 1)! (3) (1 cos )
(4) ln (5) 1 (6)
1 1
n n
n
n n n
n
n
n n n
n
n n
n xdx
n p x
∞ ∞ ∞ π
. + .
= = =
∞ ∞ ∞
= = =
+ .
+ +
Σ Σ Σ
Σ Σ Σ∫
例11.4 判别级数的敛散性2
1
sin 1
n
n π
∞
=
Σ +
例11.5 设λ >1 则级数
1
1
( 1)
n x n
n
n
e dx
xλ
∞ + .
=
Σ . ∫ [ ]
[A]发散 [B]条件收敛 [C]绝对收敛 [D]敛散性与λ 有关
例11.6 讨论级数
2
sinn n
n
+ α+β π 的敛散性
例11.7 设恒有n n n a <b <c n Σa 与n Σc 收敛求证n Σb 收敛
例11.8 设0f (x)在[0,a](a> 0) 上连续求对于.x∈[0,a]有0 1
( ) ( ) x
n n f x f x dx . = ∫
证明无穷级数( ) n Σ f x 在[0,a]上绝对收敛
例11.9 设序列1 { } n na + 收敛1
1
( ) n n
n
n a a
∞
+
=
Σ . 收敛求证
1
n
n
a
∞
= Σ
收敛
三幂级数
例11.10 求收敛域
1 1
(1) 1(2 1) (2)
1
n
x
n n
x x
n x n
∞ ∞
= =
.
+ Σ Σ
例11.11 求下列级数的收敛域收敛半径
1
1 1 1
(1) ( 2) (2) 1 (3)
3 2 (2 1)!
n n
n
n n
n n n
x x nx
n n n
∞ ∞ ∞
.
= = =
.
. . + Σ Σ Σ
四将一个函数展成幂级数
例11.12 将下列函数在指定点处展成幂级数
2
2
2 1
1
2 2
1
(1) ( ) arctan ln 1 0
(2) ( ) 1 2
2 3
(3) ( ) ( 1) 1
(2 1)!2
n
n
n
n
f x x x x x
f x x
x x
f x x x
n
∞ .
.
.
=
= . + =
= =
+ .
= . =
. Σ
在处
在处
在处
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求级数的和
求幂级数的和函数
例11.13 求和函数
1
1 1
(1) 1 (2) 1( 1)
2 (2 )!
n n
n
n n
x n
n n
∞ ∞
.
= =
+ . .
. Σ Σ
例11.14 求
2 1
11 3 5 (2 1)
n
n
x
n
∞ .
= . . ..... . Σ 的和函数
数项级数求和
例11.15 求
2
1
1
2n
n
∞ n n
=
+ . Σ 的和
第十二讲 曲线曲面积分
例12.1 求下列积分
2 2
(1) ( 2 2) : 2 2 2 (2) (3 2 4 2) : 1
L L 4 3
∫x+y dl L x+y = a ∫x + y dl L x +y =
例12.2 <TO BE FIXED>
例12.3 计算
2
2
2 2
2 : 4 4 A(1,0) B(0,-2)
L 4
I xydx x y dy L x y
x y
= + + =
+ ∫ 从到
例12.4 计算( ) ( ) : 2 2 2 1
L
I x ydx x zdy zydz Lx y a x y
a h
=∫ + + . + + = 与平面+ = 的交线
a>0,h>0 从x 轴正向看去L 为逆时针方向
例12.5 计算(2 ) (2 ) (2 )
L
I=∫ x.yz dx+y.xz dy+z.xy dz
cos
: sin
2
x a t
L y a t
z ht
π
..
=
.
= .
.
. =
.
沿螺旋线从(a,0,0)到(a,0,h) (a,b>0)
例12.6 计算
2
2 2
2 2
2[2 ln( )
L
I y dx x y x a x dy
a x
= + + + +
+ ∫ ,
2 2
2 2 L: x y 1 A(a,0)
a b
沿上半圆弧+ = 从到B(-a,0)
例12.7 计算( xsin 2 ) (2cos 32)
L
I=∫ e y. x dx + e y . y dy 是通过A(1,.2),B(3,0),C(2, 2) 三点的
圆弧从A 到C
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陈文灯数学提高班例题 Copyright by Pely Gan 2001.8 Email:pely@china.com , All Rights Reserved
第 20 页 共 20 页
例12.8 计算2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( 2 )
L ( 2) ( 2)
I y ydx x x dy
x y x y x y x y
= . + . + . +
∫ . + + . + +
例12.4.1 计算曲面积分(4 3 6 ) : 1
3 4 2
I x y zds x y z
Σ
=∫∫ + + Σ + + =
例12.4.2 计算 I (x2 y2)ds : z x2 y2
Σ
=∫∫ + Σ锥面= + 与平面z =1所围成的形体的表面
例12.4.3 求I (x 1)dydz ydzdx dxdy
Σ
=∫∫ + + + , Σ:x+y+z=1法线指向原点
例12.4.4 计算I ydydz xdzdx z2dxdy
Σ
=∫∫ . +
Σ:锥面z=x2+y2被平面z=1,z=2所截平面的下侧
例12.4.5 计算I x2dydz y2dzdx z2dxdy
Σ
=∫∫ + + Σ:(x.a)2+(y.b)2+(z.c)2=R2 的
外侧
例12.4.6 计算I 4xzdydz2yzdzdx(1z2)dxdy
Σ
=∫∫ . + . Σ :平面曲线: (0
0
z ey
L y a
x
. =
. ≤ ≤
. =
绕z 轴旋转所得旋转面取下侧
例12.4.7 计算
2
, :
ez I dxdy
Σ x y
= Σ
+ ∫∫ 锥面z= x2+y2与平面z=1,z=2 所围成图形的
表面的外侧
例12.4.8 设f(x,y,z) 连续计算I (x f)dydz (y 2f)dzdx (z f)dxdy
Σ
=∫∫ + + + + +
Σ:x.y+z=1在第四象限部分取上侧
ChenWenDeng Key Table
答案 第 1 页 共 4 页
1.1 D
1.2 3
1.3
1, 1
2
a= . b=
1.4 1/4
1.5 36
1.6 0
1.7 1/2
1.8 分情况讨论0 x 1 时1
1 x 2 时x
x 2 时 x*x/2
1.9 0
1.10 e.(a+b)
1.11 e1/ 2 10
1.12 令f (x)=5x3+4x2+ax+b
f(x)=5x3+4x2+3x
1.13 1
1.14 a= .1,b= 0,c=1/ 2
1.15 分段讨论a=1,b=0
1.16
(1) 1 (2)*** (3) 1 (4)0
12
. .
1.17 ***
1.18
2
3
1
2
1.19 3ln 2 ***
1.20 *** *** 1
1.21 (1)3 abc (2)***
1.22
1 5
2
+
1.23
1 2
0
(1)5(2)1 (3) 1 (4)4
2 5
∫ +x dx
1.24
1 2
0
(1)1 (2)1 (3)0 (4) ln(1 )
1 2
x dx e
x
∫ +
.
2.1 0 0 0 (1).3f '(x ) (2).5f '(x ) (3)2f '(x )
2.2 3
2.3 0
2.4 99 ***
2.5 0
2.6 f (x) = axlnx
2.7 C
2.8 不可导
2.9
2
5
'''( ) 3 '' ( ) '( ) '''( )
[ '( )]
y f x f x f x
f x
. = . .
2.10
2
2
2 3
cos , 2 cos
( ) ( ) 3
dy x dy x
d x d x x
= = .
2.11 π
2.12
2 0
(1) '( ) (2) 1 ( ) 1 ( ) (3) ( ) x f x f u du f x f x
x x
. ∫ +
2.13
y'=sin2(x.y),y''=2sin(x.y) cos3(x.y)
2.14 2
y 1y (x1)( x)
x x y
. + + . 未化简完
2.15 ***
2.16 4
2
2 dy et , d y ...
dx dx
= . =
2.17 8/t-4,…
2.18
0
2 2
2
1 ( ) 0
'( ) 1 sin 2cos 0
1 0
x f u du x
x
F x x x x
x
x
. < .
.
. = . + > .
.
= .
..
∫
2.19 a=2, b=-1
2.20 ***
2.21 ( ) 1 1 ( 2_ 27 ( 3) 1 ( 1)
4 4
yn =x+ + .x. .+ .x+ .
2.22 ***
3.1
2
2
3/2
(1) 2 (2)(arctan )
1
(3) 2 [ln(1 ) ln ] (4)
3
x C
x
x x C
. +
.
+ . +
ChenWenDeng Key Table
答案 第 2 页 共 4 页
3.2 1( ( ))2
2 '( )
f x C
f x
+
3.3 ***
ln
x C
x
. + ***
3.4
2 3 2
2
2 2 2 2
(1)1( 1) (2)***(3)11
3
a C aC
a x a x
. . + . +
3.5
2 2
2
(1) 1 (4 2 1)
4
(2) 1 sin 3 2 cos3 2 sin 3
3 9 27
I x x ex
I x x x x x C
= . . + .
= + . +
3.6
(1) arctan 1ln(1 2) 1(arctan )2
2 2
(2)(3)***
x x. +x . x +C
3.7
2
2
(1) [sin(ln ) cos(ln )]
2
(2) 1 ln( 1 ) arctan
1
(3)***
I x x x C
I x x x C
x
= . +
= . . + + + +
+
3.8 I=ln(x+1) ln(x+2)+C
3.9 a+2b+3c=0
3.10 ***
3.11 ***
3.12 ***
3.13 ***
4 略
5.1 5/2 7/2
5.4 f’(0)
5.7 2(arctan 2 . arctan1)
5.8
(1) (2) 3 ln 2
4 8
π
5.9 ***
5.10 1
0 0
ln(1 ) ln 2 ( 1),
1 ln ( 1)
1 0
x
x
t
x e x
dt tdt x
e
. + + ≤
+ >
∫+ ∫
5.11
1 1 ln2
e
. +
5.12 ***
5.13 1( 2 1)
2
ea .
5.14 2 2
0
∫ y.e. y dy
5.15 A/2
5.16 0
5.18 π / 4
5.6.1α≠1时发散α=1时收敛和为2
5.6.2 4e2
π
5.6.3
3 1
2 ln2
.
6.2 (0,1]
6.4 D
6.5 极大值
( 1)
2
f . 极小值
( 1 )
2
f
6.6
2 ( 2 0) min 2 1
0 ( 2 0) min | |
y b b b
y b b
= . . ≥ = .
= .< =
6.7 凹的
6.8 ***
6.9 水平渐近线
y 2
π
= ±
铅直渐近线x = 0
7.1 f(x)=x3+3x2+3(3 x.1)
7.2 2 2
f (x) 1 (acx bc)
a b x
= .
7.3 f(x) =ex
7.4 ***
7.5 ***
7.6
2
2 ( )
1 cos 2
f x x
x
= +π
+
7.6-1 ***
7.6-2 f(x)=5x3+x2.4ex.1
7.6-3
( , ) 1
8
f x y =xy+
ChenWenDeng Key Table
答案 第 3 页 共 4 页
7.7 1
2
0
( )
2 0 x
x x
f x
e x
≤ .. =.
.. >
8.1
(1)csc( ) cottan( )
(2) cx
x y x y cx
xy e
+ . + =
=
8.2 (1) (2)***
x
x+yey=c
8.3
(1)*** (2)siny=ce.x+1 (3)x=(.lny+c)y2
8.5
2
2 3 2 2 2
3
(1)xey x y C (2)x 1 1 x x C
y y
. + = . + + . =
8.6 1 2
1
1 2
(1)*** (2) 2 1
(3) ln x x
c y x c
c
y ce ce
. =± +
= +
8.7 C
8.9 通解2
1 2 Y(x)=(C+C x)e x+x
方程y''+4y'+4y=f(x)
8.10 2
1 (2ma b)
n
+
8.11 3
1 2
( ) 1 ln (2ln 1)
16
y x=C x.+C x+ x x. x
9.1 极限不存在
9.2
9.3
9.4 2 ' '
1 '( ) y x
xz yz z
xyf z
+ =
.
9.5 kf (x, y,z)
9.6
2
2 2
2 1 11 12 22 z 2f ' 4x f '' 4xsinyf '' sin yf ''
x
. = + + +
.
2
z ***
x y
. =
. .
9.7 a = 3
9.8 0
9.9 ***
9.10 f=4,f=.64
9.11 ***
9.12
8 8 4
最高点(0,0,4),最低点( , ,- )
3 3 3
10.1 2 4
2 2
(1)π (2)π(1 1)
4
a a
4 a b
+
10.2 0
10.4 C
10.5 2
1
1
2
(1) ( , ) x
x
I=∫dx∫ f xydy
2 2
2 2
2 2
2 2
0
2 2
2
0
(2) ( , ) ( , )
( , )
a a a y a a
y a y
a a
a a
a a y
I dy f x y dx dy f x y dx
dy f x y dx
. .
+ .
= +
+
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
10.6
2
1
(1) ln1 (2) 2 cos ***
1 2
b y ydy
a
+ . π =
+ π∫
10.9 ***
10.10 ***
10.11 F'(0)=0 F''(0)=2πf (0)
11.1 *** 1
11.2 0
11.3 发散
11.4 收敛
11.5 C
11.6
0, 1, 2,
0, 1, 2,
0
α ≠ ± ± ...
α = ± ± ... β
β ≠
当时发散
当时=0时绝对收敛
时条件收敛
11.10 (1)[0, 2) (2)x=0及(1,+∞)
11.11 ***
11.12 ***
11.13
2 2
ln 2 ln(2 ) [ 2,0) (0,2)
(1) ( )
1 0
2
(2) 1 [ cos ]'
2
x x
f x x
x
x x x
. . . ∈ . ∪ .. =.
.
. = .
.
ChenWenDeng Key Table
答案 第 4 页 共 4 页
11.14 f '(x).xf(x)=1.f(x)
11.15 7
12.1 (1)πa3 (2)12a
12.3 ***
12.4 ahπ (1+ h)
12.5 3 1
3
. h
12.6 2π ab
12.7 ***
12.8 ***
12.4.1 12 61
12.4.2 ( 2 1)
2
+ π
12.4.5 3 8( )
3
a+b+cπR
12.4.6 .πa2(1.e2a )