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数 学 试 题
注意事项：
⒈本试卷共8页，25个小题，满分120分，考试时间120分钟．
⒉在密封区内写明县(市、区)名、校名、姓名和考号，不要在密封区内答题．
⒊请用蓝色或黑色钢笔、中性笔（圆珠笔）答题，作图可用铅笔．不允许使用计算器．
一、选择题(本题共10个小题,每小题3分,共30分)
下面每题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请 把你认为正确选项的字母代号填在下表内
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题号
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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10
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答案
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1．－7的相反数是
A．7 B．－7 C． D．
2．函数 中自变量x的取值范围是
A．x> 0 B．x≥0 C．x>9 D．x≥9
3．一次函数y=2x－2的图象不经过的象限是
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列方程中，有两个不相等实数根的是
A． B．
C． D．
5．下列运算正确的是
A． B．
C． D．
6．下列命题中，错误的是
A．三角形两边之和大于第三边
B．三角形的外角和等于360°
C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分
D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
7．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA、OB，
若∠ABO=25°，则∠C的度数为
A．55° B．60° C．65° D．70°
8．如图是四棱锥（底面是矩形，四条侧棱等长） ，则它的俯视图是
9．同时掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则两个骰子向上的一面的点数和为8的概率为
A． B． C． D．
10．如图，已知RtΔABC中，∠ACB=90°，AC= 4，BC=3，以AB边所在的直线为轴，将ΔABC旋转一周，则所得几何体的表面积是
A． B．
C． D．
二、填空题(本题共6个小题，每小题3分，共18分．)请将答案直接填写在该题目中的横线上
11．据统计，今年我市参加初中毕业学业考试的学生约为38000人，这个数据用科学记数法表示为 ．
12．方程(x＋2)(x－1)=0的解为 ．
13．如图，直线a与直线b被直线c所截，
a∥b，若∠1=62°，则∠3= 度．
14． 的平行四边形是
是菱形（只填一个条件）．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标
为(1，4)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到
线段OA′，则点A′的坐标是 ．
16．已知函数 的图象与 轴、y轴分
别交于点C、B，与双曲线 交于点A、D,
若AB+CD= BC，则k的值为 ．
三、解答题(本题共4个小题，共27分)
17．（6分）计算：
解：
=
=
18．（6分）已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：
（1）a2b+ab2 （2）a2+b2
19．（7分）“一方有难，八方支援”，在四川汶川大地震后，某市文华中学全体师生踊跃捐款，向灾区人民献爱心. 为了了解该校学生捐款情况，对其中60个学生捐款数x（元）分五组进行统计，第一组：1≤x≤5，第二组：6≤x≤10，第三组：11≤x≤15，第四组：16≤x≤20；，第五组：x≥21，并绘制如下频数分布直方图（假定每名学生捐款数均为整数），解答下列问题：
(1) 补全频数分布直方图；
(2) 这60个学生捐款数的中位数落在第____组；
(3)已知文华中学共有学生
1800人，请估算该校捐款数
不少于16元的学生人数.
20．（8分）如图，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C、B，点D在线段AP上，连结DB，且AD=DB．
（1）求证：DB为⊙O的切线．
（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长．
四、应用题(本题共3个小题，共23分)
21．（7分）如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离（结果精确到0.1米）．
（供选用的数据： ≈1.414， ≈1.732）
22．（8分）某工厂准备加工600个零件，在加工了100个零件后，采取了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用7天完成了任务，求该厂原来每天加工多少个零件？
23．（8分）为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：
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型号
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占地面积
(单位:m2/个 )
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使用农户数
(单位:户/个)
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造价
(单位: 万元/个)
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A
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15
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18
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2
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B
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20
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30
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3
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已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2，该村农户共
有492户．
(1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程．
(2)通过计算判断，哪种建造方案最省钱．
五、综合与探究题(本题共2小题，共22分)
24．（10分）如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.
(1) 求证：DE－BF = EF．
(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由．
(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．
25．（12分）如图①， 已知抛物线 （a≠0）与 轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
湖北省十堰市2009年初中毕业生学业考试
数学试题参考答案及评分说明
一、选择题（每题3分，共30分）
第1~5题：A D B A B 第6~10题：D C C B C
二、填空题（每空3分，共18分）
11． 12．－2，1；－2或1(x=－2，x=1或 )
13．62 14．对角线互相垂直（或有一组邻边相等，或一条对角线平分一组对角） 15．(4，－1) 16．
三、解答题(6分＋6分＋7分＋8分=27分)
17．解：原式＝9+ －1……………………………5分
＝8+ ……………………………… 6分
说明：第一步计算中，只对一项给2分，只对两项给4分．
18．解法①：
（1） ………………………3分
（2） ∵
∴ …………… 6分
解法②：
由题意得 解得： ……………………2分
当 时， ……………4分
当 时， ……………6分
说明：（1）第二种解法只求出一种情形的给4分；
（2）其它解法请参照上述评分说明给分．
19．解：（1）如图（频数为15）…2分
（2）三 ………………4分
（3） ……6分
∴ 捐款数不少于16元的学生数大约为600人. ……7分
说明：（1）未说明“频数是15”不扣分；（2）未写“大约”不扣分．
20．（1）证明: 连结OD ………………………………………………………1 分
∵ PA 为⊙O切线 ∴ ∠OAD = 90°………………………………………2 分
∵ OA=OB，DA=DB，DO=DO， ∴ΔOAD≌ΔOBD …………………3分
∴ ∠OBD=∠OAD = 90°， ∴PA为⊙O的切线…………………4 分
（2）解：在RtΔOAP中， ∵ PB=OB=OA ∴ ∠OPA=30°………………5 分
∴ ∠POA=60°=2∠C ， ∴PD=2BD=2DA=2……………………………6 分
∴ ∠OPA=∠C=30°…………………………………7 分
∴ AC=AP=3…………………………………………8 分
说明：其它解法请参照上述评分说明给分．
四、应用题（7分+8分+8分=23分）
21．解：由题意可知
∠ACP= ∠BCP= 90°，∠APC=30°，∠BPC=45°…2分
在Rt△BPC中，∵∠BCP=90°，∠BPC＝45°，∴ ……3分
在Rt△ACP中，∵∠ACP=90°，∠APC＝30°，∴ …… 5分
∴ ………………………………………6分
≈60+20×1.732 =94.64≈94.6(米)
答：教学楼A与办公楼B之间的距离大约为94.6米．………………7分
说明：（1）其它解法请参照上述评分说明给分；（2）不作答不扣分．
22.解：设该厂原来每天加工x个零件，………………………………1分
由题意得： ………………………………………5分
解得 x=50 ………………………………………………………6分
经检验：x=50是原分式方程的解………………………………………7分
答：该厂原来每天加工50个零件．……………………………………8分
说明：其它解法请参照上述评分说明给分．
23．解: (1) 设建造A型沼气池 x 个，则建造B 型沼气池(20－x )个………1分
依题意得: …………………………………………3分
解得：7≤ x ≤ 9 ………………………………………………………………4分
∵ x为整数 ∴ x = 7，8 ，9 ，∴满足条件的方案有三种．. ……………5分
(2)设建造A型沼气池 x 个时，总费用为y万元，则：
y = 2x + 3( 20－x) = －x+ 60 ………………………………………………6分
∵－1< 0，∴y 随x 增大而减小，
当x=9 时，y的值最小，此时y= 51( 万元 ) …………………………………7分
∴此时方案为：建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个． ……………8分
解法②:由(1)知共有三种方案，其费用分别为：
方案一: 建造A型沼气池7个， 建造B型沼气池13个，
总费用为:7×2 + 13×3 = 53( 万元 ) ……………………………6分
方案二: 建造A型沼气池8个， 建造B型沼气池12个，
总费用为:8×2 + 12×3 = 52( 万元 ) ……………………………7分
方案三: 建造A型沼气池9个， 建造B型沼气池11个，
总费用为:9×2 + 11×3 = 51( 万元 )
∴方案三最省钱. …………………………………………… 8分
说明：（1）若只有正确结论，给1分；（2）不带单位不扣分；
（3）其它解法请参照上述评分说明给分；
五、综合与探究题（10分+12=22分）
24．(1) 证明:
∵ 四边形ABCD 是正方形, BF⊥AG , DE⊥AG
∴ DA=AB， ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90°
∴ ∠BAF = ∠ADE ………………………2 分
∴ △ABF ≌ △DAE ………………………3 分
∴ BF = AE , AF = DE
∴ DE－BF = AF－AE = EF ……………………4 分
（2）EF = 2FG 理由如下：
∵ AB⊥BC , BF⊥AG , AB =2 BG
∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG ………………5 分
∴ ………………………6分
∴ AF = 2BF , BF = 2 FG …………………7分
由(1)知, AE = BF，∴ EF = BF = 2 FG ……8分
(3) 如图 …………………………………………9分
DE + BF = EF ……………………………10分
说明:第（2）问不先下结论，只要解答正确，给满分.若只有正确结论，给1分.
25．解: (1)由题知: ……………………………………1 分
解得: ……………………………………………………………2分
∴ 所求抛物线解析式为: ……………………………3分
(2) 存在符合条件的点P, 其坐标为P (－1, )或P(－1,－ )
或P (－1, 6) 或P (－1, )………………………………………………………7分
(3)解法①：
过点E 作EF⊥x 轴于点F , 设E ( a ,- -2a＋3 )( －3< a < 0 )
∴EF=- -2a＋3，BF=a＋3，OF=－a ………………………………………………8 分
∴S四边形BOCE = BF·EF + (OC +EF)·OF
= ( a＋3 )·(－ －2a＋3) + (－ －2a＋6)·（－a）……………………………9 分
= ………………………………………………………………………10 分
=－ +
∴ 当a =－ 时，S四边形BOCE 最大, 且最大值为 ．……………………………11 分
此时，点E 坐标为 (－ ， )……………………………………………………12分
解法②：
过点E 作EF⊥x 轴于点F， 设E ( x , y ) ( －3< x < 0 ) …………………………8分
则S四边形BOCE = (3 + y )·(－x) + ( 3 + x )·y ………………………………………9分
= ( y－x)= ( ) …………………………………10 分
= － +
∴ 当x =－ 时，S四边形BOCE 最大，且最大值为 ． …………………………11分
此时，点E 坐标为 (－ ， ) ……………………………………………………12分
说明:（1）抛物线解析式用其它形式表示，只要正确不扣分.
（2）直接应用公式法求抛物线顶点坐标或最大值不扣分．
（3）其它解法请参照评分说明给分.
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