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一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑.
1. －3的倒数是（ A ）
A. B. C. －3 D.3
2. 国家游泳中心——“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积给260000平方米，将260000用科学记数法表示应为 （ D ）
A. 0.26×106 B. 26×104 C. 2.6×106 D. 2.6×105
3. 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90O，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35 O，
则∠A的度数为 （ C ）
A. 35O B. 45º C. 55º D. 65º
4. 若 ，则 的值为 （ C ）
A. －4 B. －1 C. 0 D. 4
5. 北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：ºC）分别为：25，28，30，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为。（ B ）
A. 28ºC B. 29ºC C. 30ºC D. 31ºC
6. 把代数式 分解因式，下列结果中正确的是。（ A ）
A. B.
C. D.
7. 一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为 （ B ）
A. B. C. D.
8. 右图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的
展开图，那么这个展开图是 （ D ）
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
9. 若分式 的值为0，则 的值为 2 .
10. 若关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的取值范围是 .
11. 在五环图案内，分别填写五个数 ， ， ， ， ，如图： ，其中 ， 是三个连续偶数 ， ， 是两个连续奇数 ，且满足 ，例如： ，. 请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入下图：
12. 2007年北京市统招右图是对种中心为点 的正六边形，如果用一个含30º角的直角三
角板的角，借助点 （使角的顶点落在点 处），把这个正六边形的面
积 等分，那么 的所有可能的值是 2，3，4，6，12 .
三、解答题（共5个小题，共25分）
13.（本小题满分5分）
2007年北京市统招计算：
解：
14.（本小题满分5分）
解方程：
解：因为 ， ，
所以
代入公式，得
所以 原方程的解为
15.（本小题满分5分）
计算：
解：
16.（本小题满分5分）
已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD.
求证：AB=CD
证明：∵ OP是∠AOC和∠BOD的平分线，
∴
∴
在 和 中，
∴
∴
17.（本小题满分5分）
已知 ，求代数式 的值.
解析：
又 ，故原式 .
四、解答题（共2个小题，共10分）
18.（本小题满分5分）
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC = AD，∠C=60º，AE⊥BD于点E，AE=1，求梯形ABCD的高.
解：作 于点
∵ AD∥BC， ∴
∵ ， ∴
∴
∵ ， ，
∴
∵ 于点 ， ， ∴
在 中，由正弦的定义可得
∴梯形 的高为 .
19.（本小题满分5分）
2007北京统考 已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A
的直线交于B点，OC = BC，AC = OB
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD =45º，OC =2，求弦CD的长.
解：
（1）证明： 如图，连结
∵
∴
∴ 是等边三角形
故
又可得 ∴
∴ 是 的切线.
（2）解：作 于 点.
∵ ， ∴
又 ， ，∴在 中，
在 中，∵ ，∴
由勾股定理，可求得
∴ .
五、解答题（本题满分6分）
20. 根据北京市水务局公布的2004年、2005年北京市水资源和用水情况的相关数据，绘制如下统计图表：
（1）北京市水资源全部由永定河水系、潮白河水系、北运河水系、蓟运河水系、大清河水系提供，请你根据以上信息补全2005年北京市水资源统计图，并计算2005年全市的水资源总量（单位：亿m3）；
（2）在2005年北京市用水情况统计表中，若工业用水量比环境用水量的6倍多0.2亿m3，请你选计算环境用水量（单位：亿m3），再计算2005年北京市用水总量（单位：亿m3）；
（3）根据以上数据，请你计算2005年北京市的缺水量（单位：亿m3）；
（4）结合2004年及2005年北京市的用水情况，谈谈你的看法.
解：
（1）补全2005年北京市水资源统计图见右图；
水资源总量为23.18亿m3
（2）设2005年环境用水量为 亿m3
依题意得
解得
∴ 2005年环境用水量为1.1亿m3
∵ 13.38+1.1+6.8+13.22=34.5
∴ 2005年北京市用水总量为34.5亿m3
（3）∵ 34.5-23.18=11.32，∴2005年北京市缺水量为11.32亿m3
（4）说明：通过对比2004年及2005年北京市的用水情况，能提出积极看法的给分，比如节约用水等.
六、解答题（共2个小题，共9分）
21.（本小题满分5分）
在平面直角坐标系 中， 为正方形，点 的坐标为（1，1），将一个最短边长大于 的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线 上，
（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点 重合，一条
直角边落在直线 上时，这个三角形纸片正方形
重叠部分（即阴影部分）的面积为 ；
（2）若三角形纸片的直角顶点不与点 、 重合，且两
条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形 重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），
解：（1） ；
（2）直角顶点的坐标为
或
此时的图形如右图
22.（本小题满分4分）
在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图像与 的图像关于 轴对称，又与直线 交于点 ，试确定 的值.
解：依题意得，反比例函数 的解析式为
∵ 点 在反比例函数 的图像上，
∴
即 点A的坐标为
由点 在直线 上
可求得 .
七、解答题（本题满分7分）
23. 如图，已知
（1）请你在 边上分别取两点 、 （ 的中点除
外），连结 、 ，写出使此图中只存在两对面
积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的
三角形；
（2）请你根据使（1）成立的相应条件，
证明 .
解：
（1）相应的条件是： BD = CE ≠ DE ；
两对面积相等的三角形分别是： △ABD和△ACE，△ABE和△ACD .
（2）证法1：如图2，分别过点D、B作CA、EA的平行线，
两线交于F点，DF与AB交于G点.
所以 ∠ACE = ∠FDB，∠AEC = ∠FBD
在△AEC和△FBD中，又CE = BD
可证 △AEC ≌ △FBD
所以 AC = FD，AE = FB
在△AGD中，AG + DG ＞AD
在△BFG中，BG + FG ＞FB
所以 AG + DG－AD＞0，BG + FG－FB＞0
所以 AG + DG + BG + FG－AD－FB＞0
即 AB + FD＞AD + FB
所以 AB + AC＞AD + AE
证法2：如图，分别过点A、E作CB、CA的平行线，两线交于F点，EF与AB交于G点，连结BF. 则四边形FECA是平行四边形，所以 FE = AC，AF = CE.
因为 BD = CE
所以 BD = AF
所以 四边形FBDA是平行四边形
所以 FB = AD
在△AGE中，AG + EG ＞AE
在△BFG中，BG + FG ＞FB
可推得 AG + EG + BG + FG ＞AE + FB
所以 AB + AC ＞AD + AE
八、解答题（本题满分7分）
24. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过 ， 两点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为 ，将直线 沿 轴向下平移两个单位得到直线 ，直线 与抛物线的对称轴交于 点，求直线 的解析式；
（3）在（2）的条件下，求到直线 、 、 距离相等的点的坐标.
解：
（1）由题意可得
故抛物线的解析式为： .
（2）由 可知抛物线的顶点坐标为B（ ），故C（ ），且直线 过原点. 设直线 的解析式为 ，则有 . 故直线 的解析式为 .
（3）到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个.
由勾股定理可知OB=OC=BC=2，故△OBC为等边三角形，四边形ABCO是菱形，且∠BCO=60°，连接AC交x轴于一点M，易证点M到OB、OC、BC的距离相等. 由点A在∠BCO的平分线上，故它到BC、CO的距离相等均为 ，
同时不难计算出点A到OB的距离为 ，故点A也算其中一个. 同理，不难想到向左、向下可以分别作与ABCO全等的菱形（如图所示，其中△OBC为新菱形的一半），此时必然存在两个点，使得它到直线OB、OC、BC的距离相等.
此四个点的坐标分别为：M（ ）、A（0，2）、（0，-2）、（ ）.
九、解答题（本题满分8分）
25. 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在 中，点 、 分别在 、 上，设 、 相交于 ，若 ， ，请你写出图中一个与 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在 中，如果 是不等于60º的锐角，点 、 分别在 、 上，且 ，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.
解：
（1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可.
（2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE）
四边形DBCE是等对边四边形.
（3）此时存在等对边四边形DBCE.
证明1：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD的延长线于F点.
∵∠DCB=∠EBC= ∠A，BC为公共边
∴△BGC≌△CFB
∴BF=CG
∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A
∠GEC=∠ABE+∠A
∴△BDF≌△CEG
∴BD=CE
故四边形DBCE是等对边四边形.
证明2：如图，在BE上取一点F，使得BF=CD，连接CF.
易证△BCD≌△CBF，故BD=CF，∠FCB=∠DBC.
∵∠CFE=∠FCB+∠CBF=∠DBC+∠CBF=∠ABE+2∠CBF=∠ABE+∠A
∠CEF=∠ABE+∠A
∴CF=CE
∴BF=CE
故四边形DBCE是等对边四边形.
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